Страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.9. Сколько точек пересечения имеют графики функций $y = ax^2$ и $y = bx^3$, если:

1) $a=3, b=2;$

2) $a=-3, b=0,2;$

3) $a=0,2, b=-0,2;$

4) $a=-4, b=-2?$

Для нахождения количества точек пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять их уравнения и найти количество действительных корней полученного уравнения.

Общее уравнение для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций $y = ax^2$ и $y = bx^3$ выглядит так:

$ax^2 = bx^3$

Решим это уравнение в общем виде:

$bx^3 - ax^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(bx - a) = 0$

Это уравнение имеет два решения для $x$:

1. $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

2. $bx - a = 0 \implies bx = a$

Первый корень $x_1 = 0$ существует всегда. Это означает, что графики всегда пересекаются в начале координат, точке $(0, 0)$.

Из второго уравнения, при условии, что $b \ne 0$, получаем второй корень $x_2 = \frac{a}{b}$.

Если $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то $x_2 = \frac{a}{b}$ будет отличным от нуля, и мы получим два различных корня: $x_1=0$ и $x_2=\frac{a}{b}$. Следовательно, будет две точки пересечения.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) a = 3, b = 2

Подставляем значения $a$ и $b$ в функции: $y = 3x^2$ и $y = 2x^3$.
Приравниваем уравнения:
$3x^2 = 2x^3$
$2x^3 - 3x^2 = 0$
$x^2(2x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$2x - 3 = 0 \implies x_2 = \frac{3}{2}$
Так как корни различны, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: 2.

2) a = -3, b = 0,2

Подставляем значения $a$ и $b$ в функции: $y = -3x^2$ и $y = 0,2x^3$.
Приравниваем уравнения:
$-3x^2 = 0,2x^3$
$0,2x^3 + 3x^2 = 0$
$x^2(0,2x + 3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$0,2x + 3 = 0 \implies 0,2x = -3 \implies x_2 = \frac{-3}{0,2} = -15$
Так как корни различны, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: 2.

3) a = 0,2, b = -0,2

Подставляем значения $a$ и $b$ в функции: $y = 0,2x^2$ и $y = -0,2x^3$.
Приравниваем уравнения:
$0,2x^2 = -0,2x^3$
$0,2x^3 + 0,2x^2 = 0$
$0,2x^2(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
Так как корни различны, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: 2.

4) a = -4, b = -2

Подставляем значения $a$ и $b$ в функции: $y = -4x^2$ и $y = -2x^3$.
Приравниваем уравнения:
$-4x^2 = -2x^3$
$2x^3 - 4x^2 = 0$
$2x^2(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Так как корни различны, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: 2.

26.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 2x^3$ на промежутке:

1) $ [-2; 5] $;

2) $ [-1; -0,5] $;

3) $ [-3; 3,5] $.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y=2x^3$ на заданных промежутках исследуем ее поведение. Найдем производную функции: $y' = (2x^3)' = 6x^2$. Поскольку производная $y' = 6x^2$ неотрицательна при любых значениях $x$ (равна нулю только в точке $x=0$), функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что на любом замкнутом промежутке $[a, b]$ наименьшее значение функция будет принимать в его левой конечной точке $x=a$, а наибольшее — в правой конечной точке $x=b$. Таким образом, для решения задачи достаточно вычислить значения функции на концах каждого из заданных промежутков.

1) На промежутке $[-2; 5]$:

Наименьшее значение функция принимает в точке $x = -2$. Вычислим его:

$y(-2) = 2 \cdot (-2)^3 = 2 \cdot (-8) = -16$.

Наибольшее значение функция принимает в точке $x = 5$. Вычислим его:

$y(5) = 2 \cdot 5^3 = 2 \cdot 125 = 250$.

Ответ: наименьшее значение функции -16, наибольшее значение 250.

2) На промежутке $[-1; -0,5]$:

Наименьшее значение функция принимает в точке $x = -1$. Вычислим его:

$y(-1) = 2 \cdot (-1)^3 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Наибольшее значение функция принимает в точке $x = -0,5$. Вычислим его:

$y(-0,5) = 2 \cdot (-0,5)^3 = 2 \cdot (-0,125) = -0,25$.

Ответ: наименьшее значение функции -2, наибольшее значение -0,25.

3) На промежутке $[-3; 3,5]$:

Наименьшее значение функция принимает в точке $x = -3$. Вычислим его:

$y(-3) = 2 \cdot (-3)^3 = 2 \cdot (-27) = -54$.

Наибольшее значение функция принимает в точке $x = 3,5$. Вычислим его:

$y(3,5) = 2 \cdot (3,5)^3 = 2 \cdot 42,875 = 85,75$.

Ответ: наименьшее значение функции -54, наибольшее значение 85,75.

26.11*. Постройте график уравнения:

1) $ \frac{y - x^2}{x - 3} = 0; $

2) $ \frac{2y - x^2}{4 - x^2} = 0; $

3) $ \frac{y - x^2}{x - 3} = 0; $

4) $ \frac{y - 0,25x^2}{4 - y} = 0. $

1) Исходное уравнение: $\frac{y - x^2}{x - 3} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - 3 \neq 0; \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2, \\ x \neq 3. \end{cases}$

Графиком уравнения является парабола $y = x^2$, у которой исключена (выколота) одна точка. Найдем координаты этой точки, подставив $x = 3$ в уравнение параболы: $y = 3^2 = 9$.

Таким образом, точка с координатами $(3, 9)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(3, 9)$.

2) Исходное уравнение: $\frac{2y - x^2}{4 - x^2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} 2y - x^2 = 0, \\ 4 - x^2 \neq 0; \end{cases}$

Преобразуем систему:

$\begin{cases} 2y = x^2, \\ x^2 \neq 4; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 0.5x^2, \\ x \neq 2 \text{ и } x \neq -2. \end{cases}$

Графиком является парабола $y = 0.5x^2$ с двумя выколотыми точками. Найдем их координаты:

При $x = 2$, $y = 0.5 \cdot 2^2 = 0.5 \cdot 4 = 2$. Точка $(2, 2)$ выколота.

При $x = -2$, $y = 0.5 \cdot (-2)^2 = 0.5 \cdot 4 = 2$. Точка $(-2, 2)$ выколота.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=0.5x^2$ с выколотыми точками $(-2, 2)$ и $(2, 2)$.

3) Исходное уравнение: $\frac{y - x^2}{x - 3} = 0$.

Данное уравнение полностью совпадает с уравнением из пункта 1. Решение и график будут идентичными.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - 3 \neq 0; \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2, \\ x \neq 3. \end{cases}$

Графиком уравнения является парабола $y = x^2$, у которой исключена (выколота) одна точка. Найдем координаты этой точки, подставив $x = 3$ в уравнение параболы: $y = 3^2 = 9$.

Таким образом, точка с координатами $(3, 9)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(3, 9)$.

4) Исходное уравнение: $\frac{y - 0.25x^2}{4 - y} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} y - 0.25x^2 = 0, \\ 4 - y \neq 0; \end{cases}$

Преобразуем систему:

$\begin{cases} y = 0.25x^2, \\ y \neq 4. \end{cases}$

Графиком является парабола $y = 0.25x^2$ с выколотыми точками, ордината которых равна 4. Найдем абсциссы этих точек, подставив $y = 4$ в уравнение параболы:

$4 = 0.25x^2$

$x^2 = \frac{4}{0.25} = 16$

$x = 4$ или $x = -4$.

Следовательно, из графика исключены точки $(4, 4)$ и $(-4, 4)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=0.25x^2$ с выколотыми точками $(-4, 4)$ и $(4, 4)$.

26.12. Какие из перечисленных функций: $y = -3x$; $y = 2x - 1$; $y = 3 - \frac{x}{3}$; $y = 0,5x + 1$ являются:

1) возрастающими;

2) убывающими?

Для того чтобы определить, является ли линейная функция вида $y = kx + b$ возрастающей или убывающей, нужно посмотреть на знак углового коэффициента $k$.

Если $k > 0$, то функция является возрастающей (с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается).

Если $k < 0$, то функция является убывающей (с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается).

Рассмотрим каждую из заданных функций:

1. $y = -3x$. Это линейная функция, у которой угловой коэффициент $k = -3$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2. $y = 2x - 1$. Это линейная функция, у которой угловой коэффициент $k = 2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

3. $y = 3 - \frac{x}{3}$. Перепишем эту функцию в стандартном виде $y = kx + b$: $y = -\frac{1}{3}x + 3$. Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{3}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

4. $y = 0,5x + 1$. Это линейная функция, у которой угловой коэффициент $k = 0,5$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

Теперь ответим на вопросы.

1) возрастающими
Возрастающими являются функции, у которых угловой коэффициент $k$ больше нуля. Из перечисленных это $y = 2x - 1$ (поскольку $k=2 > 0$) и $y = 0,5x + 1$ (поскольку $k=0,5 > 0$).
Ответ: $y = 2x - 1$; $y = 0,5x + 1$.

2) убывающими
Убывающими являются функции, у которых угловой коэффициент $k$ меньше нуля. Из перечисленных это $y = -3x$ (поскольку $k=-3 < 0$) и $y = 3 - \frac{x}{3}$ (поскольку $k=-\frac{1}{3} < 0$).
Ответ: $y = -3x$; $y = 3 - \frac{x}{3}$.

26.13. В каких четвертях расположены графики функций:

1) $y = -0,2x^2$;

2) $y = 5x^2$;

3) $y = -2x^3$?

1) $y = -0,2x^2$
Данная функция является квадратичной функцией вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = -0,2$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $x$ (то есть $x^2 \ge 0$). Поскольку коэффициент $a = -0,2$ является отрицательным числом, то произведение $-0,2x^2$ будет всегда неположительным ($y \le 0$). График функции (парабола) будет расположен ниже оси абсцисс (Ox), с вершиной в точке (0,0).
Проанализируем знаки координат для определения четвертей:
- Если $x < 0$ (II и III четверти), то $y < 0$. Условиям $x < 0$ и $y < 0$ соответствует III четверть.
- Если $x > 0$ (I и IV четверти), то $y < 0$. Условиям $x > 0$ и $y < 0$ соответствует IV четверть.
Следовательно, график функции расположен в третьей и четвертой четвертях.
Ответ: в III и IV четвертях.

2) $y = 5x^2$
Данная функция является квадратичной функцией вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = 5$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Поскольку коэффициент $a = 5$ является положительным числом, то произведение $5x^2$ будет всегда неотрицательным ($y \ge 0$). График функции (парабола) будет расположен выше оси абсцисс (Ox), с вершиной в точке (0,0).
Проанализируем знаки координат для определения четвертей:
- Если $x < 0$ (II и III четверти), то $y > 0$. Условиям $x < 0$ и $y > 0$ соответствует II четверть.
- Если $x > 0$ (I и IV четверти), то $y > 0$. Условиям $x > 0$ и $y > 0$ соответствует I четверть.
Следовательно, график функции расположен в первой и второй четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

3) $y = -2x^3$
Данная функция является кубической функцией вида $y = ax^3$, где коэффициент $a = -2$. Знак выражения $x^3$ совпадает со знаком $x$.
Проанализируем знаки координат для определения четвертей:
- Если $x < 0$ (II и III четверти), то $x^3 < 0$. Тогда $y = -2x^3 = (-2) \cdot (\text{отрицательное число}) > 0$. Условиям $x < 0$ и $y > 0$ соответствует II четверть.
- Если $x > 0$ (I и IV четверти), то $x^3 > 0$. Тогда $y = -2x^3 = (-2) \cdot (\text{положительное число}) < 0$. Условиям $x > 0$ и $y < 0$ соответствует IV четверть.
Следовательно, график функции расположен во второй и четвертой четвертях.
Ответ: во II и IV четвертях.