Страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.3. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = 4x^2$ и $y = \frac{1}{4}x^2$;

2) $y = -x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$;

3) $y = 2x^2$ и $y = 5x^2$.

Для построения графиков функций вида $y = ax^2$ необходимо понимать, что все они являются параболами с вершиной в начале координат (0,0). Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы и ее "ширину".

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Если $|a| > 1$, парабола "уже" (растянута по вертикали) по сравнению с параболой $y = x^2$.
• Если $0 < |a| < 1$, парабола "шире" (сжата по вертикали) по сравнению с параболой $y = x^2$.

Для построения каждого графика составим таблицу значений для нескольких точек.

1) $y = 4x^2$ и $y = \frac{1}{4}x^2$

Обе функции являются параболами с вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вверх, так как коэффициенты $4$ и $\frac{1}{4}$ положительны. Так как $4 > 1$, график $y=4x^2$ будет более узким, а так как $0 < \frac{1}{4} < 1$, график $y=\frac{1}{4}x^2$ будет более широким по сравнению со стандартной параболой.

Составим таблицы значений:

Для $y = 4x^2$:

Для $y = \frac{1}{4}x^2$:

Построим графики на одной координатной плоскости.

Ответ: Графики представляют собой две параболы с общей вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. График функции $y = 4x^2$ (синий) является более узким и расположен внутри графика функции $y = \frac{1}{4}x^2$ (красный).

2) $y = -x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$

Обе функции являются параболами с вершиной в точке (0,0). У функции $y = -x^2$ коэффициент $a=-1$, поэтому ее ветви направлены вниз. У функции $y = \frac{1}{3}x^2$ коэффициент $a=\frac{1}{3}$, поэтому ее ветви направлены вверх. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, парабола $y = \frac{1}{3}x^2$ будет широкой.

Составим таблицы значений:

Для $y = -x^2$:

Для $y = \frac{1}{3}x^2$:

Построим графики на одной координатной плоскости.

Ответ: Графики представляют собой две параболы с общей вершиной в начале координат. У графика $y = -x^2$ (синий) ветви направлены вниз. У графика $y = \frac{1}{3}x^2$ (красный) ветви направлены вверх.

3) $y = 2x^2$ и $y = 5x^2$

Обе функции являются параболами с вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вверх, так как коэффициенты $2$ и $5$ положительны. Так как $|5| > |2| > 1$, обе параболы будут узкими, причем парабола $y=5x^2$ будет уже, чем парабола $y=2x^2$.

Составим таблицы значений:

Для $y = 2x^2$:

Для $y = 5x^2$:

Построим графики на одной координатной плоскости.

Ответ: Графики представляют собой две параболы с общей вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Поскольку $5 > 2$, график функции $y = 5x^2$ (красный) является более узким и расположен внутри графика функции $y = 2x^2$ (синий).

25.4. С помощью графика функции $y = 0,4x^2$ сравните значения выражений:

1) $0,4 \cdot 3^4$ и $0,4 \cdot 4^4$;

2) $0,4 \cdot (-2)^2$ и $0,4 \cdot (-3)^2$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства функции $y = 0,4x^2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Основные свойства функции, которые видны из ее графика:

1. Симметрия. Функция является четной, то есть $y(-x) = y(x)$ для любого значения $x$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Возрастание. На промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает. Это значит, что для любых двух неотрицательных аргументов $x_1$ и $x_2$, если $x_2 > x_1$, то и значение функции в этих точках будет удовлетворять неравенству $y(x_2) > y(x_1)$.

3. Убывание. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает. Это значит, что для любых двух отрицательных аргументов $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то значение функции будет удовлетворять неравенству $y(x_1) > y(x_2)$.

Эти свойства наглядно демонстрируются на графике:

1) Сравним $0,4 \cdot 3^4$ и $0,4 \cdot 4^4$.

Для того чтобы использовать график функции $y = 0,4x^2$, представим данные выражения как значения этой функции. Первое выражение можно преобразовать: $0,4 \cdot 3^4 = 0,4 \cdot (3^2)^2 = 0,4 \cdot 9^2$. Это значение функции $y(x)$ при $x_1 = 9$, то есть $y(9)$. Второе выражение: $0,4 \cdot 4^4 = 0,4 \cdot (4^2)^2 = 0,4 \cdot 16^2$. Это значение функции $y(x)$ при $x_2 = 16$, то есть $y(16)$. Теперь задача сводится к сравнению $y(9)$ и $y(16)$. Аргументы $x_1 = 9$ и $x_2 = 16$ оба положительны. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = 0,4x^2$ возрастает. Поскольку $16 > 9$, то из свойства возрастающей функции следует, что $y(16) > y(9)$. Таким образом, $0,4 \cdot 4^4 > 0,4 \cdot 3^4$.

Ответ: $0,4 \cdot 3^4 < 0,4 \cdot 4^4$.

2) Сравним $0,4 \cdot (-2)^2$ и $0,4 \cdot (-3)^2$.

Эти выражения уже имеют вид $0,4x^2$, где $x$ равен $-2$ и $-3$ соответственно. Первое выражение: $y(-2) = 0,4 \cdot (-2)^2$. Второе выражение: $y(-3) = 0,4 \cdot (-3)^2$. Задача сводится к сравнению значений функции $y(-2)$ и $y(-3)$. Аргументы $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$ оба отрицательны. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = 0,4x^2$ убывает. Поскольку $-3 < -2$, из свойства убывающей функции следует, что $y(-3) > y(-2)$.

Можно решить эту задачу и по-другому, используя свойство четности функции: $y(-x) = y(x)$. $y(-2) = y(2) = 0,4 \cdot 2^2$. $y(-3) = y(3) = 0,4 \cdot 3^2$. Теперь сравнение сводится к сравнению $y(2)$ и $y(3)$. Так как $3 > 2$ и аргументы положительны, то мы находимся на возрастающем участке параболы, поэтому $y(3) > y(2)$. Следовательно, $y(-3) > y(-2)$. Оба способа приводят к одному и тому же выводу: $0,4 \cdot (-3)^2 > 0,4 \cdot (-2)^2$.

Ответ: $0,4 \cdot (-2)^2 < 0,4 \cdot (-3)^2$.

25.5. Используя графики функций, найдите число корней уравнения:

1) $x^2 + 4 = 0;$

2) $4x^2 - 3 = 5;$

3) $5 - 0,4x^2 = 2;$

4) $-2^3 + 3^2x^2 = 4.$

Чтобы найти число корней уравнения графическим методом, нужно представить уравнение в виде $f(x) = g(x)$, построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения.

1) $x^2 + 4 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^2 = -4$.
Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = -4$.
График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат (0, 0). Все точки этой параболы лежат выше или на оси абсцисс ($y \geq 0$).
График функции $y = -4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0, -4). Все точки этой прямой лежат ниже оси абсцисс.
Поскольку графики не пересекаются, уравнение не имеет корней.

Ответ: 0 корней.

2) $4x^2 - 3 = 5$

Преобразуем уравнение: $4x^2 = 5 + 3$, $4x^2 = 8$, $x^2 = 2$.
Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 2$.
График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке (0, 0).
График функции $y = 2$ — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0, 2).
Прямая $y = 2$ пересекает параболу $y = x^2$ в двух точках, так как $2 > 0$.

Ответ: 2 корня.

3) $5 - 0,4x^2 = 2$

Преобразуем уравнение: $-0,4x^2 = 2 - 5$, $-0,4x^2 = -3$. Разделим обе части на -0,4: $x^2 = \frac{-3}{-0,4}$, $x^2 = 7,5$.
Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 7,5$.
График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке (0, 0).
График функции $y = 7,5$ — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; 7,5).
Прямая $y = 7,5$ пересекает параболу $y = x^2$ в двух точках, так как $7,5 > 0$.

Ответ: 2 корня.

4) $-2^3 + 3^2x^2 = 4$

Сначала вычислим степени: $-2^3 = -8$ и $3^2 = 9$.
Уравнение принимает вид: $-8 + 9x^2 = 4$.
Преобразуем его: $9x^2 = 4 + 8$, $9x^2 = 12$, $x^2 = \frac{12}{9}$, $x^2 = \frac{4}{3}$.
Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = \frac{4}{3}$.
График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке (0, 0).
График функции $y = \frac{4}{3}$ — прямая, параллельная оси абсцисс. Так как $\frac{4}{3} \approx 1,33$, она проходит через точку (0; 4/3).
Прямая $y = \frac{4}{3}$ пересекает параболу $y = x^2$ в двух точках, так как $\frac{4}{3} > 0$.

Ответ: 2 корня.

25.6. Пересекаются ли графики функций $y = 3x^2$ и $y = 5 - 2x$?

Чтобы определить, пересекаются ли графики функций, необходимо найти, существуют ли у них общие точки. Координаты общих точек должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Для нахождения таких точек нужно приравнять правые части уравнений данных функций:

$y = 3x^2$

$y = 5 - 2x$

Приравниваем выражения для $y$:

$3x^2 = 5 - 2x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Графики функций пересекаются, если данное квадратное уравнение имеет действительные корни. Количество действительных корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков. Чтобы определить, есть ли у уравнения корни, найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 2$, $c = -5$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$

Поскольку дискриминант $D = 64$, а это больше нуля ($D > 0$), квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что существуют два различных значения $x$, при которых значения $y$ у обеих функций совпадают.

Таким образом, графики функций $y=3x^2$ и $y=5-2x$ имеют две общие точки, то есть пересекаются.

Ответ: да, пересекаются.

25.7. Найдите графическим способом приближенные значения корней уравнения $2x^2 = 3x + 1$.

Для того чтобы решить уравнение $2x^2 = 3x + 1$ графическим способом, необходимо в одной системе координат построить графики двух функций: $y = 2x^2$ и $y = 3x + 1$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y=2x^2$.
Это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x=0$, $y=2 \cdot 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$
• при $x=1$, $y=2 \cdot 1^2 = 2$; точка $(1, 2)$
• при $x=-1$, $y=2 \cdot (-1)^2 = 2$; точка $(-1, 2)$
• при $x=2$, $y=2 \cdot 2^2 = 8$; точка $(2, 8)$
• при $x=-2$, $y=2 \cdot (-2)^2 = 8$; точка $(-2, 8)$

2. Построение графика функции $y=3x+1$.
Это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y=3 \cdot 0 + 1 = 1$; точка $(0, 1)$
• при $x=2$, $y=3 \cdot 2 + 1 = 7$; точка $(2, 7)$

3. Построение и анализ графиков.
Построим графики функций в одной системе координат.

На графике видно, что парабола (синяя линия) и прямая (красная линия) пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и являются приближенными решениями (корнями) уравнения.
Первая точка пересечения имеет абсциссу $x_1$, которая немного меньше нуля. Из графика видно, что $x_1 \approx -0.3$.
Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x_2$, которая близка к $1.8$. Из графика видно, что $x_2 \approx 1.8$.

Ответ: $x_1 \approx -0.3$, $x_2 \approx 1.8$.

25.8. Является ли функция $y = -\frac{1}{3} x^2$ возрастающей (убывающей) на промежутке:

1) $[1; 4];

2) $[-4; -2];

3) $[0; 14]?

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = -\frac{1}{3}x^2$ проанализируем ее свойства.Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{3}$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.Вершина параболы для функции вида $y=ax^2+bx+c$ находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $b=0$, поэтому вершина находится в точке $x_v = 0$. Ордината вершины $y_v = y(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \infty)$. Это можно наглядно представить на графике функции.

1) [1; 4];
Промежуток $[1; 4]$ является частью промежутка $[0, \infty)$, на котором функция убывает. Следовательно, на промежутке $[1; 4]$ функция является убывающей.Для проверки возьмём две точки из этого интервала, например, $x_1=1$ и $x_2=4$. Так как $x_1 < x_2$, для убывающей функции должно выполняться неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.$y(1) = -\frac{1}{3}(1)^2 = -\frac{1}{3}$$y(4) = -\frac{1}{3}(4)^2 = -\frac{16}{3}$Поскольку $-\frac{1}{3} > -\frac{16}{3}$, то $y(1) > y(4)$, что подтверждает, что функция убывает на данном промежутке.
Ответ: убывающая.

2) [-4; -2];
Промежуток $[-4; -2]$ является частью промежутка $(-\infty, 0]$, на котором функция возрастает. Следовательно, на промежутке $[-4; -2]$ функция является возрастающей.Для проверки возьмём две точки из этого интервала, например, $x_1=-4$ и $x_2=-2$. Так как $x_1 < x_2$, для возрастающей функции должно выполняться неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.$y(-4) = -\frac{1}{3}(-4)^2 = -\frac{16}{3}$$y(-2) = -\frac{1}{3}(-2)^2 = -\frac{4}{3}$Поскольку $-\frac{16}{3} < -\frac{4}{3}$, то $y(-4) < y(-2)$, что подтверждает, что функция возрастает на данном промежутке.
Ответ: возрастающая.

3) [0; 14]?
Промежуток $[0; 14]$ является частью промежутка $[0, \infty)$, на котором функция убывает. Следовательно, на промежутке $[0; 14]$ функция является убывающей.Для проверки возьмём две точки из этого интервала, например, $x_1=0$ и $x_2=14$. Так как $x_1 < x_2$, для убывающей функции должно выполняться неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.$y(0) = -\frac{1}{3}(0)^2 = 0$$y(14) = -\frac{1}{3}(14)^2 = -\frac{196}{3}$Поскольку $0 > -\frac{196}{3}$, то $y(0) > y(14)$, что подтверждает, что функция убывает на данном промежутке.
Ответ: убывающая.

25.9. a) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 5x^2$ на промежутке:

1) $[0; 5];$

2) $[-1; 2];$

3) $[-5; -4];$

4) $[0,4; 2,6].$

б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = -0,5x^2$ на промежутке:

1) $[-2; 0];$

2) $[-3; 3];$

3) $[-5; -4];$

4) $[0; 6].$

а) 1)Функция $y = 5x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. На промежутке $[0; 5]$ функция является возрастающей, так как значения $x$ неотрицательны. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 5 \cdot 0^2 = 0$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(5) = 5 \cdot 5^2 = 5 \cdot 25 = 125$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 125.

а) 2)На промежутке $[-1; 2]$ вершина параболы $x=0$ лежит внутри данного промежутка. Поскольку ветви параболы направлены вверх, в этой точке функция достигает своего глобального минимума, который также будет наименьшим значением на этом промежутке.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 5 \cdot 0^2 = 0$.
Наибольшее значение следует искать на концах промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=2$:
$y(-1) = 5 \cdot (-1)^2 = 5 \cdot 1 = 5$.
$y(2) = 5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20$.
Сравнивая полученные значения, находим наибольшее: $y_{наиб} = 20$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 20.

а) 3)Промежуток $[-5; -4]$ находится левее вершины параболы ($x=0$), где функция $y = 5x^2$ является убывающей. Таким образом, наибольшее значение будет в левой точке промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-5) = 5 \cdot (-5)^2 = 5 \cdot 25 = 125$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-4) = 5 \cdot (-4)^2 = 5 \cdot 16 = 80$.
Ответ: наименьшее значение 80, наибольшее значение 125.

а) 4)Промежуток $[0,4; 2,6]$ находится правее вершины параболы ($x=0$), где функция $y = 5x^2$ является возрастающей. Таким образом, наименьшее значение будет в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0,4) = 5 \cdot (0,4)^2 = 5 \cdot 0,16 = 0,8$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2,6) = 5 \cdot (2,6)^2 = 5 \cdot 6,76 = 33,8$.
Ответ: наименьшее значение 0,8, наибольшее значение 33,8.

б) 1)Функция $y = -0,5x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. На промежутке $[-2; 0]$ функция является возрастающей, так как значения $x$ неположительны. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = -0,5 \cdot (-2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.
Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 0.

б) 2)На промежутке $[-3; 3]$ вершина параболы $x=0$ лежит внутри данного промежутка. Поскольку ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего глобального максимума, который также будет наибольшим значением на этом промежутке.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.
Наименьшее значение следует искать на концах промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=-3$ и $x=3$:
$y(-3) = -0,5 \cdot (-3)^2 = -0,5 \cdot 9 = -4,5$.
$y(3) = -0,5 \cdot 3^2 = -0,5 \cdot 9 = -4,5$.
Наименьшее значение равно $-4,5$.
Ответ: наименьшее значение -4,5, наибольшее значение 0.

б) 3)Промежуток $[-5; -4]$ находится левее вершины параболы ($x=0$), где функция $y = -0,5x^2$ является возрастающей. Таким образом, наименьшее значение будет в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-5) = -0,5 \cdot (-5)^2 = -0,5 \cdot 25 = -12,5$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = -0,5 \cdot (-4)^2 = -0,5 \cdot 16 = -8$.
Ответ: наименьшее значение -12,5, наибольшее значение -8.

б) 4)Промежуток $[0; 6]$ находится правее вершины параболы ($x=0$), где функция $y = -0,5x^2$ является убывающей. Таким образом, наибольшее значение будет в левой точке промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(6) = -0,5 \cdot 6^2 = -0,5 \cdot 36 = -18$.
Ответ: наименьшее значение -18, наибольшее значение 0.

25.10. Могут ли пересекаться графики функций $y=ax^2$ и $y=ax-5$?

Чтобы определить, могут ли графики функций $y=ax^2$ и $y=ax-5$ пересекаться, необходимо выяснить, существуют ли общие точки, то есть такие значения $x$, при которых значения $y$ будут одинаковыми. Для этого приравняем правые части уравнений:

$ax^2 = ax - 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение относительно $x$:

$ax^2 - ax + 5 = 0$

Графики будут пересекаться, если это уравнение имеет хотя бы одно действительное решение. Характер решений зависит от значения параметра $a$.

Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - 0 \cdot x + 5 = 0$, что упрощается до неверного равенства $5=0$. Это означает, что при $a=0$ решений нет. В этом случае исходные функции — это $y=0$ (ось абсцисс) и $y=-5$ (горизонтальная прямая), которые не пересекаются.

Если $a \neq 0$, то $ax^2 - ax + 5 = 0$ является квадратным уравнением. Оно имеет действительные решения тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot a \cdot 5 = a^2 - 20a$

Условие $D \ge 0$ приводит к неравенству:

$a^2 - 20a \geq 0$

$a(a - 20) \geq 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $a \le 0$ и $a \ge 20$. Это можно проиллюстрировать на числовой оси, используя метод интервалов:

Объединяя результаты, получаем, что графики пересекаются при $a < 0$ или $a \ge 20$. Поскольку такие значения $a$ существуют (например, $a=-1$ или $a=20$), то графики данных функций могут пересекаться.

Ответ: Да, могут.