Номер 25.4, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.4. С помощью графика функции $y = 0,4x^2$ сравните значения выражений:

1) $0,4 \cdot 3^4$ и $0,4 \cdot 4^4$;

2) $0,4 \cdot (-2)^2$ и $0,4 \cdot (-3)^2$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства функции $y = 0,4x^2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Основные свойства функции, которые видны из ее графика:

1. Симметрия. Функция является четной, то есть $y(-x) = y(x)$ для любого значения $x$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Возрастание. На промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает. Это значит, что для любых двух неотрицательных аргументов $x_1$ и $x_2$, если $x_2 > x_1$, то и значение функции в этих точках будет удовлетворять неравенству $y(x_2) > y(x_1)$.

3. Убывание. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает. Это значит, что для любых двух отрицательных аргументов $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то значение функции будет удовлетворять неравенству $y(x_1) > y(x_2)$.

Эти свойства наглядно демонстрируются на графике:

1) Сравним $0,4 \cdot 3^4$ и $0,4 \cdot 4^4$.

Для того чтобы использовать график функции $y = 0,4x^2$, представим данные выражения как значения этой функции. Первое выражение можно преобразовать: $0,4 \cdot 3^4 = 0,4 \cdot (3^2)^2 = 0,4 \cdot 9^2$. Это значение функции $y(x)$ при $x_1 = 9$, то есть $y(9)$. Второе выражение: $0,4 \cdot 4^4 = 0,4 \cdot (4^2)^2 = 0,4 \cdot 16^2$. Это значение функции $y(x)$ при $x_2 = 16$, то есть $y(16)$. Теперь задача сводится к сравнению $y(9)$ и $y(16)$. Аргументы $x_1 = 9$ и $x_2 = 16$ оба положительны. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = 0,4x^2$ возрастает. Поскольку $16 > 9$, то из свойства возрастающей функции следует, что $y(16) > y(9)$. Таким образом, $0,4 \cdot 4^4 > 0,4 \cdot 3^4$.

Ответ: $0,4 \cdot 3^4 < 0,4 \cdot 4^4$.

2) Сравним $0,4 \cdot (-2)^2$ и $0,4 \cdot (-3)^2$.

Эти выражения уже имеют вид $0,4x^2$, где $x$ равен $-2$ и $-3$ соответственно. Первое выражение: $y(-2) = 0,4 \cdot (-2)^2$. Второе выражение: $y(-3) = 0,4 \cdot (-3)^2$. Задача сводится к сравнению значений функции $y(-2)$ и $y(-3)$. Аргументы $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$ оба отрицательны. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = 0,4x^2$ убывает. Поскольку $-3 < -2$, из свойства убывающей функции следует, что $y(-3) > y(-2)$.

Можно решить эту задачу и по-другому, используя свойство четности функции: $y(-x) = y(x)$. $y(-2) = y(2) = 0,4 \cdot 2^2$. $y(-3) = y(3) = 0,4 \cdot 3^2$. Теперь сравнение сводится к сравнению $y(2)$ и $y(3)$. Так как $3 > 2$ и аргументы положительны, то мы находимся на возрастающем участке параболы, поэтому $y(3) > y(2)$. Следовательно, $y(-3) > y(-2)$. Оба способа приводят к одному и тому же выводу: $0,4 \cdot (-3)^2 > 0,4 \cdot (-2)^2$.

Ответ: $0,4 \cdot (-2)^2 < 0,4 \cdot (-3)^2$.