Номер 25.5, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.5. Используя графики функций, найдите число корней уравнения:

1) $x^2 + 4 = 0;$

2) $4x^2 - 3 = 5;$

3) $5 - 0,4x^2 = 2;$

4) $-2^3 + 3^2x^2 = 4.$

Чтобы найти число корней уравнения графическим методом, нужно представить уравнение в виде $f(x) = g(x)$, построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения.

1) $x^2 + 4 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^2 = -4$.
Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = -4$.
График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат (0, 0). Все точки этой параболы лежат выше или на оси абсцисс ($y \geq 0$).
График функции $y = -4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0, -4). Все точки этой прямой лежат ниже оси абсцисс.
Поскольку графики не пересекаются, уравнение не имеет корней.

Ответ: 0 корней.

2) $4x^2 - 3 = 5$

Преобразуем уравнение: $4x^2 = 5 + 3$, $4x^2 = 8$, $x^2 = 2$.
Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 2$.
График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке (0, 0).
График функции $y = 2$ — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0, 2).
Прямая $y = 2$ пересекает параболу $y = x^2$ в двух точках, так как $2 > 0$.

Ответ: 2 корня.

3) $5 - 0,4x^2 = 2$

Преобразуем уравнение: $-0,4x^2 = 2 - 5$, $-0,4x^2 = -3$. Разделим обе части на -0,4: $x^2 = \frac{-3}{-0,4}$, $x^2 = 7,5$.
Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 7,5$.
График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке (0, 0).
График функции $y = 7,5$ — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; 7,5).
Прямая $y = 7,5$ пересекает параболу $y = x^2$ в двух точках, так как $7,5 > 0$.

Ответ: 2 корня.

4) $-2^3 + 3^2x^2 = 4$

Сначала вычислим степени: $-2^3 = -8$ и $3^2 = 9$.
Уравнение принимает вид: $-8 + 9x^2 = 4$.
Преобразуем его: $9x^2 = 4 + 8$, $9x^2 = 12$, $x^2 = \frac{12}{9}$, $x^2 = \frac{4}{3}$.
Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = \frac{4}{3}$.
График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке (0, 0).
График функции $y = \frac{4}{3}$ — прямая, параллельная оси абсцисс. Так как $\frac{4}{3} \approx 1,33$, она проходит через точку (0; 4/3).
Прямая $y = \frac{4}{3}$ пересекает параболу $y = x^2$ в двух точках, так как $\frac{4}{3} > 0$.

Ответ: 2 корня.