Номер 25.10, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.10. Могут ли пересекаться графики функций $y=ax^2$ и $y=ax-5$?

Чтобы определить, могут ли графики функций $y=ax^2$ и $y=ax-5$ пересекаться, необходимо выяснить, существуют ли общие точки, то есть такие значения $x$, при которых значения $y$ будут одинаковыми. Для этого приравняем правые части уравнений:

$ax^2 = ax - 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение относительно $x$:

$ax^2 - ax + 5 = 0$

Графики будут пересекаться, если это уравнение имеет хотя бы одно действительное решение. Характер решений зависит от значения параметра $a$.

Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - 0 \cdot x + 5 = 0$, что упрощается до неверного равенства $5=0$. Это означает, что при $a=0$ решений нет. В этом случае исходные функции — это $y=0$ (ось абсцисс) и $y=-5$ (горизонтальная прямая), которые не пересекаются.

Если $a \neq 0$, то $ax^2 - ax + 5 = 0$ является квадратным уравнением. Оно имеет действительные решения тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot a \cdot 5 = a^2 - 20a$

Условие $D \ge 0$ приводит к неравенству:

$a^2 - 20a \geq 0$

$a(a - 20) \geq 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $a \le 0$ и $a \ge 20$. Это можно проиллюстрировать на числовой оси, используя метод интервалов:

Объединяя результаты, получаем, что графики пересекаются при $a < 0$ или $a \ge 20$. Поскольку такие значения $a$ существуют (например, $a=-1$ или $a=20$), то графики данных функций могут пересекаться.

Ответ: Да, могут.