Номер 25.8, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.8. Является ли функция $y = -\frac{1}{3} x^2$ возрастающей (убывающей) на промежутке:

1) $[1; 4];

2) $[-4; -2];

3) $[0; 14]?

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = -\frac{1}{3}x^2$ проанализируем ее свойства.Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{3}$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.Вершина параболы для функции вида $y=ax^2+bx+c$ находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $b=0$, поэтому вершина находится в точке $x_v = 0$. Ордината вершины $y_v = y(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \infty)$. Это можно наглядно представить на графике функции.

1) [1; 4];
Промежуток $[1; 4]$ является частью промежутка $[0, \infty)$, на котором функция убывает. Следовательно, на промежутке $[1; 4]$ функция является убывающей.Для проверки возьмём две точки из этого интервала, например, $x_1=1$ и $x_2=4$. Так как $x_1 < x_2$, для убывающей функции должно выполняться неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.$y(1) = -\frac{1}{3}(1)^2 = -\frac{1}{3}$$y(4) = -\frac{1}{3}(4)^2 = -\frac{16}{3}$Поскольку $-\frac{1}{3} > -\frac{16}{3}$, то $y(1) > y(4)$, что подтверждает, что функция убывает на данном промежутке.
Ответ: убывающая.

2) [-4; -2];
Промежуток $[-4; -2]$ является частью промежутка $(-\infty, 0]$, на котором функция возрастает. Следовательно, на промежутке $[-4; -2]$ функция является возрастающей.Для проверки возьмём две точки из этого интервала, например, $x_1=-4$ и $x_2=-2$. Так как $x_1 < x_2$, для возрастающей функции должно выполняться неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.$y(-4) = -\frac{1}{3}(-4)^2 = -\frac{16}{3}$$y(-2) = -\frac{1}{3}(-2)^2 = -\frac{4}{3}$Поскольку $-\frac{16}{3} < -\frac{4}{3}$, то $y(-4) < y(-2)$, что подтверждает, что функция возрастает на данном промежутке.
Ответ: возрастающая.

3) [0; 14]?
Промежуток $[0; 14]$ является частью промежутка $[0, \infty)$, на котором функция убывает. Следовательно, на промежутке $[0; 14]$ функция является убывающей.Для проверки возьмём две точки из этого интервала, например, $x_1=0$ и $x_2=14$. Так как $x_1 < x_2$, для убывающей функции должно выполняться неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.$y(0) = -\frac{1}{3}(0)^2 = 0$$y(14) = -\frac{1}{3}(14)^2 = -\frac{196}{3}$Поскольку $0 > -\frac{196}{3}$, то $y(0) > y(14)$, что подтверждает, что функция убывает на данном промежутке.
Ответ: убывающая.