Номер 25.9, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.9. a) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 5x^2$ на промежутке:

1) $[0; 5];$

2) $[-1; 2];$

3) $[-5; -4];$

4) $[0,4; 2,6].$

б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = -0,5x^2$ на промежутке:

1) $[-2; 0];$

2) $[-3; 3];$

3) $[-5; -4];$

4) $[0; 6].$

а) 1)Функция $y = 5x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. На промежутке $[0; 5]$ функция является возрастающей, так как значения $x$ неотрицательны. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 5 \cdot 0^2 = 0$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(5) = 5 \cdot 5^2 = 5 \cdot 25 = 125$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 125.

а) 2)На промежутке $[-1; 2]$ вершина параболы $x=0$ лежит внутри данного промежутка. Поскольку ветви параболы направлены вверх, в этой точке функция достигает своего глобального минимума, который также будет наименьшим значением на этом промежутке.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 5 \cdot 0^2 = 0$.
Наибольшее значение следует искать на концах промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=2$:
$y(-1) = 5 \cdot (-1)^2 = 5 \cdot 1 = 5$.
$y(2) = 5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20$.
Сравнивая полученные значения, находим наибольшее: $y_{наиб} = 20$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 20.

а) 3)Промежуток $[-5; -4]$ находится левее вершины параболы ($x=0$), где функция $y = 5x^2$ является убывающей. Таким образом, наибольшее значение будет в левой точке промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-5) = 5 \cdot (-5)^2 = 5 \cdot 25 = 125$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-4) = 5 \cdot (-4)^2 = 5 \cdot 16 = 80$.
Ответ: наименьшее значение 80, наибольшее значение 125.

а) 4)Промежуток $[0,4; 2,6]$ находится правее вершины параболы ($x=0$), где функция $y = 5x^2$ является возрастающей. Таким образом, наименьшее значение будет в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0,4) = 5 \cdot (0,4)^2 = 5 \cdot 0,16 = 0,8$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2,6) = 5 \cdot (2,6)^2 = 5 \cdot 6,76 = 33,8$.
Ответ: наименьшее значение 0,8, наибольшее значение 33,8.

б) 1)Функция $y = -0,5x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. На промежутке $[-2; 0]$ функция является возрастающей, так как значения $x$ неположительны. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = -0,5 \cdot (-2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.
Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 0.

б) 2)На промежутке $[-3; 3]$ вершина параболы $x=0$ лежит внутри данного промежутка. Поскольку ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего глобального максимума, который также будет наибольшим значением на этом промежутке.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.
Наименьшее значение следует искать на концах промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=-3$ и $x=3$:
$y(-3) = -0,5 \cdot (-3)^2 = -0,5 \cdot 9 = -4,5$.
$y(3) = -0,5 \cdot 3^2 = -0,5 \cdot 9 = -4,5$.
Наименьшее значение равно $-4,5$.
Ответ: наименьшее значение -4,5, наибольшее значение 0.

б) 3)Промежуток $[-5; -4]$ находится левее вершины параболы ($x=0$), где функция $y = -0,5x^2$ является возрастающей. Таким образом, наименьшее значение будет в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-5) = -0,5 \cdot (-5)^2 = -0,5 \cdot 25 = -12,5$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = -0,5 \cdot (-4)^2 = -0,5 \cdot 16 = -8$.
Ответ: наименьшее значение -12,5, наибольшее значение -8.

б) 4)Промежуток $[0; 6]$ находится правее вершины параболы ($x=0$), где функция $y = -0,5x^2$ является убывающей. Таким образом, наибольшее значение будет в левой точке промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(6) = -0,5 \cdot 6^2 = -0,5 \cdot 36 = -18$.
Ответ: наименьшее значение -18, наибольшее значение 0.