Номер 25.3, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.3. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = 4x^2$ и $y = \frac{1}{4}x^2$;

2) $y = -x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$;

3) $y = 2x^2$ и $y = 5x^2$.

Для построения графиков функций вида $y = ax^2$ необходимо понимать, что все они являются параболами с вершиной в начале координат (0,0). Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы и ее "ширину".

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Если $|a| > 1$, парабола "уже" (растянута по вертикали) по сравнению с параболой $y = x^2$.
• Если $0 < |a| < 1$, парабола "шире" (сжата по вертикали) по сравнению с параболой $y = x^2$.

Для построения каждого графика составим таблицу значений для нескольких точек.

1) $y = 4x^2$ и $y = \frac{1}{4}x^2$

Обе функции являются параболами с вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вверх, так как коэффициенты $4$ и $\frac{1}{4}$ положительны. Так как $4 > 1$, график $y=4x^2$ будет более узким, а так как $0 < \frac{1}{4} < 1$, график $y=\frac{1}{4}x^2$ будет более широким по сравнению со стандартной параболой.

Составим таблицы значений:

Для $y = 4x^2$:

Для $y = \frac{1}{4}x^2$:

Построим графики на одной координатной плоскости.

Ответ: Графики представляют собой две параболы с общей вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. График функции $y = 4x^2$ (синий) является более узким и расположен внутри графика функции $y = \frac{1}{4}x^2$ (красный).

2) $y = -x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$

Обе функции являются параболами с вершиной в точке (0,0). У функции $y = -x^2$ коэффициент $a=-1$, поэтому ее ветви направлены вниз. У функции $y = \frac{1}{3}x^2$ коэффициент $a=\frac{1}{3}$, поэтому ее ветви направлены вверх. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, парабола $y = \frac{1}{3}x^2$ будет широкой.

Составим таблицы значений:

Для $y = -x^2$:

Для $y = \frac{1}{3}x^2$:

Построим графики на одной координатной плоскости.

Ответ: Графики представляют собой две параболы с общей вершиной в начале координат. У графика $y = -x^2$ (синий) ветви направлены вниз. У графика $y = \frac{1}{3}x^2$ (красный) ветви направлены вверх.

3) $y = 2x^2$ и $y = 5x^2$

Обе функции являются параболами с вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вверх, так как коэффициенты $2$ и $5$ положительны. Так как $|5| > |2| > 1$, обе параболы будут узкими, причем парабола $y=5x^2$ будет уже, чем парабола $y=2x^2$.

Составим таблицы значений:

Для $y = 2x^2$:

Для $y = 5x^2$:

Построим графики на одной координатной плоскости.

Ответ: Графики представляют собой две параболы с общей вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Поскольку $5 > 2$, график функции $y = 5x^2$ (красный) является более узким и расположен внутри графика функции $y = 2x^2$ (синий).