Номер 24.8, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.8. Выясните, сколько решений имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} 6x+y=0, \\ -4x+y=2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y+x=7, \\ y=-x-5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x-y=2, \\ 3x-3y-6=0. \end{cases}$

Чтобы определить, сколько решений имеет система линейных уравнений, можно привести каждое уравнение к виду $y = kx + b$ и сравнить их угловые коэффициенты $k$ и смещения $b$.

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 6x + y = 0, \\ -4x + y = 2; \end{cases} $
Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$.
Из первого уравнения выразим $y$: $y = -6x$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = -6$, смещение $b_1 = 0$.
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 4x + 2$. Здесь угловой коэффициент $k_2 = 4$, смещение $b_2 = 2$.
Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), графики этих уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: одно решение.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y + x = 7, \\ y = -x - 5; \end{cases} $
Приведем первое уравнение к виду $y = kx + b$.
$y + x = 7 \implies y = -x + 7$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = -1$, смещение $b_1 = 7$.
Второе уравнение уже имеет нужный вид: $y = -x - 5$. Здесь угловой коэффициент $k_2 = -1$, смещение $b_2 = -5$.
Поскольку угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а смещения различны ($b_1 \neq b_2$), графики этих уравнений (прямые) параллельны и не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 2, \\ 3x - 3y - 6 = 0. \end{cases} $
Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$.
Из первого уравнения: $x - y = 2 \implies y = x - 2$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = 1$, смещение $b_1 = -2$.
Преобразуем второе уравнение: $3x - 3y - 6 = 0 \implies 3y = 3x - 6$. Разделим обе части на 3: $y = x - 2$. Здесь угловой коэффициент $k_2 = 1$, смещение $b_2 = -2$.
Поскольку угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$) и смещения тоже равны ($b_1 = b_2$), графики этих уравнений (прямые) совпадают. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Ответ: бесконечно много решений.