Номер 24.4, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.4. Постройте графики функций и найдите координаты точки их пересечения:

1) $y = x + 4$ и $y = 6 - x;$

2) $y = 7x + 9$ и $y = 3 + x;$

3) $x + y = 3$ и $x - y = 1;$

4) $3x - 2y = -2$ и $7x - 5y = -4.$

1) $y = x + 4$ и $y = 6 - x$

Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения каждой прямой найдем по две точки. Для функции $y = x + 4$ возьмем точки, где прямая пересекает оси координат: если $x=0$, то $y=4$ (точка (0, 4)); если $y=0$, то $x=-4$ (точка (-4, 0)). Для функции $y = 6 - x$ аналогично: если $x=0$, то $y=6$ (точка (0, 6)); если $y=0$, то $x=6$ (точка (6, 0)). Построим графики этих функций на одной координатной плоскости.

Чтобы найти координаты точки пересечения аналитически, решим систему уравнений. Так как в обоих уравнениях левая часть равна $y$, приравняем их правые части: $x + 4 = 6 - x$.

Решим полученное уравнение: $x + x = 6 - 4$, откуда $2x = 2$, и $x = 1$.

Теперь найдем $y$, подставив $x = 1$ в любое из исходных уравнений, например в первое: $y = 1 + 4 = 5$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (1, 5), что совпадает с графическим решением.

Ответ: (1, 5)

2) $y = 7x + 9$ и $y = 3 + x$

Для построения графиков этих линейных функций найдем по две точки для каждой. Для $y = 7x + 9$: если $x=0$, то $y=9$ (точка (0, 9)); если $x=-1$, то $y=2$ (точка (-1, 2)). Для $y = x + 3$: если $x=0$, то $y=3$ (точка (0, 3)); если $x=-3$, то $y=0$ (точка (-3, 0)).

Для нахождения координат точки пересечения приравняем выражения для $y$: $7x + 9 = x + 3$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $7x - x = 3 - 9$.

$6x = -6$

$x = -1$

Подставим $x = -1$ во второе уравнение: $y = -1 + 3 = 2$.

Координаты точки пересечения: (-1, 2).

Ответ: (-1, 2)

3) $x + y = 3$ и $x - y = 1$

Сначала приведем оба уравнения к виду функции $y(x)$, то есть выразим $y$ через $x$. Из первого уравнения: $x + y = 3 \implies y = 3 - x$. Из второго уравнения: $x - y = 1 \implies -y = 1 - x \implies y = x - 1$. Для построения графиков $y = -x + 3$ и $y = x - 1$ найдем точки пересечения с осями. Для $y = -x + 3$: (0, 3) и (3, 0). Для $y = x - 1$: (0, -1) и (1, 0).

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений. Удобнее использовать исходную систему и метод сложения:

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Сложим оба уравнения: $(x + y) + (x - y) = 3 + 1$, что дает $2x = 4$, откуда $x = 2$.

Подставим $x = 2$ в первое уравнение: $2 + y = 3$, откуда $y = 1$.

Координаты точки пересечения: (2, 1).

Ответ: (2, 1)

4) $3x - 2y = -2$ и $7x - 5y = -4$

Приведем оба уравнения к виду функции $y(x)$. Из первого уравнения: $3x - 2y = -2 \implies -2y = -3x - 2 \implies y = \frac{3}{2}x + 1$. Из второго уравнения: $7x - 5y = -4 \implies -5y = -7x - 4 \implies y = \frac{7}{5}x + \frac{4}{5}$. Для построения графиков найдем точки. Для $y = 1.5x + 1$: при $x=0$, $y=1$ (точка (0, 1)); при $x=2$, $y=4$ (точка (2, 4)). Для $y = 1.4x + 0.8$: при $x=0$, $y=0.8$ (точка (0, 0.8)); при $x=-2$, $y=-2$ (точка (-2, -2)).

Для нахождения координат точки пересечения решим исходную систему уравнений методом алгебраического сложения:

$ \begin{cases} 3x - 2y = -2 \\ 7x - 5y = -4 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$ \begin{cases} 15x - 10y = -10 \\ -14x + 10y = 8 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения: $(15x - 10y) + (-14x + 10y) = -10 + 8$, что дает $x = -2$.

Подставим $x = -2$ в первое исходное уравнение: $3(-2) - 2y = -2 \implies -6 - 2y = -2 \implies -2y = 4 \implies y = -2$.

Координаты точки пересечения: (-2, -2).

Ответ: (-2, -2)