Вопросы, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему один из способов решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными назвали графическим способом?

2. Какие линии и сколько надо построить, чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными?

3. Может ли система двух линейных уравнений с двумя переменными иметь только два решения?

4. Почему система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение, либо ни одного решения, либо бесконечно много решений?

1. Почему один из способов решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными назвали графическим способом?

Этот способ решения называется графическим, потому что его суть заключается в визуализации уравнений системы в виде графиков на координатной плоскости. Каждое линейное уравнение с двумя переменными вида $ax + by = c$ (где $a$ или $b$ не равны нулю) представляет собой прямую линию. Решение системы — это пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям. Геометрически такая пара чисел соответствует координатам точки, которая принадлежит графикам обоих уравнений, то есть является точкой их пересечения. Следовательно, метод сводится к построению этих графиков и нахождению координат их общих точек.

Ответ: Способ назван графическим, так как он заключается в поиске решения путем построения графиков уравнений и нахождения координат их точек пересечения.

2. Какие линии и сколько надо построить, чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными?

Графиком любого линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия. Система состоит из двух таких уравнений. Поэтому, чтобы решить систему графическим способом, необходимо на одной координатной плоскости построить две прямые линии. Каждая прямая будет соответствовать одному из уравнений системы. Координаты точки их пересечения (если она существует) и будут решением системы.

Ответ: Чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, надо построить две прямые линии.

3. Может ли система двух линейных уравнений с двумя переменными иметь только два решения?

Нет, система двух линейных уравнений с двумя переменными не может иметь ровно два решения. Это следует из геометрической интерпретации решения. Каждое уравнение системы — это прямая линия на плоскости. Решения системы — это общие точки этих двух прямых. Две прямые на плоскости могут либо пересечься в одной точке, либо не пересекаться вовсе (если они параллельны), либо совпадать (иметь бесконечно много общих точек). Не существует случая, когда две прямые пересекаются ровно в двух точках. Поэтому и система не может иметь ровно два решения.

Ответ: Нет, не может.

4. Почему система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение, либо ни одного решения, либо бесконечно много решений?

Это объясняется взаимным расположением на плоскости двух прямых, которые являются графиками уравнений системы. Существует всего три варианта их взаимного расположения, которые зависят от коэффициентов уравнений. Пусть система задана в общем виде:

$a_1x + b_1y = c_1$

$a_2x + b_2y = c_2$

а) Одно решение. Прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их коэффициенты при переменных не пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$. Координаты этой единственной точки пересечения и являются единственным решением системы.

б) Нет решений. Прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но эта пропорция не сохраняется для свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. Так как параллельные прямые никогда не пересекаются, у них нет общих точек, а значит, система не имеет решений.

в) Бесконечно много решений. Прямые совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. В этом случае уравнения описывают одну и ту же прямую, любая точка которой является решением. Поэтому система имеет бесконечное множество решений.

Поскольку других вариантов взаимного расположения двух прямых на плоскости нет, других вариантов количества решений для системы тоже быть не может.

Ответ: Количество решений системы определяется взаимным расположением двух прямых на плоскости: они могут пересекаться (одно решение), быть параллельными (нет решений) или совпадать (бесконечно много решений).