Номер 24.5, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.5. Решите графически систему уравнений (24.5–24.7):

1) $\begin{cases} y=2x, \\ y=2+x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y=-2x, \\ y=x-3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y-5x=0, \\ y=x-4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y-3x=0, \\ y=-6+x. \end{cases}$

1)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Координаты этой точки и будут являться решением системы.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = 2x \\ y = 2 + x \end{cases} $$

Оба уравнения являются линейными функциями, их графики – прямые. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух ее точек.

Построим график первого уравнения: $y = 2x$.
Это прямая пропорциональность, график проходит через начало координат. Составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку (0, 0).
• Если $x = 2$, то $y = 2 \cdot 2 = 4$. Получаем точку (2, 4).

Построим график второго уравнения: $y = 2 + x$ (или $y = x + 2$).
Составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = 2 + 0 = 2$. Получаем точку (0, 2).
• Если $x = 2$, то $y = 2 + 2 = 4$. Получаем точку (2, 4).

Построим оба графика в одной системе координат.

Графики пересекаются в точке с координатами (2, 4). Это и есть решение системы.
Выполним проверку, подставив найденные значения в оба уравнения:
1) $4 = 2 \cdot 2 \implies 4 = 4$ (верно).
2) $4 = 2 + 2 \implies 4 = 4$ (верно).

Ответ: (2, 4).

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = -2x \\ y = x - 3 \end{cases} $$

Для решения системы построим графики линейных функций $y = -2x$ и $y = x - 3$.

Построим график $y = -2x$.
Это прямая, проходящая через начало координат. Найдем вторую точку:

• Если $x = 1$, то $y = -2 \cdot 1 = -2$. Получаем точку (1, -2).

Построим график $y = x - 3$.
Составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Получаем точку (0, -3).
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 3 = 0$. Получаем точку (3, 0).

Построим графики в одной системе координат.

Прямые пересекаются в точке (1, -2).
Проверка:
1) $-2 = -2 \cdot 1 \implies -2 = -2$ (верно).
2) $-2 = 1 - 3 \implies -2 = -2$ (верно).

Ответ: (1, -2).

3)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y - 5x = 0 \\ y = x - 4 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение к виду $y = kx + b$: $y - 5x = 0 \implies y = 5x$.
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} y = 5x \\ y = x - 4 \end{cases} $$

Построим график функции $y = 5x$.

• Если $x = 0$, то $y = 5 \cdot 0 = 0$. Точка (0, 0).
• Если $x = -1$, то $y = 5 \cdot (-1) = -5$. Точка (-1, -5).

Построим график функции $y = x - 4$.

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 4 = -4$. Точка (0, -4).
• Если $x = 4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Точка (4, 0).

Точка пересечения графиков имеет координаты (-1, -5).
Проверка:
1) $-5 - 5 \cdot (-1) = -5 + 5 = 0$ (верно).
2) $-5 = -1 - 4 \implies -5 = -5$ (верно).

Ответ: (-1, -5).

4)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y - 3x = 0 \\ y = -6 + x \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение: $y - 3x = 0 \implies y = 3x$.
Второе уравнение запишем в более привычном виде: $y = x - 6$.
Система: $$ \begin{cases} y = 3x \\ y = x - 6 \end{cases} $$

Построим график $y = 3x$.

• Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 = 0$. Точка (0, 0).
• Если $x = -2$, то $y = 3 \cdot (-2) = -6$. Точка (-2, -6).

Построим график $y = x - 6$.

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 6 = -6$. Точка (0, -6).
• Если $x = 6$, то $y = 6 - 6 = 0$. Точка (6, 0).

Точка пересечения графиков — (-3, -9).
Проверка:
1) $-9 - 3 \cdot (-3) = -9 + 9 = 0$ (верно).
2) $-9 = -3 - 6 \implies -9 = -9$ (верно).

Ответ: (-3, -9).