Номер 24.9, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.9. Найдите значение выражения $7x_0 + 3y_0$, если координаты точки $A(x_0; y_0)$ являются решением системы уравнений:

1)

$\begin{cases} 7x-3y=-1, \\ 14x-2y=\frac{2}{3}; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 12y+7x=-4, \\ x+24y=-2\frac{5}{7}; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 8y-7x=-5,6, \\ 35x+2y=7; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 10x+12y=7,5, \\ 24y-5x=-5. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x - 3y = -1 \\ 14x - 2y = \frac{2}{3} \end{cases} $ Решим эту систему, чтобы найти координаты $(x_0; y_0)$. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными: $ -2(7x - 3y) = -2(-1) \implies -14x + 6y = 2 $ Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы: $ (-14x + 6y) + (14x - 2y) = 2 + \frac{2}{3} $ $ 4y = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} $ $ 4y = \frac{8}{3} $ $ y_0 = \frac{8}{3 \cdot 4} = \frac{2}{3} $ Подставим найденное значение $y_0$ в первое уравнение исходной системы: $ 7x_0 - 3(\frac{2}{3}) = -1 $ $ 7x_0 - 2 = -1 $ $ 7x_0 = 1 $ $ x_0 = \frac{1}{7} $ Теперь, когда мы нашли решение системы $(x_0; y_0) = (\frac{1}{7}; \frac{2}{3})$, вычислим значение выражения $7x_0 + 3y_0$: $ 7x_0 + 3y_0 = 7 \cdot \frac{1}{7} + 3 \cdot \frac{2}{3} = 1 + 2 = 3 $
Ответ: 3.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 12y + 7x = -4 \\ x + 24y = -2\frac{5}{7} \end{cases} $ Перепишем систему в стандартном виде и преобразуем смешанную дробь в неправильную: $ \begin{cases} 7x + 12y = -4 \\ x + 24y = -\frac{19}{7} \end{cases} $ Умножим первое уравнение на -2: $ -2(7x + 12y) = -2(-4) \implies -14x - 24y = 8 $ Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы: $ (-14x - 24y) + (x + 24y) = 8 + (-\frac{19}{7}) $ $ -13x = \frac{56}{7} - \frac{19}{7} $ $ -13x = \frac{37}{7} $ $ x_0 = -\frac{37}{7 \cdot 13} = -\frac{37}{91} $ Подставим $x_0$ во второе уравнение $x + 24y = -\frac{19}{7}$: $ -\frac{37}{91} + 24y = -\frac{19}{7} $ $ 24y = -\frac{19}{7} + \frac{37}{91} = -\frac{19 \cdot 13}{91} + \frac{37}{91} = \frac{-247 + 37}{91} = -\frac{210}{91} $ Сократим дробь на 7: $ y_0 = -\frac{210}{91 \cdot 24} = -\frac{30}{91 \cdot 4} = -\frac{30}{364} = -\frac{15}{182} $ Проверим вычисления для $y_0$. Используем первое уравнение: $7x_0 + 12y_0 = -4$. $ 7(-\frac{37}{91}) + 12y_0 = -4 \implies -\frac{37}{13} + 12y_0 = -4 $ $ 12y_0 = -4 + \frac{37}{13} = \frac{-52+37}{13} = -\frac{15}{13} $ $ y_0 = -\frac{15}{13 \cdot 12} = -\frac{5}{13 \cdot 4} = -\frac{5}{52} $ Вычислим значение выражения $7x_0 + 3y_0$: $ 7x_0 + 3y_0 = 7(-\frac{37}{91}) + 3(-\frac{5}{52}) = -\frac{37}{13} - \frac{15}{52} = -\frac{37 \cdot 4}{52} - \frac{15}{52} = \frac{-148 - 15}{52} = -\frac{163}{52} $
Ответ: $-\frac{163}{52}$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 8y - 7x = -5,6 \\ 35x + 2y = 7 \end{cases} $ Перепишем систему в стандартном виде: $ \begin{cases} -7x + 8y = -5,6 \\ 35x + 2y = 7 \end{cases} $ Умножим второе уравнение на -4, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $ -4(35x + 2y) = -4(7) \implies -140x - 8y = -28 $ Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы: $ (-7x + 8y) + (-140x - 8y) = -5,6 - 28 $ $ -147x = -33,6 $ $ x_0 = \frac{-33,6}{-147} = \frac{336}{1470} $ Сократим дробь. Числитель и знаменатель делятся на 42 ($336 = 42 \cdot 8$, $1470 = 42 \cdot 35$): $ x_0 = \frac{8}{35} $ Подставим $x_0$ во второе уравнение $35x + 2y = 7$: $ 35(\frac{8}{35}) + 2y = 7 $ $ 8 + 2y = 7 $ $ 2y = -1 $ $ y_0 = -\frac{1}{2} $ Вычислим значение выражения $7x_0 + 3y_0$: $ 7x_0 + 3y_0 = 7(\frac{8}{35}) + 3(-\frac{1}{2}) = \frac{8}{5} - \frac{3}{2} = \frac{16}{10} - \frac{15}{10} = \frac{1}{10} = 0,1 $
Ответ: 0,1.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 10x + 12y = 7,5 \\ 24y - 5x = -5 \end{cases} $ Перепишем систему в стандартном виде: $ \begin{cases} 10x + 12y = 7,5 \\ -5x + 24y = -5 \end{cases} $ Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными: $ 2(-5x + 24y) = 2(-5) \implies -10x + 48y = -10 $ Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы: $ (10x + 12y) + (-10x + 48y) = 7,5 - 10 $ $ 60y = -2,5 $ $ y_0 = -\frac{2,5}{60} = -\frac{25}{600} = -\frac{1}{24} $ Подставим $y_0$ в первое уравнение $10x + 12y = 7,5$: $ 10x_0 + 12(-\frac{1}{24}) = 7,5 $ $ 10x_0 - \frac{1}{2} = 7,5 $ $ 10x_0 = 7,5 + 0,5 = 8 $ $ x_0 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $ Вычислим значение выражения $7x_0 + 3y_0$: $ 7x_0 + 3y_0 = 7(\frac{4}{5}) + 3(-\frac{1}{24}) = \frac{28}{5} - \frac{3}{24} = \frac{28}{5} - \frac{1}{8} $ Приведем к общему знаменателю 40: $ \frac{28 \cdot 8}{40} - \frac{1 \cdot 5}{40} = \frac{224 - 5}{40} = \frac{219}{40} $
Ответ: $\frac{219}{40}$.