Номер 23.15, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.15. Решите систему уравнений $\begin{cases} x+4y=5, \\ 3x-y=2 \end{cases}$ способом алгебраического сложения.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ 3x - y = 2 \end{cases} $

Для решения системы методом алгебраического сложения необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях были противоположными числами. В данной системе коэффициенты при переменной $y$ равны $4$ и $-1$. Чтобы они стали противоположными, умножим обе части второго уравнения системы на $4$.

$ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ 4 \cdot (3x - y) = 4 \cdot 2 \end{cases} $

После умножения система примет вид:

$ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ 12x - 4y = 8 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы. Это позволит исключить переменную $y$.

$(x + 4y) + (12x - 4y) = 5 + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$13x = 13$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{13}{13}$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в первое $x + 4y = 5$, чтобы найти $y$:

$1 + 4y = 5$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$4y = 5 - 1$

$4y = 4$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{4}{4}$

$y = 1$

Таким образом, решение системы уравнений — пара чисел $(1; 1)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=1$ и $y=1$ в оба уравнения исходной системы:

1) Для уравнения $x + 4y = 5$: $1 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5=5$ верно.

2) Для уравнения $3x - y = 2$: $3 \cdot 1 - 1 = 3 - 1 = 2$. Равенство $2=2$ верно.

Решение найдено правильно.

Ответ: $(1; 1)$