Номер 23.9, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.9. Постройте в одной и той же координатной плоскости графики функций, которые заданы формулой:

1) $y = 0.5x + b$ при $b = -3; 5;$

2) $y = kx - 2$ при $k = 4; -\frac{1}{4}. $

Для построения графиков функций в одной координатной плоскости, необходимо сначала подставить заданные значения параметров $b$ и $k$ в формулы, чтобы получить уравнения конкретных функций. Все заданные функции являются линейными, их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1) y = 0,5x + b при b = -3; 5;

Подставляем значения $b$ и получаем две функции:
А) $y = 0,5x - 3$ (при $b = -3$)
Б) $y = 0,5x + 5$ (при $b = 5$)

Найдем по две точки для каждой прямой:

Для функции $y = 0,5x - 3$:
- при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
- при $x = 6$, $y = 0,5 \cdot 6 - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(6; 0)$.
На общем графике эта прямая изображена синим цветом.

Для функции $y = 0,5x + 5$:
- при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0; 5)$.
- при $x = -10$, $y = 0,5 \cdot (-10) + 5 = -5 + 5 = 0$. Точка $(-10; 0)$.
На общем графике эта прямая изображена красным цветом.

Угловые коэффициенты ($k=0,5$) у этих функций одинаковы, поэтому их графики являются параллельными прямыми.

Ответ: Графики функций $y = 0,5x - 3$ и $y = 0,5x + 5$ — это две параллельные прямые.

2) y = kx - 2 при k = 4; $-\frac{1}{4}$;

Подставляем значения $k$ и получаем еще две функции:
А) $y = 4x - 2$ (при $k = 4$)
Б) $y = -\frac{1}{4}x - 2$ (при $k = -\frac{1}{4}$)

Найдем по две точки для каждой прямой:

Для функции $y = 4x - 2$:
- при $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
- при $x = 2$, $y = 4 \cdot 2 - 2 = 8 - 2 = 6$. Точка $(2; 6)$.
На общем графике эта прямая изображена зеленым цветом.

Для функции $y = -\frac{1}{4}x - 2$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
- при $x = 4$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(4; -3)$.
На общем графике эта прямая изображена фиолетовым цветом.

Обе прямые пересекаются в точке $(0; -2)$, так как у них одинаковый свободный член $b=-2$. Угловые коэффициенты этих функций, $k_1 = 4$ и $k_2 = -\frac{1}{4}$, удовлетворяют условию перпендикулярности прямых: $k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot (-\frac{1}{4}) = -1$. Следовательно, их графики перпендикулярны.

Ответ: Графики функций $y = 4x - 2$ и $y = -\frac{1}{4}x - 2$ — это две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $(0; -2)$.

Ниже представлены графики всех четырех функций в одной координатной плоскости.