Страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.8. Запишите несколько формул линейных функций, графики которых параллельны графику функции:

1) $y = -4$;

2) $y = \frac{8}{9}$;

3) $y = 0$.

Основное условие параллельности графиков двух линейных функций — это равенство их угловых коэффициентов. Линейная функция задается формулой $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент. Если у двух функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ коэффициенты $k_1$ и $k_2$ равны, то их графики параллельны (или совпадают, если $b_1 = b_2$).

Все функции, представленные в задаче, являются частными случаями линейной функции, у которых угловой коэффициент $k=0$. Их можно записать в виде $y = 0 \cdot x + b$. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$).

Следовательно, чтобы записать формулу функции, график которой будет параллелен графику исходной, нужно взять любую другую функцию с угловым коэффициентом $k=0$, но с другим свободным членом $b$.

1) y = -4

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=0$ и свободным членом $b=-4$. Любая функция вида $y=c$, где $c$ — это константа, не равная -4, будет иметь параллельный график. Например, можно выбрать следующие функции: $y = 5$, $y = 0$, $y = 10$.

Ответ: $y=5$, $y=0$, $y=10$.

2) y = $\frac{8}{9}$

В данном случае угловой коэффициент $k=0$, а свободный член $b=\frac{8}{9}$. График этой функции — горизонтальная прямая. Чтобы получить параллельный график, необходимо выбрать любую другую константу в правой части уравнения. Например, это могут быть функции: $y = 1$, $y = -2$, $y = 0$.

Ответ: $y=1$, $y=-2$, $y=0$.

3) y = 0

Это линейная функция, у которой $k=0$ и $b=0$. Её график совпадает с осью абсцисс ($Ox$). Любая другая горизонтальная прямая, задаваемая уравнением $y=c$ при $c \neq 0$, будет параллельна оси $Ox$. Например: $y = 7$, $y = -3$, $y = 1.5$.

Ответ: $y=7$, $y=-3$, $y=1.5$.

23.9. Постройте в одной и той же координатной плоскости графики функций, которые заданы формулой:

1) $y = 0.5x + b$ при $b = -3; 5;$

2) $y = kx - 2$ при $k = 4; -\frac{1}{4}. $

Для построения графиков функций в одной координатной плоскости, необходимо сначала подставить заданные значения параметров $b$ и $k$ в формулы, чтобы получить уравнения конкретных функций. Все заданные функции являются линейными, их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1) y = 0,5x + b при b = -3; 5;

Подставляем значения $b$ и получаем две функции:
А) $y = 0,5x - 3$ (при $b = -3$)
Б) $y = 0,5x + 5$ (при $b = 5$)

Найдем по две точки для каждой прямой:

Для функции $y = 0,5x - 3$:
- при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
- при $x = 6$, $y = 0,5 \cdot 6 - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(6; 0)$.
На общем графике эта прямая изображена синим цветом.

Для функции $y = 0,5x + 5$:
- при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0; 5)$.
- при $x = -10$, $y = 0,5 \cdot (-10) + 5 = -5 + 5 = 0$. Точка $(-10; 0)$.
На общем графике эта прямая изображена красным цветом.

Угловые коэффициенты ($k=0,5$) у этих функций одинаковы, поэтому их графики являются параллельными прямыми.

Ответ: Графики функций $y = 0,5x - 3$ и $y = 0,5x + 5$ — это две параллельные прямые.

2) y = kx - 2 при k = 4; $-\frac{1}{4}$;

Подставляем значения $k$ и получаем еще две функции:
А) $y = 4x - 2$ (при $k = 4$)
Б) $y = -\frac{1}{4}x - 2$ (при $k = -\frac{1}{4}$)

Найдем по две точки для каждой прямой:

Для функции $y = 4x - 2$:
- при $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
- при $x = 2$, $y = 4 \cdot 2 - 2 = 8 - 2 = 6$. Точка $(2; 6)$.
На общем графике эта прямая изображена зеленым цветом.

Для функции $y = -\frac{1}{4}x - 2$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
- при $x = 4$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(4; -3)$.
На общем графике эта прямая изображена фиолетовым цветом.

Обе прямые пересекаются в точке $(0; -2)$, так как у них одинаковый свободный член $b=-2$. Угловые коэффициенты этих функций, $k_1 = 4$ и $k_2 = -\frac{1}{4}$, удовлетворяют условию перпендикулярности прямых: $k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot (-\frac{1}{4}) = -1$. Следовательно, их графики перпендикулярны.

Ответ: Графики функций $y = 4x - 2$ и $y = -\frac{1}{4}x - 2$ — это две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $(0; -2)$.

Ниже представлены графики всех четырех функций в одной координатной плоскости.

23.10. Запишите формулу линейной функции, график которой пересекает ось ординат в точке:

1) A(0; -3,5);

2) B(0; $-2\frac{1}{2}$);

3) C(0; $\frac{5}{6}$);

4) D(0; -4,8)

и расположен параллельно графику функции: а) $y = 4x - 7$;

б) $y = 10 - 2,5x$.

Общая формула линейной функции имеет вид $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент, а $b$ – это ордината точки пересечения графика с осью ординат (y-intercept).

Условие параллельности двух линейных функций состоит в том, что их угловые коэффициенты должны быть равны.

Точка пересечения графика функции с осью ординат задает значение коэффициента $b$. Если точка пересечения имеет координаты $(0; y_0)$, то $b = y_0$.

Для решения задачи мы определим коэффициенты $k$ и $b$ для каждого из восьми случаев.

а) 1)

Искомый график параллелен графику функции $y = 4x - 7$. Угловой коэффициент этой функции $k = 4$. Следовательно, угловой коэффициент искомой функции также равен 4.

График пересекает ось ординат в точке A(0; -3,5), значит, коэффициент $b = -3,5$.

Подставляя $k = 4$ и $b = -3,5$ в формулу $y = kx + b$, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = 4x - 3,5$

а) 2)

Искомый график параллелен графику функции $y = 4x - 7$, поэтому угловой коэффициент $k = 4$.

График пересекает ось ординат в точке B(0; $-2\frac{1}{2}$). Преобразуем смешанную дробь в десятичную: $-2\frac{1}{2} = -2,5$. Следовательно, коэффициент $b = -2,5$.

Подставляя $k = 4$ и $b = -2,5$ в формулу $y = kx + b$, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = 4x - 2,5$

а) 3)

Искомый график параллелен графику функции $y = 4x - 7$, поэтому угловой коэффициент $k = 4$.

График пересекает ось ординат в точке C(0; $\frac{5}{6}$), значит, коэффициент $b = \frac{5}{6}$.

Подставляя $k = 4$ и $b = \frac{5}{6}$ в формулу $y = kx + b$, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = 4x + \frac{5}{6}$

а) 4)

Искомый график параллелен графику функции $y = 4x - 7$, поэтому угловой коэффициент $k = 4$.

График пересекает ось ординат в точке D(0; -4,8), значит, коэффициент $b = -4,8$.

Подставляя $k = 4$ и $b = -4,8$ в формулу $y = kx + b$, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = 4x - 4,8$

б) 1)

Искомый график параллелен графику функции $y = 10 - 2,5x$. Перепишем это уравнение в стандартном виде: $y = -2,5x + 10$. Угловой коэффициент этой функции $k = -2,5$. Следовательно, угловой коэффициент искомой функции также равен -2,5.

График пересекает ось ординат в точке A(0; -3,5), значит, коэффициент $b = -3,5$.

Подставляя $k = -2,5$ и $b = -3,5$ в формулу $y = kx + b$, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -2,5x - 3,5$

б) 2)

Искомый график параллелен графику функции $y = 10 - 2,5x$, поэтому угловой коэффициент $k = -2,5$.

График пересекает ось ординат в точке B(0; $-2\frac{1}{2}$). Ордината точки равна $-2,5$, значит, коэффициент $b = -2,5$.

Подставляя $k = -2,5$ и $b = -2,5$ в формулу $y = kx + b$, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -2,5x - 2,5$

б) 3)

Искомый график параллелен графику функции $y = 10 - 2,5x$, поэтому угловой коэффициент $k = -2,5$.

График пересекает ось ординат в точке C(0; $\frac{5}{6}$), значит, коэффициент $b = \frac{5}{6}$.

Подставляя $k = -2,5$ и $b = \frac{5}{6}$ в формулу $y = kx + b$, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -2,5x + \frac{5}{6}$

б) 4)

Искомый график параллелен графику функции $y = 10 - 2,5x$, поэтому угловой коэффициент $k = -2,5$.

График пересекает ось ординат в точке D(0; -4,8), значит, коэффициент $b = -4,8$.

Подставляя $k = -2,5$ и $b = -4,8$ в формулу $y = kx + b$, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -2,5x - 4,8$

23.11. Найдите число b, если известно, что графики линейных функций $y = 3x + b$, $y = 4x + b$, $y = -x + b$, $y = 2,2x + b$ пересекаются в одной и той же точке с графиком функции:

1) $y = x + 7,2;$

2) $y = -5x + 9;$

3) $y = 3,4x - 8;$

4) $y = -\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}.

По условию, графики линейных функций $y = 3x + b$, $y = 4x + b$, $y = -x + b$ и $y = 2.2x + b$ пересекаются в одной и той же точке. Найдём координаты этой общей точки пересечения.
Обозначим эту точку $(x_0, y_0)$. Поскольку она лежит на всех графиках, её координаты удовлетворяют всем четырём уравнениям. Чтобы найти $x_0$, приравняем правые части любых двух уравнений, например, $y = 3x + b$ и $y = 4x + b$:
$3x_0 + b = 4x_0 + b$
Вычтем $b$ из обеих частей равенства:
$3x_0 = 4x_0$
Это равенство выполняется только при $x_0 = 0$.
Теперь найдём $y_0$, подставив $x_0 = 0$ в любое из исходных уравнений:
$y_0 = 3 \cdot 0 + b = b$
Таким образом, все четыре графика пересекаются в точке с координатами $(0, b)$.
По условию, эта же точка лежит на графике функции, заданной в каждом подпункте. Это значит, что мы можем найти $b$, подставив в уравнение каждой функции координаты $x=0$ и $y=b$.

1) $y = x + 7,2$
Подставляем в уравнение $x=0$ и $y=b$:
$b = 0 + 7,2$
$b = 7,2$
Ответ: $7,2$

2) $y = -5x + 9$
Подставляем в уравнение $x=0$ и $y=b$:
$b = -5 \cdot 0 + 9$
$b = 9$
Ответ: $9$

3) $y = 3,4x - 8$
Подставляем в уравнение $x=0$ и $y=b$:
$b = 3,4 \cdot 0 - 8$
$b = -8$
Ответ: $-8$

4) $y = -\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}$
Подставляем в уравнение $x=0$ и $y=b$:
$b = -\frac{3}{8} \cdot 0 - \frac{1}{4}$
$b = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}$

23.12. В каких координатных четвертях расположен график функции $y = kx + b$, если известно, что он проходит через начало координат и параллелен графику функции:

1) $y = 7x + 5;$

2) $y = 3,2x - 4;$

3) $y = -\frac{6}{7}x + 3;$

4) $y = -4,5x - 8?$

Общий вид линейной функции: $y = kx + b$.

По условию задачи, график функции проходит через начало координат, то есть через точку с координатами $(0; 0)$. Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы найти коэффициент $b$:

$0 = k \cdot 0 + b$

$0 = 0 + b$

$b = 0$

Таким образом, уравнение искомой функции имеет вид $y = kx$. График такой функции является прямой, проходящей через начало координат.

Другое условие заключается в том, что график искомой функции параллелен графику заданной функции. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты ($k$) равны. Следовательно, для нахождения уравнения искомой функции нам нужно определить угловой коэффициент $k$ из уравнения данной параллельной прямой.

Расположение графика функции $y = kx$ в координатных четвертях определяется знаком коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, функция возрастает, и ее график расположен в I и III координатных четвертях.

• Если $k < 0$, функция убывает, и ее график расположен во II и IV координатных четвертях.

Теперь решим каждый подпункт.

1) Искомый график параллелен графику функции $y = 7x + 5$.

Угловой коэффициент данной функции $k = 7$. Так как графики параллельны, угловой коэффициент искомой функции также равен 7. Уравнение искомой функции: $y = 7x$. Поскольку $k = 7 > 0$, график расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

2) Искомый график параллелен графику функции $y = 3,2x - 4$.

Угловой коэффициент данной функции $k = 3,2$. Следовательно, угловой коэффициент искомой функции также равен 3,2. Уравнение искомой функции: $y = 3,2x$. Поскольку $k = 3,2 > 0$, график расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

3) Искомый график параллелен графику функции $y = -\frac{6}{7}x + 3$.

Угловой коэффициент данной функции $k = -\frac{6}{7}$. Следовательно, угловой коэффициент искомой функции также равен $-\frac{6}{7}$. Уравнение искомой функции: $y = -\frac{6}{7}x$. Поскольку $k = -\frac{6}{7} < 0$, график расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.

4) Искомый график параллелен графику функции $y = -4,5x - 8$.

Угловой коэффициент данной функции $k = -4,5$. Следовательно, угловой коэффициент искомой функции также равен -4,5. Уравнение искомой функции: $y = -4,5x$. Поскольку $k = -4,5 < 0$, график расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.

23.13. Запишите формулу линейной функции, если известно, что ее график проходит через точку $A(-1; 3)$ и пересекает ось ординат в точке с ординатой:

1) 4,8;

2) -6,05;

3) 8,6;

4) $9\frac{1}{3}$.

Общий вид формулы линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью ординат.

По условию задачи, график функции проходит через точку A(-1; 3). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Если подставить $x = -1$ и $y = 3$ в уравнение $y = kx + b$, мы получим верное равенство: $3 = k \cdot (-1) + b$.

В каждом подпункте дано значение ординаты точки пересечения графика с осью ординат, то есть значение коэффициента $b$. Найдем для каждого случая коэффициент $k$ и запишем итоговую формулу функции.

1) 4,8
Коэффициент $b = 4,8$.
Подставляем известные значения $x = -1$, $y = 3$ и $b = 4,8$ в уравнение $3 = -k + b$:
$3 = -k + 4,8$
Чтобы найти $k$, перенесем его в левую часть, а 3 в правую:
$k = 4,8 - 3$
$k = 1,8$
Теперь, зная $k$ и $b$, записываем формулу линейной функции.
Ответ: $y = 1,8x + 4,8$.

2) -6,05
Коэффициент $b = -6,05$.
Подставляем известные значения в уравнение $3 = -k + b$:
$3 = -k + (-6,05)$
$3 = -k - 6,05$
Переносим $k$ в левую часть, а 3 в правую:
$k = -6,05 - 3$
$k = -9,05$
Записываем формулу линейной функции.
Ответ: $y = -9,05x - 6,05$.

3) 8,6
Коэффициент $b = 8,6$.
Подставляем известные значения в уравнение $3 = -k + b$:
$3 = -k + 8,6$
Переносим $k$ в левую часть, а 3 в правую:
$k = 8,6 - 3$
$k = 5,6$
Записываем формулу линейной функции.
Ответ: $y = 5,6x + 8,6$.

4) $9\frac{1}{3}$
Коэффициент $b = 9\frac{1}{3}$.
Подставляем известные значения в уравнение $3 = -k + b$:
$3 = -k + 9\frac{1}{3}$
Переносим $k$ в левую часть, а 3 в правую:
$k = 9\frac{1}{3} - 3$
$k = 6\frac{1}{3}$
Записываем формулу линейной функции.
Ответ: $y = 6\frac{1}{3}x + 9\frac{1}{3}$.