Страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Могут ли графики двух линейных функций иметь:

1) только одну общую точку;

2) только две общие точки;

3) ни одной общей точки;

4) все общие точки?

2. В каком случае графики линейных функций $y = kx + b$ и $y = tx + m$:

1) пересекаются;

2) параллельны;

3) совпадают?

3. Приведите примеры двух линейных функций, графики которых:

1) пересекаются;

2) параллельны;

3) совпадают.

График линейной функции — это прямая линия. Взаимное расположение двух прямых на плоскости определяет количество их общих точек. Рассмотрим все возможные случаи.

1) только одну общую точку;

Да, могут. Это происходит, когда прямые пересекаются. Две непараллельные прямые на плоскости всегда пересекаются в одной-единственной точке.

Ответ: Да, могут.

2) только две общие точки;

Нет, не могут. Согласно основной аксиоме геометрии, через две различные точки на плоскости можно провести только одну прямую. Если бы графики двух линейных функций (две прямые) имели две общие точки, они бы полностью совпадали и, следовательно, имели бы бесконечно много общих точек, а не ровно две.

Ответ: Нет, не могут.

3) ни одной общей точки;

Да, могут. Это происходит, когда прямые параллельны и не совпадают. Параллельные прямые по определению никогда не пересекаются, а значит, не имеют общих точек.

Ответ: Да, могут.

4) все общие точки?

Да, могут. Это происходит, когда графики функций совпадают, то есть когда обе функции описывают одну и ту же прямую. В этом случае каждая точка одной прямой является точкой и другой прямой, поэтому у них бесконечное множество общих точек (все точки).

Ответ: Да, могут.

Рассмотрим две линейные функции, заданные уравнениями $y = kx + b$ и $y = tx + m$. Коэффициент при $x$ ($k$ и $t$) называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой. Свободный член ($b$ и $m$) определяет точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$).

1) пересекаются;

Графики двух линейных функций пересекаются в одной точке, если их угловые коэффициенты различны. При этом значения свободных членов не имеют значения.

Ответ: Графики пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны: $k \neq t$.

2) параллельны;

Графики параллельны, если они имеют одинаковый наклон, но пересекают ось $y$ в разных точках. Это означает, что их угловые коэффициенты должны быть равны, а свободные члены — различны.

Ответ: Графики параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены не равны: $k = t$ и $b \neq m$.

3) совпадают?

Графики совпадают, если они являются одной и той же прямой. Это означает, что у них должен быть одинаковый наклон и они должны пересекать ось $y$ в одной и той же точке. Следовательно, и угловые коэффициенты, и свободные члены должны быть равны.

Ответ: Графики совпадают, если их угловые коэффициенты равны и свободные члены равны: $k = t$ и $b = m$.

1) пересекаются;

Для того чтобы графики пересекались, их угловые коэффициенты должны быть различны ($k \neq t$). Например, возьмем функции $y = 2x + 3$ и $y = -x + 1$. Здесь $k=2$, $t=-1$. Так как $2 \neq -1$, графики этих функций пересекаются.

Ответ: $y = 2x + 3$ и $y = -x + 1$.

2) параллельны;

Для того чтобы графики были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны, а свободные члены — различны ($k = t, b \neq m$). Например, возьмем функции $y = 3x + 5$ и $y = 3x - 2$. Здесь $k=t=3$ и $b=5, m=-2$. Так как $5 \neq -2$, графики этих функций параллельны.

Ответ: $y = 3x + 5$ и $y = 3x - 2$.

3) совпадают.

Для того чтобы графики совпадали, и угловые коэффициенты, и свободные члены должны быть равны ($k = t, b = m$). Например, возьмем функции $y = 4x - 7$ и $y = 4x - 7$. Это два одинаковых уравнения, которые описывают одну и ту же прямую.

Ответ: $y = 4x - 7$ и $y = 4x - 7$.