Страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.1. Как расположены относительно друг друга графики функций:

1) $y = 2x - 10$ и $y = 2x + 9$;

2) $y = -3x + 9$ и $y = -3x + 9$;

3) $y = -5x + 6$ и $y = -5x$;

4) $y = 1,5 + 4x$ и $y = -4x + 3$;

5) $y = 7 + 2,3x$ и $y = 3,2x - 1$;

6) $y = 10x$ и $y = 1 - 10x$?

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$.

1. Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики функций являются параллельными прямыми.
2. Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$) и свободные члены тоже равны ($b_1 = b_2$), то графики функций совпадают.
3. Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций пересекаются в одной точке.

1) $y = 2x - 10$ и $y = 2x + 9$
Для функции $y = 2x - 10$ угловой коэффициент $k_1 = 2$ и свободный член $b_1 = -10$.
Для функции $y = 2x + 9$ угловой коэффициент $k_2 = 2$ и свободный член $b_2 = 9$.
Поскольку угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = 2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), графики функций параллельны.
Ответ: графики параллельны.

2) $y = -3x + 9$ и $y = -3x + 9$
Обе функции абсолютно идентичны. Угловые коэффициенты равны $k_1 = k_2 = -3$, и свободные члены также равны $b_1 = b_2 = 9$.
Следовательно, графики этих функций совпадают.
Ответ: графики совпадают.

3) $y = -5x + 6$ и $y = -5x$
Для функции $y = -5x + 6$ угловой коэффициент $k_1 = -5$ и свободный член $b_1 = 6$.
Для функции $y = -5x$ (которую можно записать как $y = -5x + 0$) угловой коэффициент $k_2 = -5$ и свободный член $b_2 = 0$.
Так как $k_1 = k_2 = -5$ и $b_1 \neq b_2$, графики функций параллельны.
Ответ: графики параллельны.

4) $y = 1,5 + 4x$ и $y = -4x + 3$
Приведем первую функцию к стандартному виду: $y = 4x + 1,5$. Для нее $k_1 = 4$ и $b_1 = 1,5$.
Для второй функции $y = -4x + 3$ имеем $k_2 = -4$ и $b_2 = 3$.
Поскольку угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$, так как $4 \neq -4$), графики функций пересекаются.
Ответ: графики пересекаются.

5) $y = 7 + 2,3x$ и $y = 3,2x - 1$
Приведем первую функцию к стандартному виду: $y = 2,3x + 7$. Для нее $k_1 = 2,3$ и $b_1 = 7$.
Для второй функции $y = 3,2x - 1$ имеем $k_2 = 3,2$ и $b_2 = -1$.
Поскольку угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$, так как $2,3 \neq 3,2$), графики функций пересекаются.
Ответ: графики пересекаются.

6) $y = 10x$ и $y = 1 - 10x$
Для функции $y = 10x$ (или $y = 10x + 0$) угловой коэффициент $k_1 = 10$ и свободный член $b_1 = 0$.
Для функции $y = 1 - 10x$ (или $y = -10x + 1$) угловой коэффициент $k_2 = -10$ и свободный член $b_2 = 1$.
Поскольку угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$, так как $10 \neq -10$), графики функций пересекаются.
Ответ: графики пересекаются.

23.2. Для линейной функции: 1) $y = 8x - 1$; 2) $y = 3 - 4x$; 3) $y = -2 + 2x$ запишите формулу такой линейной функции, график которой:

а) параллелен графику данной функции;

б) пересекает график данной функции;

в) совпадает с графиком данной функции.

Общий вид линейной функции: $y = kx + b$. Взаимное расположение графиков двух линейных функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ зависит от их угловых коэффициентов $k_1, k_2$ и свободных членов $b_1, b_2$.

• Графики параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны: $k_1 = k_2, b_1 \neq b_2$.
• Графики пересекаются, если их угловые коэффициенты различны: $k_1 \neq k_2$.
• Графики совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны: $k_1 = k_2, b_1 = b_2$.

1) Для функции $y = 8x - 1$

В данной функции угловой коэффициент $k=8$, свободный член $b=-1$.

а) параллелен графику данной функции
Нужно составить формулу с таким же угловым коэффициентом $k=8$ и другим свободным членом, например, $b=1$.

Ответ: $y = 8x + 1$ (можно выбрать любую функцию вида $y = 8x + b$, где $b \neq -1$).

б) пересекает график данной функции
Нужно составить формулу с другим угловым коэффициентом, например, $k=5$. Свободный член может быть любым, например, $b=3$.

Ответ: $y = 5x + 3$ (можно выбрать любую функцию вида $y = kx + b$, где $k \neq 8$).

в) совпадает с графиком данной функции
Нужно использовать те же значения коэффициентов: $k=8$ и $b=-1$.

Ответ: $y = 8x - 1$.

2) Для функции $y = 3 - 4x$

Запишем функцию в стандартном виде $y = kx + b$: $y = -4x + 3$. Здесь угловой коэффициент $k=-4$, свободный член $b=3$.

а) параллелен графику данной функции
Нужно составить формулу с угловым коэффициентом $k=-4$ и свободным членом, отличным от $3$, например, $b=0$.

Ответ: $y = -4x$ (можно выбрать любую функцию вида $y = -4x + b$, где $b \neq 3$).

б) пересекает график данной функции
Нужно составить формулу с угловым коэффициентом, отличным от $-4$, например, $k=1$. Свободный член может быть любым, например, $b=1$.

Ответ: $y = x + 1$ (можно выбрать любую функцию вида $y = kx + b$, где $k \neq -4$).

в) совпадает с графиком данной функции
Нужно использовать те же значения коэффициентов: $k=-4$ и $b=3$.

Ответ: $y = -4x + 3$.

3) Для функции $y = -2 + 2x$

Запишем функцию в стандартном виде $y = kx + b$: $y = 2x - 2$. Здесь угловой коэффициент $k=2$, свободный член $b=-2$.

а) параллелен графику данной функции
Нужно составить формулу с угловым коэффициентом $k=2$ и свободным членом, отличным от $-2$, например, $b=5$.

Ответ: $y = 2x + 5$ (можно выбрать любую функцию вида $y = 2x + b$, где $b \neq -2$).

б) пересекает график данной функции
Нужно составить формулу с угловым коэффициентом, отличным от $2$, например, $k=-1$. Свободный член может быть любым, например, $b=-2$.

Ответ: $y = -x - 2$ (можно выбрать любую функцию вида $y = kx + b$, где $k \neq 2$).

в) совпадает с графиком данной функции
Нужно использовать те же значения коэффициентов: $k=2$ и $b=-2$.

Ответ: $y = 2x - 2$.

23.3. Для линейной функции: 1) $y = 2x - 7$; 2) $y = 1,4 + 3x$; 3) $y = x + 3,5$; 4) $y = -10,5 + 3x$; 5) $y = 3x - 7$

укажите функцию, график которой:

а) параллелен графику данной функции;

б) пересекает график данной функции;

в) совпадает с графиком данной функции.

Для решения задачи воспользуемся свойством линейных функций вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (определяет наклон прямой), а $b$ — свободный член (определяет точку пересечения прямой с осью ординат).

Взаимное расположение графиков двух линейных функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ определяется соотношением их коэффициентов:

• Параллельность: графики параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны ($k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$).

• Пересечение: графики пересекаются в одной точке, если их угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$).

• Совпадение: графики совпадают (являются одной и той же прямой), если равны и угловые коэффициенты, и свободные члены ($k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$).

Выпишем угловые коэффициенты ($k$) и свободные члены ($b$) для каждой из заданных функций, приведя их к стандартному виду $y = kx + b$:

1) $y = 2x - 7$: $k_1 = 2$, $b_1 = -7$.

2) $y = 1,4 + 3x \implies y = 3x + 1,4$: $k_2 = 3$, $b_2 = 1,4$.

3) $y = x + 3,5$: $k_3 = 1$, $b_3 = 3,5$.

4) $y = -10,5 + 3x \implies y = 3x - 10,5$: $k_4 = 3$, $b_4 = -10,5$.

5) $y = 3x - 7$: $k_5 = 3$, $b_5 = -7$.

Теперь проанализируем каждую функцию по отдельности.

1) Для функции $y = 2x - 7$

а) параллелен графику данной функции
Для параллельности необходим график функции с угловым коэффициентом $k=2$ и свободным членом $b \neq -7$. Среди предложенных функций нет других с $k=2$.
Ответ: таких функций в списке нет.

б) пересекает график данной функции
Для пересечения необходим график функции с угловым коэффициентом $k \neq 2$. Этому условию удовлетворяют функции 2), 3), 4), 5), так как их угловые коэффициенты равны 3, 1, 3 и 3 соответственно.
Ответ: $y = 1,4 + 3x$; $y = x + 3,5$; $y = -10,5 + 3x$; $y = 3x - 7$.

в) совпадает с графиком данной функции
Для совпадения необходим график функции с $k=2$ и $b = -7$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.

2) Для функции $y = 1,4 + 3x$

а) параллелен графику данной функции
Ищем функции с $k=3$ и $b \neq 1,4$. Этому условию соответствуют функции 4) $y = -10,5 + 3x$ (где $k_4=3, b_4=-10,5$) и 5) $y = 3x - 7$ (где $k_5=3, b_5=-7$).
Ответ: $y = -10,5 + 3x$ и $y = 3x - 7$.

б) пересекает график данной функции
Ищем функции с $k \neq 3$. Этому условию соответствуют функции 1) $y = 2x - 7$ (где $k_1=2$) и 3) $y = x + 3,5$ (где $k_3=1$).
Ответ: $y = 2x - 7$ и $y = x + 3,5$.

в) совпадает с графиком данной функции
Ищем функцию с $k=3$ и $b = 1,4$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.

3) Для функции $y = x + 3,5$

а) параллелен графику данной функции
Для параллельности необходим график функции с $k=1$ и $b \neq 3,5$. Среди предложенных функций нет других с $k=1$.
Ответ: таких функций в списке нет.

б) пересекает график данной функции
Для пересечения необходим график функции с $k \neq 1$. Этому условию удовлетворяют все остальные функции (1, 2, 4, 5), так как их угловые коэффициенты равны 2, 3, 3, 3.
Ответ: $y = 2x - 7$; $y = 1,4 + 3x$; $y = -10,5 + 3x$; $y = 3x - 7$.

в) совпадает с графиком данной функции
Для совпадения необходим график функции с $k=1$ и $b = 3,5$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.

4) Для функции $y = -10,5 + 3x$

а) параллелен графику данной функции
Ищем функции с $k=3$ и $b \neq -10,5$. Этому условию соответствуют функции 2) $y = 1,4 + 3x$ (где $k_2=3, b_2=1,4$) и 5) $y = 3x - 7$ (где $k_5=3, b_5=-7$).
Ответ: $y = 1,4 + 3x$ и $y = 3x - 7$.

б) пересекает график данной функции
Ищем функции с $k \neq 3$. Этому условию соответствуют функции 1) $y = 2x - 7$ (где $k_1=2$) и 3) $y = x + 3,5$ (где $k_3=1$).
Ответ: $y = 2x - 7$ и $y = x + 3,5$.

в) совпадает с графиком данной функции
Ищем функцию с $k=3$ и $b = -10,5$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.

5) Для функции $y = 3x - 7$

а) параллелен графику данной функции
Ищем функции с $k=3$ и $b \neq -7$. Этому условию соответствуют функции 2) $y = 1,4 + 3x$ (где $k_2=3, b_2=1,4$) и 4) $y = -10,5 + 3x$ (где $k_4=3, b_4=-10,5$).
Ответ: $y = 1,4 + 3x$ и $y = -10,5 + 3x$.

б) пересекает график данной функции
Ищем функции с $k \neq 3$. Этому условию соответствуют функции 1) $y = 2x - 7$ (где $k_1=2$) и 3) $y = x + 3,5$ (где $k_3=1$).
Ответ: $y = 2x - 7$ и $y = x + 3,5$.

в) совпадает с графиком данной функции
Ищем функцию с $k=3$ и $b = -7$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.

23.4. Запишите формулы двух линейных функций, графики которых:

a) пересекаются;

$y_1 = 2x + 1$

$y_2 = x + 3$

б) параллельны;

$y_1 = 2x + 1$

$y_2 = 2x + 3$

в) совпадают.

$y_1 = 2x + 1$

$y_2 = 2x + 1$

Общий вид формулы линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (отвечает за наклон графика), а $b$ — свободный член (отвечает за сдвиг графика по оси ординат).

Рассмотрим две линейные функции: $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$.

а) пересекаются
Графики двух линейных функций пересекаются, то есть имеют одну общую точку, если их угловые коэффициенты различны. При этом значения свободных членов могут быть любыми.
Условие: $k_1 \neq k_2$.
Возьмем, к примеру, $k_1 = 2$ и $k_2 = 5$. Свободные члены выберем произвольно, например, $b_1 = 3$ и $b_2 = -1$.
Получаем две функции: $y = 2x + 3$ и $y = 5x - 1$. Их графики пересекаются, так как $2 \neq 5$.
Ответ: Например, $y = 2x + 3$ и $y = 5x - 1$.

б) параллельны
Графики двух линейных функций параллельны, если они не имеют общих точек. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. Равенство угловых коэффициентов обеспечивает одинаковый наклон прямых, а различие свободных членов — то, что это разные прямые.
Условие: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.
Возьмем, к примеру, $k_1 = k_2 = -3$. Свободные члены должны быть разными, например, $b_1 = 4$ и $b_2 = 0$.
Получаем две функции: $y = -3x + 4$ и $y = -3x$. Их графики параллельны.
Ответ: Например, $y = -3x + 4$ и $y = -3x$.

в) совпадают
Графики двух линейных функций совпадают, если они представляют собой одну и ту же прямую. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и свободные члены у функций одинаковы.
Условие: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.
Возьмем, к примеру, $k_1 = k_2 = 7$ и $b_1 = b_2 = -2$.
Получаем две одинаковые формулы: $y = 7x - 2$ и $y = 7x - 2$. Их графики, очевидно, совпадают.
Ответ: Например, $y = 7x - 2$ и $y = 7x - 2$.

23.5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = -6x + 1$ и $y = 5x + 9;$

2) $y = -17 + 3,4x$ и $y = -1,2x + 69;$

3) $y = 21 - 9x$ и $y = -2,5x + 8;$

4) $y = 16,2 + 8x$ и $y = -0,8x + 7,4;$

5) $y = 1 - 3x$ и $y = -x - 1;$

6) $y = 1 + 7x$ и $y = 6,5x.$

1)

Даны функции $y = -6x + 1$ и $y = 5x + 9$.

Чтобы найти координаты точки пересечения их графиков, необходимо приравнять выражения для $y$, так как в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих функций совпадают.

$-6x + 1 = 5x + 9$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую:

$-6x - 5x = 9 - 1$

$-11x = 8$

$x = -\frac{8}{11}$

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Для нахождения ординаты $y$ подставим найденное значение $x$ в уравнение любой из двух функций. Например, в $y = 5x + 9$:

$y = 5 \cdot (-\frac{8}{11}) + 9 = -\frac{40}{11} + \frac{99}{11} = \frac{59}{11}$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(-\frac{8}{11}, \frac{59}{11})$.

Ответ: $(-\frac{8}{11}, \frac{59}{11})$.

2)

Даны функции $y = -17 + 3,4x$ и $y = -1,2x + 69$.

Приравняем выражения для $y$, чтобы найти общую точку:

$-17 + 3,4x = -1,2x + 69$

Решим уравнение относительно $x$. Сгруппируем слагаемые с $x$ и константы:

$3,4x + 1,2x = 69 + 17$

$4,6x = 86$

$x = \frac{86}{4,6} = \frac{860}{46} = \frac{430}{23}$

Теперь найдем ординату $y$, подставив значение $x$ в одно из уравнений. Например, в $y = -1,2x + 69$:

$y = -1,2 \cdot \frac{430}{23} + 69 = -\frac{12}{10} \cdot \frac{430}{23} + 69 = -\frac{6}{5} \cdot \frac{430}{23} + 69 = -6 \cdot \frac{86}{23} + 69 = -\frac{516}{23} + \frac{69 \cdot 23}{23} = \frac{-516 + 1587}{23} = \frac{1071}{23}$

Таким образом, координаты точки пересечения: $(\frac{430}{23}, \frac{1071}{23})$.

Ответ: $(\frac{430}{23}, \frac{1071}{23})$.

3)

Даны функции $y = 21 - 9x$ и $y = -2,5x + 8$.

Приравняем правые части уравнений:

$21 - 9x = -2,5x + 8$

Решим уравнение относительно $x$:

$21 - 8 = 9x - 2,5x$

$13 = 6,5x$

$x = \frac{13}{6,5} = 2$

Подставим $x = 2$ в первое уравнение для нахождения $y$:

$y = 21 - 9 \cdot 2 = 21 - 18 = 3$

Координаты точки пересечения: $(2, 3)$.

Ответ: $(2, 3)$.

4)

Даны функции $y = 16,2 + 8x$ и $y = -0,8x + 7,4$.

Приравниваем выражения для $y$:

$16,2 + 8x = -0,8x + 7,4$

Решим уравнение, сгруппировав переменные и константы:

$8x + 0,8x = 7,4 - 16,2$

$8,8x = -8,8$

$x = \frac{-8,8}{8,8} = -1$

Теперь найдем $y$, подставив $x = -1$ во второе уравнение:

$y = -0,8 \cdot (-1) + 7,4 = 0,8 + 7,4 = 8,2$

Координаты точки пересечения: $(-1; 8,2)$.

Ответ: $(-1; 8,2)$.

5)

Даны функции $y = 1 - 3x$ и $y = -x - 1$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения:

$1 - 3x = -x - 1$

Решим полученное уравнение:

$1 + 1 = 3x - x$

$2 = 2x$

$x = 1$

Подставим $x = 1$ в любое из уравнений для нахождения ординаты. Возьмем второе:

$y = -1 - 1 = -2$

Координаты точки пересечения: $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.

6)

Даны функции $y = 1 + 7x$ и $y = 6,5x$.

Приравняем выражения для $y$:

$1 + 7x = 6,5x$

Решим уравнение относительно $x$:

$1 = 6,5x - 7x$

$1 = -0,5x$

$x = \frac{1}{-0,5} = -2$

Теперь найдем $y$, подставив $x = -2$ в уравнение $y = 6,5x$:

$y = 6,5 \cdot (-2) = -13$

Координаты точки пересечения: $(-2, -13)$.

Ответ: $(-2, -13)$.

23.6. Докажите, что пересекаются графики функций:

1) $y = 9 + x$ и $y = 5x + 6$;

2) $y = -0.5x + 13$ и $y = 8 + x$;

3) $y = 6x - 5.1$ и $y = 9x - 6$.

Для того чтобы доказать, что графики двух линейных функций пересекаются, необходимо показать, что они не параллельны. Графики линейных функций, заданных уравнениями вида $y = kx + b$, параллельны только в том случае, если их угловые коэффициенты $k$ равны. Если же угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций обязательно пересекутся в одной точке. Таким образом, задача сводится к сравнению угловых коэффициентов для каждой пары функций.

1) Рассматриваем функции $y = 9 + x$ и $y = 5x + 6$.

Приведем первую функцию к стандартному виду $y = kx + b$: $y = x + 9$.

Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 1$.

Угловой коэффициент второй функции $y = 5x + 6$ равен $k_2 = 5$.

Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 = 1$ и $k_2 = 5$. Поскольку $1 \neq 5$, угловые коэффициенты различны. Это означает, что прямые не параллельны и, следовательно, пересекаются.

Ответ: Угловые коэффициенты данных функций равны $1$ и $5$. Так как $1 \neq 5$, их графики пересекаются, что и требовалось доказать.

2) Рассматриваем функции $y = -0,5x + 13$ и $y = 8 + x$.

Угловой коэффициент первой функции $y = -0,5x + 13$ равен $k_1 = -0,5$.

Приведем вторую функцию к стандартному виду: $y = x + 8$. Ее угловой коэффициент $k_2 = 1$.

Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 = -0,5$ и $k_2 = 1$. Поскольку $-0,5 \neq 1$, угловые коэффициенты различны, и, следовательно, графики функций пересекаются.

Ответ: Угловые коэффициенты данных функций равны $-0,5$ и $1$. Так как $-0,5 \neq 1$, их графики пересекаются, что и требовалось доказать.

3) Рассматриваем функции $y = 6x - 5,1$ и $y = 9x - 6$.

Угловой коэффициент первой функции $y = 6x - 5,1$ равен $k_1 = 6$.

Угловой коэффициент второй функции $y = 9x - 6$ равен $k_2 = 9$.

Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 = 6$ и $k_2 = 9$. Поскольку $6 \neq 9$, угловые коэффициенты различны, значит, графики этих функций пересекаются.

Ответ: Угловые коэффициенты данных функций равны $6$ и $9$. Так как $6 \neq 9$, их графики пересекаются, что и требовалось доказать.

23.7. Постройте графики линейных функций и выясните их взаимное расположение:

1) $y = 1,4x + 2$ и $y = x + 2;$

2) $y = -x + 1,5$ и $y = 2x - 3;$

3) $y = 7 + 9x$ и $y = -9x - 0,9;$

4) $y = -\frac{5}{11}x + 2$ и $y = x - 14.$

1) Даны две линейные функции $y = 1,4x + 2$ и $y = x + 2$.

Общий вид линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью $Oy$.
Для первой функции $y_1 = 1,4x + 2$, имеем $k_1 = 1,4$ и $b_1 = 2$.
Для второй функции $y_2 = x + 2$, имеем $k_2 = 1$ и $b_2 = 2$.
Поскольку угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$, так как $1,4 \neq 1$), графики этих функций пересекаются.

Найдем точку пересечения, приравняв выражения для $y$:
$1,4x + 2 = x + 2$
$1,4x - x = 2 - 2$
$0,4x = 0$
$x = 0$
Подставим $x = 0$ в любое из уравнений, чтобы найти $y$:
$y = 0 + 2 = 2$
Таким образом, точка пересечения графиков — $(0; 2)$. Это также точка пересечения с осью $Oy$, так как $b_1 = b_2 = 2$.

Построим графики функций. Для этого найдем по две точки для каждой прямой.

Для $y = 1,4x + 2$:

• при $x = 0$, $y = 2$. Точка $(0; 2)$.
• при $x = 5$, $y = 1,4 \cdot 5 + 2 = 7 + 2 = 9$. Точка $(5; 9)$.

Для $y = x + 2$:

• при $x = 0$, $y = 2$. Точка $(0; 2)$.
• при $x = 5$, $y = 5 + 2 = 7$. Точка $(5; 7)$.

Графики функций на координатной плоскости:

Ответ: Графики функций пересекаются в точке $(0; 2)$.

2) Даны две линейные функции $y = -x + 1,5$ и $y = 2x - 3$.

Для первой функции $y_1 = -x + 1,5$, имеем $k_1 = -1$ и $b_1 = 1,5$.
Для второй функции $y_2 = 2x - 3$, имеем $k_2 = 2$ и $b_2 = -3$.
Поскольку угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$, так как $-1 \neq 2$), графики этих функций пересекаются.

Найдем точку пересечения:
$-x + 1,5 = 2x - 3$
$1,5 + 3 = 2x + x$
$4,5 = 3x$
$x = 1,5$
Подставим $x = 1,5$ в одно из уравнений:
$y = 2 \cdot 1,5 - 3 = 3 - 3 = 0$
Точка пересечения — $(1,5; 0)$. Эта точка лежит на оси $Ox$.

Построим графики:

Для $y = -x + 1,5$:

• при $x = 0$, $y = 1,5$. Точка $(0; 1,5)$.
• при $x = 1,5$, $y = 0$. Точка $(1,5; 0)$.

Для $y = 2x - 3$:

• при $x = 0$, $y = -3$. Точка $(0; -3)$.
• при $x = 1,5$, $y = 0$. Точка $(1,5; 0)$.

Графики функций на координатной плоскости:

Другие страницы:

стр. 143

стр. 144

стр. 145

стр. 146

стр. 147

стр. 148

стр. 149

стр. 150

стр. 151

стр. 152

стр. 153

стр. 154

стр. 155

стр. 156

стр. 157