Страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.1. Является ли линейной функция:

1) $y = x + 1.9;$

2) $y = 13 - x;$

3) $y = x^2 - 5;$

4) $y = 5\frac{1}{3};$

5) $y = 0.5x - 3;$

6) $y = -\frac{x}{11} + 3?$

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

1) $y = x + 1,9$

Данная функция задана формулой $y = x + 1,9$. Эта формула соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$. В данном случае коэффициент $k = 1$, а свободный член $b = 1,9$. Следовательно, функция является линейной.

Ответ: Да, является.

2) $y = 13 - x$

Данную формулу можно переписать в стандартном виде: $y = -x + 13$. Эта формула соответствует общему виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = -1$, а свободный член $b = 13$. Следовательно, функция является линейной.

Ответ: Да, является.

3) $y = x^2 - 5$

Эта функция содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). В формуле линейной функции $y = kx + b$ переменная $x$ должна быть в первой степени. Наличие слагаемого $x^2$ означает, что данная функция не является линейной. Это квадратичная функция.

Ответ: Нет, не является.

4) $y = 5\frac{1}{3}$

Эту функцию можно представить в виде $y = 0 \cdot x + 5\frac{1}{3}$. Такая запись соответствует общему виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = 0$, а свободный член $b = 5\frac{1}{3}$. Функция, у которой $k=0$, является частным случаем линейной функции и называется постоянной функцией. Её график — это прямая, параллельная оси абсцисс.

Ответ: Да, является.

5) $y = 0,5x - 3$

Данная функция задана формулой $y = 0,5x - 3$, которая уже представлена в стандартном виде $y = kx + b$. Здесь коэффициент $k = 0,5$, а свободный член $b = -3$. Следовательно, функция является линейной.

Ответ: Да, является.

6) $y = -\frac{x}{11} + 3$

Данную формулу можно переписать в стандартном виде: $y = -\frac{1}{11}x + 3$. Эта формула соответствует общему виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = -\frac{1}{11}$, а свободный член $b = 3$. Следовательно, функция является линейной.

Ответ: Да, является.

22.2. Дана линейная функция:

1) $y = 4x - 3$;

2) $y = 5 + 2x$;

3) $y = 7 - \frac{2}{3}x$;

4) $y = \frac{5}{6}x + 2$.

Найдите $y$, если $x = 0$; $x = -3$; $x = 9$; $x = 1.5$.

Для нахождения значения функции $y$ при заданных значениях $x$ необходимо подставить эти значения в формулу каждой функции.

1) Для функции $y = 4x - 3$:

Если $x = 0$, то $y = 4 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3$.

Если $x = -3$, то $y = 4 \cdot (-3) - 3 = -12 - 3 = -15$.

Если $x = 9$, то $y = 4 \cdot 9 - 3 = 36 - 3 = 33$.

Если $x = 1,5$, то $y = 4 \cdot 1,5 - 3 = 6 - 3 = 3$.

Ответ: при $x=0, y=-3$; при $x=-3, y=-15$; при $x=9, y=33$; при $x=1,5, y=3$.

2) Для функции $y = 5 + 2x$:

Если $x = 0$, то $y = 5 + 2 \cdot 0 = 5 + 0 = 5$.

Если $x = -3$, то $y = 5 + 2 \cdot (-3) = 5 - 6 = -1$.

Если $x = 9$, то $y = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23$.

Если $x = 1,5$, то $y = 5 + 2 \cdot 1,5 = 5 + 3 = 8$.

Ответ: при $x=0, y=5$; при $x=-3, y=-1$; при $x=9, y=23$; при $x=1,5, y=8$.

3) Для функции $y = 7 - \frac{2}{3}x$:

Если $x = 0$, то $y = 7 - \frac{2}{3} \cdot 0 = 7 - 0 = 7$.

Если $x = -3$, то $y = 7 - \frac{2}{3} \cdot (-3) = 7 + \frac{2 \cdot 3}{3} = 7 + 2 = 9$.

Если $x = 9$, то $y = 7 - \frac{2}{3} \cdot 9 = 7 - \frac{2 \cdot 9}{3} = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$.

Если $x = 1,5$, то $y = 7 - \frac{2}{3} \cdot 1,5 = 7 - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 7 - 1 = 6$.

Ответ: при $x=0, y=7$; при $x=-3, y=9$; при $x=9, y=1$; при $x=1,5, y=6$.

4) Для функции $y = \frac{5}{6}x + 2$:

Если $x = 0$, то $y = \frac{5}{6} \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2$.

Если $x = -3$, то $y = \frac{5}{6} \cdot (-3) + 2 = -\frac{5 \cdot 3}{6} + 2 = -\frac{5}{2} + 2 = -2,5 + 2 = -0,5$.

Если $x = 9$, то $y = \frac{5}{6} \cdot 9 + 2 = \frac{5 \cdot 9}{6} + 2 = \frac{5 \cdot 3}{2} + 2 = \frac{15}{2} + 2 = 7,5 + 2 = 9,5$.

Если $x = 1,5$, то $y = \frac{5}{6} \cdot 1,5 + 2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} + 2 = \frac{15}{12} + 2 = \frac{5}{4} + 2 = 1,25 + 2 = 3,25$.

Ответ: при $x=0, y=2$; при $x=-3, y=-0,5$; при $x=9, y=9,5$; при $x=1,5, y=3,25$.

22.3. Дана линейная функция:

1) $y = 7,2 - 2,4x;$

2) $y = \frac{2}{3} + 6x;$

3) $y = -\frac{3}{8}x + 7,5;$

4) $y = -4,6x - 1\frac{1}{3}.$

Найдите $x$, если $y = 1;$ $y = -1;$ $y = -\frac{2}{3};$ $y = 5.$

1) Для функции $y = 7,2 - 2,4x$ найдем значения $x$ для каждого заданного значения $y$. Для этого подставим значение $y$ в уравнение и решим его относительно $x$.

- Если $y=1$:
$1 = 7,2 - 2,4x$
$2,4x = 7,2 - 1$
$2,4x = 6,2$
$x = \frac{6,2}{2,4} = \frac{62}{24} = \frac{31}{12} = 2\frac{7}{12}$
Ответ: $x = 2\frac{7}{12}$.

- Если $y=-1$:
$-1 = 7,2 - 2,4x$
$2,4x = 7,2 - (-1)$
$2,4x = 8,2$
$x = \frac{8,2}{2,4} = \frac{82}{24} = \frac{41}{12} = 3\frac{5}{12}$
Ответ: $x = 3\frac{5}{12}$.

- Если $y = -\frac{2}{3}$:
$-\frac{2}{3} = 7,2 - 2,4x$
$2,4x = 7,2 - (-\frac{2}{3}) = 7,2 + \frac{2}{3}$
Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$ и $7,2 = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$.
$\frac{12}{5}x = \frac{36}{5} + \frac{2}{3}$
$\frac{12}{5}x = \frac{36 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} = \frac{108 + 10}{15} = \frac{118}{15}$
$x = \frac{118}{15} \cdot \frac{5}{12} = \frac{118}{3 \cdot 12} = \frac{59}{18} = 3\frac{5}{18}$
Ответ: $x = 3\frac{5}{18}$.

- Если $y=5$:
$5 = 7,2 - 2,4x$
$2,4x = 7,2 - 5$
$2,4x = 2,2$
$x = \frac{2,2}{2,4} = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}$
Ответ: $x = \frac{11}{12}$.

2) Для функции $y = \frac{2}{3} + 6x$ найдем значения $x$.

- Если $y=1$:
$1 = \frac{2}{3} + 6x$
$6x = 1 - \frac{2}{3}$
$6x = \frac{1}{3}$
$x = \frac{1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{18}$
Ответ: $x = \frac{1}{18}$.

- Если $y=-1$:
$-1 = \frac{2}{3} + 6x$
$6x = -1 - \frac{2}{3}$
$6x = -\frac{3}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$
$x = -\frac{5}{3 \cdot 6} = -\frac{5}{18}$
Ответ: $x = -\frac{5}{18}$.

- Если $y = -\frac{2}{3}$:
$-\frac{2}{3} = \frac{2}{3} + 6x$
$6x = -\frac{2}{3} - \frac{2}{3}$
$6x = -\frac{4}{3}$
$x = -\frac{4}{3 \cdot 6} = -\frac{4}{18} = -\frac{2}{9}$
Ответ: $x = -\frac{2}{9}$.

- Если $y=5$:
$5 = \frac{2}{3} + 6x$
$6x = 5 - \frac{2}{3}$
$6x = \frac{15}{3} - \frac{2}{3} = \frac{13}{3}$
$x = \frac{13}{3 \cdot 6} = \frac{13}{18}$
Ответ: $x = \frac{13}{18}$.

3) Для функции $y = -\frac{3}{8}x + 7,5$ найдем значения $x$. Переведем $7,5$ в обыкновенную дробь: $7,5 = \frac{15}{2}$.

- Если $y=1$:
$1 = -\frac{3}{8}x + \frac{15}{2}$
$\frac{3}{8}x = \frac{15}{2} - 1 = \frac{15}{2} - \frac{2}{2} = \frac{13}{2}$
$x = \frac{13}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{13 \cdot 4}{3} = \frac{52}{3} = 17\frac{1}{3}$
Ответ: $x = 17\frac{1}{3}$.

- Если $y=-1$:
$-1 = -\frac{3}{8}x + \frac{15}{2}$
$\frac{3}{8}x = \frac{15}{2} - (-1) = \frac{15}{2} + 1 = \frac{15}{2} + \frac{2}{2} = \frac{17}{2}$
$x = \frac{17}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{17 \cdot 4}{3} = \frac{68}{3} = 22\frac{2}{3}$
Ответ: $x = 22\frac{2}{3}$.

- Если $y = -\frac{2}{3}$:
$-\frac{2}{3} = -\frac{3}{8}x + \frac{15}{2}$
$\frac{3}{8}x = \frac{15}{2} - (-\frac{2}{3}) = \frac{15}{2} + \frac{2}{3} = \frac{45+4}{6} = \frac{49}{6}$
$x = \frac{49}{6} \cdot \frac{8}{3} = \frac{49 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{196}{9} = 21\frac{7}{9}$
Ответ: $x = 21\frac{7}{9}$.

- Если $y=5$:
$5 = -\frac{3}{8}x + \frac{15}{2}$
$\frac{3}{8}x = \frac{15}{2} - 5 = \frac{15}{2} - \frac{10}{2} = \frac{5}{2}$
$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$
Ответ: $x = 6\frac{2}{3}$.

4) Для функции $y = -4,6x - 1\frac{1}{3}$ найдем значения $x$. Переведем числа в обыкновенные дроби: $-4,6 = -\frac{46}{10} = -\frac{23}{5}$ и $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Уравнение: $y = -\frac{23}{5}x - \frac{4}{3}$.

- Если $y=1$:
$1 = -\frac{23}{5}x - \frac{4}{3}$
$\frac{23}{5}x = -1 - \frac{4}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{7}{3}$
$x = -\frac{7}{3} \cdot \frac{5}{23} = -\frac{35}{69}$
Ответ: $x = -\frac{35}{69}$.

- Если $y=-1$:
$-1 = -\frac{23}{5}x - \frac{4}{3}$
$\frac{23}{5}x = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$
$x = -\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{23} = -\frac{5}{69}$
Ответ: $x = -\frac{5}{69}$.

- Если $y = -\frac{2}{3}$:
$-\frac{2}{3} = -\frac{23}{5}x - \frac{4}{3}$
$\frac{23}{5}x = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}$
$x = -\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{23} = -\frac{10}{69}$
Ответ: $x = -\frac{10}{69}$.

- Если $y=5$:
$5 = -\frac{23}{5}x - \frac{4}{3}$
$\frac{23}{5}x = -5 - \frac{4}{3} = -\frac{15}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{19}{3}$
$x = -\frac{19}{3} \cdot \frac{5}{23} = -\frac{95}{69} = -1\frac{26}{69}$
Ответ: $x = -1\frac{26}{69}$.

22.4. Постройте график функции:

1) $y = x + 4;$

2) $y = x - 2;$

3) $y = 7 - x;$

4) $y = -3 - x;$

5) $y = 0.6x - 1;$

6) $y = 3 + 2.5x;$

7) $y = \frac{1}{3}x + 9;$

8) $y = 6 - \frac{5}{6}x.$

1)

Для построения графика функции $y = x + 4$ найдем координаты двух точек. Графиком является прямая линия. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

Если $x=0$, то $y = 0 + 4 = 4$. Точка пересечения с осью Oy: A(0; 4).

Если $y=0$, то $0 = x + 4$, откуда $x = -4$. Точка пересечения с осью Ox: B(-4; 0).

Соединим точки A и B прямой линией.

Ответ:

2)

Для построения графика функции $y = x - 2$ найдем координаты двух точек. Графиком является прямая линия.

Если $x=0$, то $y = 0 - 2 = -2$. Точка пересечения с осью Oy: A(0; -2).

Если $y=0$, то $0 = x - 2$, откуда $x = 2$. Точка пересечения с осью Ox: B(2; 0).

Соединим точки A и B прямой линией.

Ответ:

3)

Для построения графика функции $y = 7 - x$ найдем координаты двух точек. Графиком является прямая линия.

Если $x=0$, то $y = 7 - 0 = 7$. Точка пересечения с осью Oy: A(0; 7).

Если $y=0$, то $0 = 7 - x$, откуда $x = 7$. Точка пересечения с осью Ox: B(7; 0).

Соединим точки A и B прямой линией.

Ответ:

4)

Для построения графика функции $y = -3 - x$ найдем координаты двух точек. Графиком является прямая линия.

Если $x=0$, то $y = -3 - 0 = -3$. Точка пересечения с осью Oy: A(0; -3).

Если $y=0$, то $0 = -3 - x$, откуда $x = -3$. Точка пересечения с осью Ox: B(-3; 0).

Соединим точки A и B прямой линией.

Ответ:

5)

Для построения графика функции $y = 0,6x - 1$ найдем координаты двух точек. Графиком является прямая линия.

Если $x=0$, то $y = 0,6 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка A(0; -1).

Для удобства вычислений возьмем $x=5$. Тогда $y = 0,6 \cdot 5 - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка B(5; 2).

Соединим точки A и B прямой линией.

Ответ:

6)

Для построения графика функции $y = 3 + 2,5x$ найдем координаты двух точек. Графиком является прямая линия.

Если $x=0$, то $y = 3 + 2,5 \cdot 0 = 3$. Точка A(0; 3).

Для удобства вычислений возьмем $x=-2$. Тогда $y = 3 + 2,5 \cdot (-2) = 3 - 5 = -2$. Точка B(-2; -2).

Соединим точки A и B прямой линией.

Ответ:

7)

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}x + 9$ найдем координаты двух точек. Графиком является прямая линия.

Если $x=0$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 0 + 9 = 9$. Точка A(0; 9).

Для удобства вычислений возьмем $x=-3$. Тогда $y = \frac{1}{3} \cdot (-3) + 9 = -1 + 9 = 8$. Точка B(-3; 8).

Соединим точки A и B прямой линией.

Ответ:

8)

Для построения графика функции $y = 6 - \frac{5}{6}x$ найдем координаты двух точек. Графиком является прямая линия.

Если $x=0$, то $y = 6 - \frac{5}{6} \cdot 0 = 6$. Точка A(0; 6).

Для удобства вычислений возьмем $x=6$. Тогда $y = 6 - \frac{5}{6} \cdot 6 = 6 - 5 = 1$. Точка B(6; 1).

Соединим точки A и B прямой линией.

Ответ:

22.5. Постройте график функции, заданной формулой $y = 3x - 6$.

Найдите по графику:

1) значение $y$, соответствующее значению $x$, равному $-2; -1; 0; 1,5; 3; 4$;

2) значение $x$, при котором значение $y$ равно: $6; 1,5; 0; -1,5; -3$.

Чтобы построить график функции $y = 3x - 6$, нужно определить тип функции и найти несколько точек, принадлежащих графику. Данная функция является линейной, её общий вид $y = kx + b$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.

Составим таблицу значений, выбрав два произвольных значения для x и вычислив соответствующие им значения y:

1. Пусть $x = 0$, тогда $y = 3 \cdot 0 - 6 = -6$. Получили точку A с координатами (0; -6).

2. Пусть $x = 2$, тогда $y = 3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0$. Получили точку B с координатами (2; 0).

Отметим эти две точки на координатной плоскости и проведём через них прямую. Это и будет график функции $y = 3x - 6$.

1) значение y, соответствующее значению x, равному –2; –1; 0; 1,5; 3; 4;

Чтобы найти по графику значение y для заданного x, нужно найти это значение x на оси абсцисс (Ox), провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — горизонтальную линию до оси ординат (Oy). Полученное значение на оси Oy и будет искомым.

- если $x = -2$, то по графику $y = -12$.

- если $x = -1$, то по графику $y = -9$.

- если $x = 0$, то по графику $y = -6$.

- если $x = 1,5$, то по графику $y = -1,5$.

- если $x = 3$, то по графику $y = 3$.

- если $x = 4$, то по графику $y = 6$.

Ответ: при $x$ равном –2; –1; 0; 1,5; 3; 4, значения $y$ равны соответственно –12; –9; –6; –1,5; 3; 6.

2) значение x, при котором значение y равно: 6; 1,5; 0; –1,5; –3.

Чтобы найти по графику значение x для заданного y, нужно найти это значение y на оси ординат (Oy), провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — вертикальную линию до оси абсцисс (Ox). Полученное значение на оси Ox и будет искомым.

- если $y = 6$, то по графику $x = 4$.

- если $y = 1,5$, то по графику $x = 2,5$.

- если $y = 0$, то по графику $x = 2$.

- если $y = -1,5$, то по графику $x = 1,5$.

- если $y = -3$, то по графику $x = 1$.

Ответ: при $y$ равном 6; 1,5; 0; –1,5; –3, значения $x$ равны соответственно 4; 2,5; 2; 1,5; 1.

22.6. Постройте график функции, заданной формулой $y = -1 - 3x$. Найдите по графику:

1) значение $y$, соответствующее значению $x$, равному $-3; -1; 0; 1,5; 2;$

2) значение $x$, при котором значение $y$ равно: $-4; -2,5; -1; 3; 5; 5.$

Для построения графика функции $y = -1 - 3x$ сначала определим тип этой функции. Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек.

Составим таблицу значений для двух произвольных точек:
1. Пусть $x = 0$, тогда $y = -1 - 3 \cdot 0 = -1$. Получили точку (0; -1).
2. Пусть $x = -2$, тогда $y = -1 - 3 \cdot (-2) = -1 + 6 = 5$. Получили точку (-2; 5).

Отметим эти две точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Теперь, используя построенный график, найдем требуемые значения.

1) Найдем значение $y$ для каждого заданного значения $x$. Для этого находим значение $x$ на горизонтальной оси (оси абсцисс), проводим вертикальную линию до пересечения с графиком функции, а затем от точки пересечения проводим горизонтальную линию до пересечения с вертикальной осью (осью ординат). Полученное значение на оси $y$ и будет искомым.
- Если $x = -3$: На оси $x$ находим точку -3, поднимаемся до графика и движемся к оси $y$. Получаем $y = 8$. (На графике показано синей пунктирной линией).
- Если $x = -1$: Аналогично находим $y = 2$.
- Если $x = 0$: График пересекает ось $y$ в точке -1, следовательно, $y = -1$.
- Если $x = 1,5$: Находим $y = -5,5$.
- Если $x = 2$: Находим $y = -7$.

Ответ: если $x = -3$, то $y = 8$; если $x = -1$, то $y = 2$; если $x = 0$, то $y = -1$; если $x = 1,5$, то $y = -5,5$; если $x = 2$, то $y = -7$.

2) Найдем значение $x$, при котором значение $y$ равно заданному. Для этого находим значение $y$ на вертикальной оси (оси ординат), проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком функции, а затем от точки пересечения проводим вертикальную линию до пересечения с горизонтальной осью (осью абсцисс). Полученное значение на оси $x$ и будет искомым.
- Если $y = -4$: На оси $y$ находим точку -4, движемся к графику и опускаемся на ось $x$. Получаем $x = 1$. (На графике показано зеленой пунктирной линией).
- Если $y = -2,5$: Аналогично находим $x = 0,5$.
- Если $y = -1$: Это точка пересечения графика с осью $y$, для этой точки $x=0$.
- Если $y = 3$: Находим $x = -1\frac{1}{3}$.
- Если $y = 5$: Находим $x = -2$.

Ответ: $y = -4$ при $x = 1$; $y = -2,5$ при $x = 0,5$; $y = -1$ при $x = 0$; $y = 3$ при $x = -1\frac{1}{3}$; $y = 5$ при $x = -2$.