Страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.2. Задает ли функцию график, изображенный на рисунке 21.8:

г) Рис. 21.8

а)
По определению, функция — это правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из некоторого множества соответствует единственное значение зависимой переменной (функции $y$). На данном графике видно, что одному значению аргумента $x$ (абсциссе точек, которая одинакова для всех) соответствует несколько (в данном случае, пять) различных значений $y$. Например, если абсцисса точек равна $c$, то значению $x=c$ соответствуют значения $y_1, y_2, y_3, y_4, y_5$. Это нарушает условие единственности значения функции. Следовательно, данный график не задает функцию.
Ответ: не задает.

б)
На этом графике изображено множество из четырех точек. Каждая точка имеет свою уникальную абсциссу (значение $x$). Это означает, что каждому значению $x$ из области определения (состоящей из четырех чисел) соответствует ровно одно значение $y$ (которое для всех этих точек одинаково). Например, значениям $x_1, x_2, x_3, x_4$ соответствует одно и то же значение $y=d$. Это не противоречит определению функции. Такая зависимость является функцией (в данном случае, постоянной на дискретном множестве).
Ответ: задает.

в)
График представляет собой горизонтальную прямую. Для любого значения аргумента $x$ из области определения (все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$) существует ровно одно соответствующее значение функции $y$. В данном случае это значение постоянно и равно некоторому числу $c$ (уравнение прямой $y=c$). Поскольку для каждого $x$ значение $y$ единственно, данный график задает функцию. Это график постоянной функции.
Ответ: задает.

г)
График представляет собой вертикальную прямую с уравнением $x=c$ для некоторой константы $c$. На этой прямой одному значению аргумента $x=c$ соответствует бесконечно много значений функции $y$ (все действительные числа, $y \in \mathbb{R}$). Это прямое нарушение определения функции, которое требует единственности значения $y$ для каждого $x$. Для проверки можно использовать "тест вертикальной линией": если существует вертикальная линия, которая пересекает график более чем в одной точке, то график не является графиком функции. В данном случае сама прямая $x=c$ пересекает график в бесконечном количестве точек.
Ответ: не задает.

21.3. Найдите область определения функции по ее графику (рис. 21.9):

а)

б)

в)

г)

Рис. 21.9

а) Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x$), при которых функция существует. Для графика, состоящего из набора отдельных точек, область определения представляет собой множество абсцисс (координат $x$) этих точек. На данном графике мы видим четыре точки. Найдем их координаты: $(-2; -1)$, $(0; 1)$, $(2; 0)$ и $(3; 0)$. Абсциссы этих точек равны $-2$, $0$, $2$ и $3$.Таким образом, область определения данной функции состоит из этих четырех чисел.
Ответ: $D(y) = \{-2; 0; 2; 3\}$.

б) Данный график не является графиком функции. Согласно определению, функцией называется зависимость, при которой каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) соответствует единственное значение зависимой переменной (функции $y$). На данном графике мы видим, что значению аргумента $x = -1$ соответствуют два разных значения функции: $y=2$ и $y=4$. Это противоречит определению функции.Поскольку данное отношение не является функцией, говорить о ее области определения некорректно.
Ответ: График не является графиком функции, поэтому найти ее область определения невозможно.

в) График функции представляет собой непрерывную ломаную линию. Область определения такой функции — это проекция всех ее точек на ось абсцисс ($x$). Крайняя левая точка графика имеет абсциссу $x=-2$, а крайняя правая — $x=4$. Обе эти точки включены в график (обозначены закрашенными кружками). Функция определена для всех значений $x$ между $-2$ и $4$ включительно.Следовательно, область определения функции — это числовой промежуток от $-2$ до $4$.
Ответ: $D(y) = [-2; 4]$.

г) График представляет собой прямую линию, которая, судя по отсутствию конечных точек, продолжается бесконечно в обе стороны. Это означает, что для любого действительного числа $x$ можно найти соответствующее ему значение $y$ на этой прямой. Проекция всей прямой на ось $x$ покрывает всю числовую ось.Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.