Страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.7. По графику функции, изображенному на рисунке 21.12, найдите:

1) область определения функции;

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю;

3) числовые промежутки, на которых функция:

а) возрастает;

б) убывает;

4) числовые промежутки, на которых функция:

а) положительна;

б) отрицательна.

Поскольку изображение графика (рисунок 21.12), необходимое для решения задачи, не представлено, невозможно дать точные числовые ответы. Ниже приведено подробное пошаговое руководство, как найти требуемые характеристики по заданному графику функции.

1) область определения функции

Область определения функции ($D(f)$) — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция задана. Чтобы найти ее по графику, необходимо найти проекцию всего графика на ось абсцисс ($Ox$).
Посмотрите на график и найдите самую левую и самую правую его точки. Их $x$-координаты являются границами области определения. Обратите внимание, включены ли граничные точки в область определения: закрашенная точка на конце графика означает, что граница включается (используется квадратная скобка), а выколотая (пустая) точка — не включается (используется круглая скобка).

Ответ: [Запишите найденный промежуток. Например: $D(f) = [-5, 6)$]

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю

Значения аргумента $x$, при которых функция равна нулю ($f(x)=0$), называются нулями функции. На графике это $x$-координаты (абсциссы) точек, в которых график пересекает или касается оси $Ox$.
Найдите все точки пересечения или касания графика с осью $Ox$ и выпишите их абсциссы.

Ответ: [Перечислите найденные значения $x$. Например: $x_1 = -4, x_2 = 1, x_3 = 5$]

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает

а) Возрастание: Функция возрастает на тех промежутках, где ее график при движении слева направо идет вверх. Необходимо найти все такие участки и записать соответствующие им интервалы по оси $x$.
б) Убывание: Функция убывает на тех промежутках, где ее график при движении слева направо идет вниз. Необходимо найти все такие участки и записать соответствующие им интервалы по оси $x$.
Границами этих промежутков обычно служат $x$-координаты точек экстремумов (локальных максимумов и минимумов).

Ответ:
а) возрастает на: [Запишите промежутки. Например: $[-5, -2] \cup [3, 6)$]
б) убывает на: [Запишите промежутки. Например: $[-2, 3]$]

4) числовые промежутки, на которых функция: а) положительна; б) отрицательна

а) Положительность: Функция положительна ($f(x) > 0$) на тех промежутках, где ее график расположен выше оси $Ox$. Найдите эти участки и запишите соответствующие им интервалы по оси $x$.
б) Отрицательность: Функция отрицательна ($f(x) < 0$) на тех промежутках, где ее график расположен ниже оси $Ox$. Найдите эти участки и запишите соответствующие им интервалы по оси $x$.
Границами этих промежутков являются нули функции (точки пересечения с осью $Ox$).

Ответ:
а) функция положительна ($f(x) > 0$) на: [Запишите промежутки. Например: $(-4, 1) \cup (5, 6)$]
б) функция отрицательна ($f(x) < 0$) на: [Запишите промежутки. Например: $[-5, -4) \cup (1, 5)$]

21.8. Задайте функцию с помощью таблицы и постройте график по ее формуле $y = 5x - 3$, если область определения этой функции состоит из чисел: $-1$; $0$; $0,5$; $1$; $1,5$.

Задание функции с помощью таблицы

Дана функция, заданная формулой $y=5x-3$. Область определения этой функции состоит из чисел: $-1; 0; 0,5; 1; 1,5$. Чтобы задать функцию с помощью таблицы, нужно для каждого значения аргумента $x$ из области определения вычислить соответствующее значение функции $y$.

Выполним вычисления:
1. Если $x = -1$, то $y = 5 \cdot (-1) - 3 = -5 - 3 = -8$.
2. Если $x = 0$, то $y = 5 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3$.
3. Если $x = 0,5$, то $y = 5 \cdot 0,5 - 3 = 2,5 - 3 = -0,5$.
4. Если $x = 1$, то $y = 5 \cdot 1 - 3 = 5 - 3 = 2$.
5. Если $x = 1,5$, то $y = 5 \cdot 1,5 - 3 = 7,5 - 3 = 4,5$.

Теперь составим таблицу значений.

Ответ:

Построение графика функции

График данной функции состоит из пяти точек, координаты которых мы нашли и записали в таблицу: $(-1; -8)$, $(0; -3)$, $(0,5; -0,5)$, $(1; 2)$ и $(1,5; 4,5)$. Построим систему координат и отметим на ней эти точки.

Ответ:

21.9. По графику функции, изображенному на рисунке 21.13, най-

дите:

1) область определения функции;

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю;

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает;

б) убывает.

а)

$y$, $x$, $O$, $-3$, $1$, $3$

б)

$y$, $x$, $O$, $1$

в)

$y$, $x$, $O$, $1$

г)

$y$, $x$, $O$, $1$

Рис. 21.13

а)

1) область определения функции
Областью определения функции ($D(y)$) является множество всех значений аргумента $x$, для которых функция существует. Для данного графика это все значения $x$ от $-3$ до $3$ включительно, так как крайние точки графика обозначены закрашенными кружками.
Ответ: $D(y) = [-3; 3]$.

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю
Функция равна нулю ($y=0$) в точках, где её график пересекает ось абсцисс ($Ox$). Из графика видно, что это происходит в точках $x = -3$ и $x = 3$.
Ответ: $x = -3$, $x = 3$.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает
а) Функция возрастает на промежутке, где с увеличением $x$ значения $y$ увеличиваются (график движется вверх при движении слева направо). Это происходит на промежутке от $x = -3$ до $x = 0$.
б) Функция убывает на промежутке, где с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются (график движется вниз при движении слева направо). Это происходит на промежутке от $x = 0$ до $x = 3$.
Ответ: а) возрастает на $[-3; 0]$; б) убывает на $[0; 3]$.

б)

1) область определения функции
График существует для всех значений $x$, кроме $x=0$, где наблюдается разрыв (вертикальная асимптота).
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю
График функции не пересекает ось абсцисс ($Ox$), поэтому значений аргумента, при которых функция равна нулю, не существует.
Ответ: нулей нет.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает
а) Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$, так как при движении слева направо на этом интервале график идет вверх.
б) Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$, так как при движении слева направо на этом интервале график идет вниз.
Ответ: а) возрастает на $(-\infty; 0)$; б) убывает на $(0; +\infty)$.

в)

1) область определения функции
График существует для всех значений $x$, кроме $x=0$, где наблюдается разрыв (вертикальная асимптота).
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю
График функции не пересекает ось абсцисс ($Ox$), поэтому нулей у функции нет.
Ответ: нулей нет.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает
а) Функция возрастает как на промежутке $(-\infty; 0)$, так и на промежутке $(0; +\infty)$. На обоих этих промежутках с ростом $x$ значения $y$ увеличиваются.
б) Промежутков, на которых функция убывает, нет.
Ответ: а) возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$; б) промежутков убывания нет.

г)

1) область определения функции
График существует для всех значений $x$, кроме $x=0$, где наблюдается разрыв (вертикальная асимптота).
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю
График функции не пересекает ось абсцисс ($Ox$), поэтому нулей у функции нет.
Ответ: нулей нет.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает
а) Функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$, где график идет вверх при движении слева направо.
б) Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$, где график идет вниз при движении слева направо.
Ответ: а) возрастает на $(0; +\infty)$; б) убывает на $(-\infty; 0)$.