Страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.4. Найдите область определения функции по ее графику (рис. 21.10):

а) $x \in [-0.5; 3]$

б) $x \in (-\infty; +\infty)$

в) $x \in [-3; 4.5]$

г) $x \in [0.5; 2.5]$

Рис. 21.10

а)

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Чтобы найти область определения по графику, нужно спроецировать все точки графика на ось абсцисс (ось $Ox$).

На данном графике самая левая точка имеет абсциссу $x = -1$, а самая правая — $x = 2$. Обе эти точки обозначены закрашенными кружками, что означает, что они включены в область определения. График непрерывен между этими точками.

Следовательно, область определения функции представляет собой числовой промежуток от -1 до 2 включительно.

Ответ: $D(y) = [-1; 2]$.

б)

График этой функции является непрерывной линией, которая уходит влево и вправо за пределы видимой области. Это означает, что для любого действительного значения аргумента $x$ существует соответствующее значение функции $y$. На графике нет разрывов или конечных точек.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в)

Проекция графика на ось $Ox$ начинается в точке, где $x = -2$, и продолжается вправо в бесконечность. Начальная точка графика не является "выколотой" (пустым кружком), поэтому значение $x = -2$ включается в область определения.

Следовательно, функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны -2.

Ответ: $D(y) = [-2; +\infty)$.

г)

График этой функции представляет собой кривую, ограниченную двумя точками. Левая конечная точка имеет абсциссу $x = 0$, а правая — $x = 2$. Обе точки закрашены, что означает, что они включены в область определения. Функция определена для всех значений $x$ между 0 и 2 включительно.

Таким образом, область определения функции — это отрезок $[0; 2]$.

Ответ: $D(y) = [0; 2]$.

21.5. Установите по графикам, изображенным на рисунке 21.11, какие из функций возрастающие, какие — убывающие.

a)

б)

в)

Рис. 21.11

а) Определим, является ли функция возрастающей или убывающей. Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Функция называется убывающей, если при $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
График данной функции состоит из пяти точек. Выпишем их координаты, приняв сторону клетки за единицу: $(-2, 2)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, 0)$.
Рассмотрим, как меняется значение функции $y$ при увеличении аргумента $x$ (движении слева направо):
При переходе от $x=-2$ к $x=1$, значения $y$ последовательно уменьшаются: $f(-2)=2$, $f(-1)=1$, $f(0)=0$, $f(1)=-1$. Так как $2 > 1 > 0 > -1$, на этом множестве точек функция убывает.
При переходе от $x=1$ к $x=2$, значение $y$ увеличивается, так как $f(1)=-1 < f(2)=0$. На этом участке функция возрастает.
Поскольку на всей своей области определения функция и не возрастает, и не убывает, она не является ни возрастающей, ни убывающей.
Ответ: функция не является ни возрастающей, ни убывающей.

б) На графике изображена непрерывная функция. Проанализируем ее поведение. Если двигаться по графику слева направо, в направлении увеличения аргумента $x$, мы видим, что линия графика постоянно идет вниз. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Формально, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, будет выполняться условие $f(x_1) > f(x_2)$.
Следовательно, данная функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

в) На графике изображена линейная функция. Если двигаться по графику слева направо, в направлении увеличения аргумента $x$, мы видим, что прямая постоянно идет вверх. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Формально, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, будет выполняться условие $f(x_1) < f(x_2)$.
Следовательно, данная функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

21.6. По графику функции, изображенному на рисунке 21.12, найдите:

1) область определения функции;

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю;

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает.

а)

б)

в)

Рис. 21.12

Рисунок a)

1) область определения функции;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Глядя на график, мы видим, что крайняя левая точка графика имеет абсциссу $x = -6$, а крайняя правая точка — абсциссу $x = 2$. График непрерывен между этими точками. Следовательно, область определения функции — это промежуток от -6 до 2, включая концы.

Ответ: $D(y) = [-6; 2]$.

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю;

Функция равна нулю при тех значениях аргумента $x$, в которых её график пересекает ось абсцисс (ось $Ox$). Из графика видно, что одно из таких значений — $x = -6$. Другая точка пересечения находится на отрезке графика, соединяющем точки $(0; -1)$ и $(2; 4)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Угловой коэффициент: $k = \frac{4 - (-1)}{2 - 0} = \frac{5}{2}$. Так как прямая проходит через точку $(0; -1)$, её уравнение имеет вид $y = \frac{5}{2}x - 1$. Чтобы найти точку пересечения с осью $Ox$, приравняем $y$ к нулю: $0 = \frac{5}{2}x - 1 \Rightarrow \frac{5}{2}x = 1 \Rightarrow x = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: $y = 0$ при $x = -6$ и $x = 0.4$.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает.

а) возрастает

Функция возрастает на тех промежутках, где её график идёт вверх при движении слева направо. На данном графике это происходит на отрезке от точки с абсциссой $x = 0$ до точки с абсциссой $x = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 2]$.

б) убывает

Функция убывает на тех промежутках, где её график идёт вниз при движении слева направо. Это происходит на отрезке от точки с абсциссой $x = -6$ до точки с абсциссой $x = 0$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-6; 0]$.

Рисунок б)

1) область определения функции;

График функции существует для всех значений $x$ от -5 до 6 включительно. Таким образом, область определения — это промежуток $[-5; 6]$.

Ответ: $D(y) = [-5; 6]$.

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю;

Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. Из графика видно, что $y=0$ при $x = -5$. Чтобы найти другие нули, составим уравнения для соответствующих отрезков.
Отрезок между $(-3; 2)$ и $(0; -2)$: $k = \frac{-2 - 2}{0 - (-3)} = -\frac{4}{3}$. Уравнение: $y = -\frac{4}{3}x - 2$. При $y=0$, $0 = -\frac{4}{3}x - 2 \Rightarrow \frac{4}{3}x = -2 \Rightarrow x = -1.5$.
Отрезок между $(0; -2)$ и $(3; 2)$: $k = \frac{2 - (-2)}{3 - 0} = \frac{4}{3}$. Уравнение: $y = \frac{4}{3}x - 2$. При $y=0$, $0 = \frac{4}{3}x - 2 \Rightarrow \frac{4}{3}x = 2 \Rightarrow x = 1.5$.

Ответ: $y = 0$ при $x = -5$, $x = -1.5$ и $x = 1.5$.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает.

а) возрастает

Функция возрастает там, где её график идёт вверх. Это происходит на промежутках от $x=-5$ до $x=-3$ и от $x=0$ до $x=3$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; -3]$ и $[0; 3]$.

б) убывает

Функция убывает там, где её график идёт вниз. Это происходит на промежутках от $x=-3$ до $x=0$ и от $x=3$ до $x=4$. На промежутке $[4; 6]$ функция постоянна.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-3; 0]$ и $[3; 4]$.

Рисунок в)

1) область определения функции;

График функции определён для всех $x$ от -7 до 8 включительно.

Ответ: $D(y) = [-7; 8]$.

2) значение аргумента, при котором функция равна нулю;

Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. Первые два участка графика лежат выше оси $Ox$. Найдем нули на двух других участках.
Отрезок между $(4; 3)$ и $(6; -4)$: $k = \frac{-4 - 3}{6 - 4} = -\frac{7}{2}$. Уравнение: $y - 3 = -\frac{7}{2}(x - 4) \Rightarrow y = -\frac{7}{2}x + 14 + 3 \Rightarrow y = -\frac{7}{2}x + 17$. При $y=0$, $0 = -\frac{7}{2}x + 17 \Rightarrow \frac{7}{2}x = 17 \Rightarrow x = \frac{34}{7}$.
Отрезок между $(6; -4)$ и $(8; 6)$: $k = \frac{6 - (-4)}{8 - 6} = \frac{10}{2} = 5$. Уравнение: $y - 6 = 5(x - 8) \Rightarrow y = 5x - 40 + 6 \Rightarrow y = 5x - 34$. При $y=0$, $0 = 5x - 34 \Rightarrow 5x = 34 \Rightarrow x = \frac{34}{5} = 6.8$.

Ответ: $y = 0$ при $x = \frac{34}{7}$ и $x = 6.8$.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает.

а) возрастает

Функция возрастает, когда её график идёт вверх. Это происходит на промежутках от $x=-4$ до $x=4$ и от $x=6$ до $x=8$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; 4]$ и $[6; 8]$.

б) убывает

Функция убывает, когда её график идёт вниз. Это происходит на промежутках от $x=-7$ до $x=-4$ и от $x=4$ до $x=6$.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-7; -4]$ и $[4; 6]$.