Страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.7. Принадлежат ли точки $A(-2; -2)$; $B(-1; -1)$; $C(1; 2)$; $D(2; 4)$ графику функции $y = 1.5x + 1$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты ($x$; $y$) в уравнение функции. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство будет неверным, то точка не принадлежит графику.

Дана функция $y = 1,5x + 1$. Проверим каждую точку.

A(-2; -2)

Подставим координаты точки $A$ ($x = -2$, $y = -2$) в уравнение функции:

$-2 = 1,5 \cdot (-2) + 1$

$-2 = -3 + 1$

$-2 = -2$

Получилось верное равенство. Ответ: точка A принадлежит графику функции.

B(-1; -1)

Подставим координаты точки $B$ ($x = -1$, $y = -1$) в уравнение функции:

$-1 = 1,5 \cdot (-1) + 1$

$-1 = -1,5 + 1$

$-1 = -0,5$

Получилось неверное равенство. Ответ: точка B не принадлежит графику функции.

C(1; 2)

Подставим координаты точки $C$ ($x = 1$, $y = 2$) в уравнение функции:

$2 = 1,5 \cdot 1 + 1$

$2 = 1,5 + 1$

$2 = 2,5$

Получилось неверное равенство. Ответ: точка C не принадлежит графику функции.

D(2; 4)

Подставим координаты точки $D$ ($x = 2$, $y = 4$) в уравнение функции:

$4 = 1,5 \cdot 2 + 1$

$4 = 3 + 1$

$4 = 4$

Получилось верное равенство. Ответ: точка D принадлежит графику функции.

22.8. Какие из точек $A \left(1; \frac{29}{14}\right)$; $B \left(0; \frac{4}{7}\right)$; $C \left(1; \frac{13}{14}\right)$; $D \left(-2; -\frac{17}{7}\right)$; $E \left(\frac{2}{7}; -\frac{1}{7}\right)$ принадлежат графику функции $y = -\frac{4}{7} + 1,5x?$

Чтобы определить, какие из данных точек принадлежат графику функции $y = -\frac{4}{7} + 1,5x$, нужно подставить координаты каждой точки в уравнение. Если получится верное числовое равенство, точка принадлежит графику. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Уравнение функции примет вид: $y = -\frac{4}{7} + \frac{3}{2}x$.

A ($1; \frac{29}{14}$)

Подставим абсциссу точки $x=1$ в уравнение функции и вычислим соответствующее значение $y$:

$y = -\frac{4}{7} + \frac{3}{2} \cdot 1 = -\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 7} = -\frac{8}{14} + \frac{21}{14} = \frac{13}{14}$.

Полученное значение $y = \frac{13}{14}$ не совпадает с ординатой точки A, которая равна $\frac{29}{14}$.

Ответ: точка A не принадлежит графику функции.

B ($0; \frac{4}{7}$)

Подставим абсциссу точки $x=0$ в уравнение функции:

$y = -\frac{4}{7} + \frac{3}{2} \cdot 0 = -\frac{4}{7}$.

Полученное значение $y = -\frac{4}{7}$ не совпадает с ординатой точки B, которая равна $\frac{4}{7}$.

Ответ: точка B не принадлежит графику функции.

C ($1; \frac{13}{14}$)

Подставим абсциссу точки $x=1$ в уравнение функции:

$y = -\frac{4}{7} + \frac{3}{2} \cdot 1 = -\frac{8}{14} + \frac{21}{14} = \frac{13}{14}$.

Полученное значение $y = \frac{13}{14}$ совпадает с ординатой точки C.

Ответ: точка C принадлежит графику функции.

D ($-2; -\frac{17}{7}$)

Подставим абсциссу точки $x=-2$ в уравнение функции:

$y = -\frac{4}{7} + \frac{3}{2} \cdot (-2) = -\frac{4}{7} - 3 = -\frac{4}{7} - \frac{21}{7} = -\frac{25}{7}$.

Полученное значение $y = -\frac{25}{7}$ не совпадает с ординатой точки D, которая равна $-\frac{17}{7}$.

Ответ: точка D не принадлежит графику функции.

E ($\frac{2}{7}; -\frac{1}{7}$)

Подставим абсциссу точки $x=\frac{2}{7}$ в уравнение функции:

$y = -\frac{4}{7} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{7} = -\frac{4}{7} + \frac{3}{7} = \frac{-4+3}{7} = -\frac{1}{7}$.

Полученное значение $y = -\frac{1}{7}$ совпадает с ординатой точки E.

Ответ: точка E принадлежит графику функции.

22.9. Постройте график функции, вычислив координаты точек пересечения графика с осями координат:

1) $y = 5x - 5;$
2) $y = 3,8 - 0,2x;$
3) $y = -10 + 2,5x;$
4) $y = -\frac{2}{7}x + 1;$
5) $y = 1\frac{5}{6}x - 2,2;$
6) $y = \frac{x-8}{5}.$

Для построения графика линейной функции $y=kx+b$ достаточно найти две точки, через которые проходит прямая. Удобнее всего использовать точки пересечения с осями координат.

Точка пересечения с осью ординат (OY) имеет координату $x=0$. Чтобы найти ее, нужно подставить $x=0$ в уравнение функции.

Точка пересечения с осью абсцисс (OX) имеет координату $y=0$. Чтобы найти ее, нужно подставить $y=0$ в уравнение функции и решить полученное уравнение относительно $x$.

1) $y = 5x - 5$

1. Найдем точку пересечения с осью OY. При $x=0$: $y = 5 \cdot 0 - 5 = -5$. Координаты точки пересечения с осью OY: $(0; -5)$.

2. Найдем точку пересечения с осью OX. При $y=0$: $0 = 5x - 5$ $5x = 5$ $x = 1$. Координаты точки пересечения с осью OX: $(1; 0)$.

3. Построим график, проведя прямую через точки $(0; -5)$ и $(1; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(1; 0)$ и $(0; -5)$.

2) $y = 3,8 - 0,2x$

1. Найдем точку пересечения с осью OY. При $x=0$: $y = 3,8 - 0,2 \cdot 0 = 3,8$. Координаты точки пересечения с осью OY: $(0; 3,8)$.

2. Найдем точку пересечения с осью OX. При $y=0$: $0 = 3,8 - 0,2x$ $0,2x = 3,8$ $x = 3,8 / 0,2 = 19$. Координаты точки пересечения с осью OX: $(19; 0)$.

3. Построим график, проведя прямую через точки $(0; 3,8)$ и $(19; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(19; 0)$ и $(0; 3,8)$.

3) $y = -10 + 2,5x$

1. Найдем точку пересечения с осью OY. При $x=0$: $y = -10 + 2,5 \cdot 0 = -10$. Координаты точки пересечения с осью OY: $(0; -10)$.

2. Найдем точку пересечения с осью OX. При $y=0$: $0 = -10 + 2,5x$ $2,5x = 10$ $x = 10 / 2,5 = 4$. Координаты точки пересечения с осью OX: $(4; 0)$.

3. Построим график, проведя прямую через точки $(0; -10)$ и $(4; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(4; 0)$ и $(0; -10)$.

4) $y = -\frac{2}{7}x + 1$

1. Найдем точку пересечения с осью OY. При $x=0$: $y = -\frac{2}{7} \cdot 0 + 1 = 1$. Координаты точки пересечения с осью OY: $(0; 1)$.

2. Найдем точку пересечения с осью OX. При $y=0$: $0 = -\frac{2}{7}x + 1$ $\frac{2}{7}x = 1$ $x = \frac{7}{2} = 3,5$. Координаты точки пересечения с осью OX: $(3,5; 0)$.

3. Построим график, проведя прямую через точки $(0; 1)$ и $(3,5; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(3,5; 0)$ и $(0; 1)$.

5) $y = 1\frac{5}{6}x - 2,2$

1. Преобразуем уравнение. $1\frac{5}{6} = \frac{11}{6}$ и $2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$. $y = \frac{11}{6}x - \frac{11}{5}$.

2. Найдем точку пересечения с осью OY. При $x=0$: $y = \frac{11}{6} \cdot 0 - \frac{11}{5} = -2,2$. Координаты точки пересечения с осью OY: $(0; -2,2)$.

3. Найдем точку пересечения с осью OX. При $y=0$: $0 = \frac{11}{6}x - \frac{11}{5}$ $\frac{11}{6}x = \frac{11}{5}$ $x = \frac{11}{5} \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{5} = 1,2$. Координаты точки пересечения с осью OX: $(1,2; 0)$.

4. Построим график, проведя прямую через точки $(0; -2,2)$ и $(1,2; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(1,2; 0)$ и $(0; -2,2)$.

6) $y = \frac{x-8}{5}$

1. Преобразуем уравнение: $y = \frac{1}{5}x - \frac{8}{5} = 0,2x - 1,6$.

2. Найдем точку пересечения с осью OY. При $x=0$: $y = 0,2 \cdot 0 - 1,6 = -1,6$. Координаты точки пересечения с осью OY: $(0; -1,6)$.

3. Найдем точку пересечения с осью OX. При $y=0$: $0 = \frac{x-8}{5}$ $x-8 = 0$ $x = 8$. Координаты точки пересечения с осью OX: $(8; 0)$.

4. Построим график, проведя прямую через точки $(0; -1,6)$ и $(8; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(8; 0)$ и $(0; -1,6)$.

22.10. Найдите $b$, если известно, что график функции $y = -1.2x + b$ проходит через точку:

1) A($0; 2.4$);

2) B($5; -9.6$).

Чтобы найти значение коэффициента $b$, необходимо подставить координаты точки, через которую проходит график функции, в ее уравнение $y = -1.2x + b$. Координаты точки $(x; y)$ должны удовлетворять этому уравнению.

1) A(0; 2,4)

По условию, график функции проходит через точку $A(0; 2,4)$. Это означает, что при $x = 0$ значение функции $y$ равно $2,4$. Подставим эти значения в уравнение функции:

$2,4 = -1,2 \cdot 0 + b$

Выполним умножение:

$2,4 = 0 + b$

Отсюда находим значение $b$:

$b = 2,4$

Ответ: $b = 2,4$.

2) B(5; -9,6)

По условию, график функции проходит через точку $B(5; -9,6)$. Это означает, что при $x = 5$ значение функции $y$ равно $-9,6$. Подставим эти значения в уравнение функции:

$-9,6 = -1,2 \cdot 5 + b$

Выполним умножение в правой части уравнения:

$-9,6 = -6 + b$

Чтобы найти $b$, выразим его из уравнения. Для этого перенесем $-6$ в левую часть с противоположным знаком:

$b = -9,6 + 6$

Выполним сложение:

$b = -3,6$

Ответ: $b = -3,6$.

22.11. Найдите b, если известно, что график функции $y = \frac{1}{3}x + b$ проходит через точку:

1) C(3; -4);

2) D(-6; 9).

1) C(3; –4);Для того чтобы найти значение $b$, необходимо подставить координаты точки, через которую проходит график, в уравнение функции.
Уравнение функции: $y = \frac{1}{3}x + b$.
Координаты точки $C$: $x = 3$, $y = -4$.
Подставляем значения $x$ и $y$ в уравнение:
$-4 = \frac{1}{3} \cdot 3 + b$
Выполняем умножение:
$-4 = 1 + b$
Теперь находим $b$, перенеся 1 в левую часть уравнения:
$b = -4 - 1$
$b = -5$
Ответ: -5

2) D(–6; 9).Аналогично поступаем и для второго случая.
Уравнение функции: $y = \frac{1}{3}x + b$.
Координаты точки $D$: $x = -6$, $y = 9$.
Подставляем значения $x$ и $y$ в уравнение:
$9 = \frac{1}{3} \cdot (-6) + b$
Выполняем умножение:
$9 = -2 + b$
Теперь находим $b$, перенеся -2 в левую часть уравнения с противоположным знаком:
$b = 9 + 2$
$b = 11$
Ответ: 11

22.12. Найдите $k$, если известно, что график функции $y = kx + \frac{6}{7}$ проходит через точку:

1) $E(-1; 1)$;

2) $F(7; -2)$.

Чтобы найти значение коэффициента $k$, нужно подставить координаты указанной точки в уравнение функции $y = kx + \frac{6}{7}$ и решить полученное уравнение относительно $k$.

1) E(–1; 1)

Поскольку график функции проходит через точку $E(–1; 1)$, ее координаты $x = –1$ и $y = 1$ удовлетворяют уравнению функции. Подставим эти значения в уравнение:

$1 = k \cdot (–1) + \frac{6}{7}$

$1 = -k + \frac{6}{7}$

Теперь решим это уравнение относительно $k$. Перенесем $-k$ в левую часть равенства, а $1$ — в правую, изменив их знаки:

$k = \frac{6}{7} - 1$

Приведем $1$ к знаменателю $7$, представив как $\frac{7}{7}$:

$k = \frac{6}{7} - \frac{7}{7}$

$k = \frac{6 - 7}{7}$

$k = -\frac{1}{7}$

Ответ: $k = -\frac{1}{7}$

2) F(7; –2)

Аналогично, так как график функции проходит через точку $F(7; –2)$, ее координаты $x = 7$ и $y = –2$ также удовлетворяют уравнению. Подставим эти значения:

$–2 = k \cdot 7 + \frac{6}{7}$

$–2 = 7k + \frac{6}{7}$

Выразим $7k$. Для этого перенесем $\frac{6}{7}$ в левую часть равенства:

$7k = -2 - \frac{6}{7}$

Приведем числа в правой части к общему знаменателю $7$:

$7k = -\frac{14}{7} - \frac{6}{7}$

$7k = \frac{-14 - 6}{7}$

$7k = -\frac{20}{7}$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $7$:

$k = -\frac{20}{7} \div 7 = -\frac{20}{7 \cdot 7}$

$k = -\frac{20}{49}$

Ответ: $k = -\frac{20}{49}$

22.13. Найдите $k$, если известно, что $y=kx+3\frac{1}{3}$ проходит через точку:

1) N(1; 4);

2) M(1; -4).

1) N(1; 4);

По условию, график функции $y = kx + 3\frac{1}{3}$ проходит через точку N(1; 4). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x=1$ и $y=4$ в уравнение, чтобы найти коэффициент $k$.

$4 = k \cdot 1 + 3\frac{1}{3}$

Получаем простое линейное уравнение относительно $k$:

$4 = k + 3\frac{1}{3}$

Чтобы найти $k$, вычтем $3\frac{1}{3}$ из обеих частей уравнения:

$k = 4 - 3\frac{1}{3}$

Выполним вычитание:

$k = (3 + 1) - 3\frac{1}{3} = 3\frac{3}{3} - 3\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $k = \frac{2}{3}$.

2) M(1; -4).

Аналогично первому пункту, подставим координаты точки M(1; -4) в уравнение функции $y = kx + 3\frac{1}{3}$. В данном случае $x=1$ и $y=-4$.

$-4 = k \cdot 1 + 3\frac{1}{3}$

Упростим уравнение:

$-4 = k + 3\frac{1}{3}$

Выразим $k$:

$k = -4 - 3\frac{1}{3}$

Сложим отрицательные числа:

$k = -(4 + 3\frac{1}{3}) = -7\frac{1}{3}$

Ответ: $k = -7\frac{1}{3}$.

22.14. Постройте график функции:

1) $y = 6x - 1$; 2) $y = 3 - 8x$; 3) $y = -4$; 4) $y = 3,8$

и укажите все значения аргумента, для которых функция:

a) положительна;

б) отрицательна.

1) Построим график функции $y = 6x - 1$.

Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:

Если $x = 0$, то $y = 6 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.

Если $x = 1$, то $y = 6 \cdot 1 - 1 = 5$. Точка $(1, 5)$.

Проведем прямую через эти две точки.

а) положительна

Функция положительна, когда $y > 0$. Решим неравенство:

$6x - 1 > 0$

$6x > 1$

$x > \frac{1}{6}$

Это соответствует части графика, которая находится выше оси абсцисс.

Ответ: функция положительна при $x \in (\frac{1}{6}; +\infty)$.

б) отрицательна

Функция отрицательна, когда $y < 0$. Решим неравенство:

$6x - 1 < 0$

$6x < 1$

$x < \frac{1}{6}$

Это соответствует части графика, которая находится ниже оси абсцисс.

Ответ: функция отрицательна при $x \in (-\infty; \frac{1}{6})$.

2) Построим график функции $y = 3 - 8x$.

Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:

Если $x = 0$, то $y = 3 - 8 \cdot 0 = 3$. Точка $(0, 3)$.

Если $x = 1$, то $y = 3 - 8 \cdot 1 = -5$. Точка $(1, -5)$.

Проведем прямую через эти две точки.

а) положительна

Функция положительна, когда $y > 0$. Решим неравенство:

$3 - 8x > 0$

$3 > 8x$

$x < \frac{3}{8}$

Ответ: функция положительна при $x \in (-\infty; \frac{3}{8})$.

б) отрицательна

Функция отрицательна, когда $y < 0$. Решим неравенство:

$3 - 8x < 0$

$3 < 8x$

$x > \frac{3}{8}$

Ответ: функция отрицательна при $x \in (\frac{3}{8}; +\infty)$.

3) Построим график функции $y = -4$.

Это постоянная функция, ее график — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -4)$.

а) положительна

Функция положительна, когда $y > 0$. Неравенство $-4 > 0$ является ложным. Следовательно, нет таких значений аргумента, при которых функция положительна.

Ответ: нет таких значений $x$.

б) отрицательна

Функция отрицательна, когда $y < 0$. Неравенство $-4 < 0$ является истинным для любого значения $x$.

Ответ: функция отрицательна при $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) Построим график функции $y = 3,8$.

Это постоянная функция, ее график — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0; 3,8)$.

а) положительна

Функция положительна, когда $y > 0$. Неравенство $3,8 > 0$ является истинным для любого значения $x$.

Ответ: функция положительна при $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) отрицательна

Функция отрицательна, когда $y < 0$. Неравенство $3,8 < 0$ является ложным. Следовательно, нет таких значений аргумента, при которых функция отрицательна.

Ответ: нет таких значений $x$.

22.15. Постройте в одной и той же системе координат графики функ-

ций:

1) $y = 3x$; $y = 3x - 2$; $y = 3x + 1,5$;

2) $y = 2x - 1$, $y = -2x - 1$; $y = x - 1$; $y = 5x - 1$.

1) y = 3x; y = 3x - 2; y = 3x + 1,5;

Все три функции являются линейными вида $y = kx + b$, их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек.

Обратим внимание, что у всех трех функций одинаковый угловой коэффициент $k=3$. Это означает, что графики этих функций будут параллельны друг другу. Они отличаются только свободным членом $b$, который отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY.

Найдем по две точки для каждой прямой:

Для $y = 3x$:
• при $x=0$, $y = 3 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
• при $x=1$, $y = 3 \cdot 1 = 3$. Точка $(1; 3)$.

Для $y = 3x - 2$:
• при $x=0$, $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
• при $x=1$, $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$. Точка $(1; 1)$.

Для $y = 3x + 1,5$:
• при $x=0$, $y = 3 \cdot 0 + 1.5 = 1.5$. Точка $(0; 1,5)$.
• при $x=-1$, $y = 3 \cdot (-1) + 1.5 = -1.5$. Точка $(-1; -1,5)$.

Построим графики в одной системе координат.

Ответ: Графики функций построены. Они представляют собой три параллельные прямые.

2) y = 2x - 1; y = -2x - 1; y = x - 1; y = 5x - 1.

Все четыре функции являются линейными вида $y = kx + b$, их графики — прямые линии.

Обратим внимание, что у всех четырех функций одинаковый свободный член $b=-1$. Это означает, что все графики пересекаются в одной точке на оси OY, а именно в точке $(0; -1)$. Они отличаются угловым коэффициентом $k$, который определяет угол наклона прямой.

Найдем вторую точку для каждой прямой, используя общую точку $(0; -1)$:

Для $y = 2x - 1$:
• при $x=2$, $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Точка $(2; 3)$.

Для $y = -2x - 1$:
• при $x=2$, $y = -2 \cdot 2 - 1 = -5$. Точка $(2; -5)$.

Для $y = x - 1$:
• при $x=3$, $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(3; 2)$.

Для $y = 5x - 1$:
• при $x=1$, $y = 5 \cdot 1 - 1 = 4$. Точка $(1; 4)$.

Построим графики в одной системе координат.

Ответ: Графики функций построены. Они представляют собой четыре прямые, пересекающиеся в одной точке $(0; -1)$.

22.16. Как относительно друг друга могут располагаться две прямые на плоскости?

В евклидовой геометрии на плоскости две прямые могут располагаться относительно друг друга тремя способами.

1. Прямые пересекаются

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой пересечения. Если прямая $a$ и прямая $b$ пересекаются в точке $M$, это записывается как $a \cap b = \{M\}$.

Частным случаем пересечения являются перпендикулярные прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

Ответ: Прямые могут пересекаться, имея одну общую точку.

2. Прямые параллельны

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Расстояние между ними постоянно. Параллельность прямых $c$ и $d$ обозначается как $c \parallel d$. Их пересечение является пустым множеством: $c \cap d = \emptyset$.

Ответ: Прямые могут быть параллельными, не имея общих точек.

3. Прямые совпадают

Две прямые совпадают, если все точки одной прямой принадлежат другой. Фактически, это одна и та же прямая. В этом случае прямые имеют бесконечно много общих точек. Если прямые $m$ и $n$ совпадают, это записывается как $m = n$.

Ответ: Прямые могут совпадать, имея все точки общими.