Страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.14. Запишите формулу линейной функции, график которой параллелен графику функции $y = 3x + 5$ и проходит через точку:

1) A(-4; 1);

2) B(1; 15);

3) C($\frac{1}{3}$; $\frac{1}{16}$);

4) M(0,15; -1).

Общая формула линейной функции имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — свободный член. Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

В данном случае искомая функция должна быть параллельна графику функции $y = 3x + 5$. Угловой коэффициент этой функции $k=3$. Следовательно, искомая функция будет иметь вид $y = 3x + b$.

Чтобы найти значение коэффициента $b$, мы используем тот факт, что график функции проходит через заданную точку. Это означает, что координаты точки должны удовлетворять уравнению функции. Мы подставим координаты каждой точки в уравнение $y = 3x + b$ и найдем соответствующее значение $b$.

Подставим координаты точки $A(-4; 1)$ (где $x = -4$, $y = 1$) в уравнение $y = 3x + b$:

$1 = 3 \cdot (-4) + b$

$1 = -12 + b$

$b = 1 + 12$

$b = 13$

Таким образом, искомая формула функции: $y = 3x + 13$.

Ответ: $y = 3x + 13$.

Подставим координаты точки $B(1; 15)$ (где $x = 1$, $y = 15$) в уравнение $y = 3x + b$:

$15 = 3 \cdot 1 + b$

$15 = 3 + b$

$b = 15 - 3$

$b = 12$

Таким образом, искомая формула функции: $y = 3x + 12$.

Ответ: $y = 3x + 12$.

Подставим координаты точки $C(\frac{1}{3}; \frac{1}{16})$ (где $x = \frac{1}{3}$, $y = \frac{1}{16}$) в уравнение $y = 3x + b$:

$\frac{1}{16} = 3 \cdot \frac{1}{3} + b$

$\frac{1}{16} = 1 + b$

$b = \frac{1}{16} - 1 = \frac{1}{16} - \frac{16}{16}$

$b = -\frac{15}{16}$

Таким образом, искомая формула функции: $y = 3x - \frac{15}{16}$.

Ответ: $y = 3x - \frac{15}{16}$.

Подставим координаты точки $M(0,15; -1)$ (где $x = 0,15$, $y = -1$) в уравнение $y = 3x + b$:

$-1 = 3 \cdot 0,15 + b$

$-1 = 0,45 + b$

$b = -1 - 0,45$

$b = -1,45$

Таким образом, искомая формула функции: $y = 3x - 1,45$.

Ответ: $y = 3x - 1,45$.

23.15. Решите систему уравнений $\begin{cases} x+4y=5, \\ 3x-y=2 \end{cases}$ способом алгебраического сложения.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ 3x - y = 2 \end{cases} $

Для решения системы методом алгебраического сложения необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях были противоположными числами. В данной системе коэффициенты при переменной $y$ равны $4$ и $-1$. Чтобы они стали противоположными, умножим обе части второго уравнения системы на $4$.

$ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ 4 \cdot (3x - y) = 4 \cdot 2 \end{cases} $

После умножения система примет вид:

$ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ 12x - 4y = 8 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы. Это позволит исключить переменную $y$.

$(x + 4y) + (12x - 4y) = 5 + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$13x = 13$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{13}{13}$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в первое $x + 4y = 5$, чтобы найти $y$:

$1 + 4y = 5$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$4y = 5 - 1$

$4y = 4$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{4}{4}$

$y = 1$

Таким образом, решение системы уравнений — пара чисел $(1; 1)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=1$ и $y=1$ в оба уравнения исходной системы:

1) Для уравнения $x + 4y = 5$: $1 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5=5$ верно.

2) Для уравнения $3x - y = 2$: $3 \cdot 1 - 1 = 3 - 1 = 2$. Равенство $2=2$ верно.

Решение найдено правильно.

Ответ: $(1; 1)$

23.16. Решите систему уравнений $ \begin{cases} 5x - y = 6, \\ x - 6y = 7 \end{cases} $ способом подстановки.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5x - y = 6 \\ x - 6y = 7 \end{cases} $
Для решения системы методом подстановки, выполним следующие шаги:
1. Выразим одну переменную через другую из одного из уравнений. Удобнее всего выразить переменную $x$ из второго уравнения, так как ее коэффициент равен 1.
$x - 6y = 7$
$x = 7 + 6y$
2. Подставим полученное выражение для $x$ в другое уравнение системы (в первое уравнение).
$5(7 + 6y) - y = 6$
3. Решим полученное уравнение относительно переменной $y$. Раскроем скобки:
$35 + 30y - y = 6$
Приведем подобные слагаемые:
$35 + 29y = 6$
Перенесем свободные члены в правую часть уравнения:
$29y = 6 - 35$
$29y = -29$
Найдем $y$:
$y = \frac{-29}{29}$
$y = -1$
4. Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y = -1$ в выражение для $x$, полученное на шаге 1.
$x = 7 + 6y$
$x = 7 + 6(-1)$
$x = 7 - 6$
$x = 1$
Решением системы является пара чисел $(1; -1)$.
5. Выполним проверку, подставив найденные значения $x=1$ и $y=-1$ в оба исходных уравнения.
Первое уравнение: $5(1) - (-1) = 5 + 1 = 6$. Равенство $6=6$ верно.
Второе уравнение: $1 - 6(-1) = 1 + 6 = 7$. Равенство $7=7$ верно.
Решение найдено правильно.
Ответ: $(1; -1)$.