Страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему один из способов решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными назвали графическим способом?

2. Какие линии и сколько надо построить, чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными?

3. Может ли система двух линейных уравнений с двумя переменными иметь только два решения?

4. Почему система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение, либо ни одного решения, либо бесконечно много решений?

1. Почему один из способов решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными назвали графическим способом?

Этот способ решения называется графическим, потому что его суть заключается в визуализации уравнений системы в виде графиков на координатной плоскости. Каждое линейное уравнение с двумя переменными вида $ax + by = c$ (где $a$ или $b$ не равны нулю) представляет собой прямую линию. Решение системы — это пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям. Геометрически такая пара чисел соответствует координатам точки, которая принадлежит графикам обоих уравнений, то есть является точкой их пересечения. Следовательно, метод сводится к построению этих графиков и нахождению координат их общих точек.

Ответ: Способ назван графическим, так как он заключается в поиске решения путем построения графиков уравнений и нахождения координат их точек пересечения.

2. Какие линии и сколько надо построить, чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными?

Графиком любого линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия. Система состоит из двух таких уравнений. Поэтому, чтобы решить систему графическим способом, необходимо на одной координатной плоскости построить две прямые линии. Каждая прямая будет соответствовать одному из уравнений системы. Координаты точки их пересечения (если она существует) и будут решением системы.

Ответ: Чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, надо построить две прямые линии.

3. Может ли система двух линейных уравнений с двумя переменными иметь только два решения?

Нет, система двух линейных уравнений с двумя переменными не может иметь ровно два решения. Это следует из геометрической интерпретации решения. Каждое уравнение системы — это прямая линия на плоскости. Решения системы — это общие точки этих двух прямых. Две прямые на плоскости могут либо пересечься в одной точке, либо не пересекаться вовсе (если они параллельны), либо совпадать (иметь бесконечно много общих точек). Не существует случая, когда две прямые пересекаются ровно в двух точках. Поэтому и система не может иметь ровно два решения.

Ответ: Нет, не может.

4. Почему система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение, либо ни одного решения, либо бесконечно много решений?

Это объясняется взаимным расположением на плоскости двух прямых, которые являются графиками уравнений системы. Существует всего три варианта их взаимного расположения, которые зависят от коэффициентов уравнений. Пусть система задана в общем виде:

$a_1x + b_1y = c_1$

$a_2x + b_2y = c_2$

а) Одно решение. Прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их коэффициенты при переменных не пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$. Координаты этой единственной точки пересечения и являются единственным решением системы.

б) Нет решений. Прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но эта пропорция не сохраняется для свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. Так как параллельные прямые никогда не пересекаются, у них нет общих точек, а значит, система не имеет решений.

в) Бесконечно много решений. Прямые совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. В этом случае уравнения описывают одну и ту же прямую, любая точка которой является решением. Поэтому система имеет бесконечное множество решений.

Поскольку других вариантов взаимного расположения двух прямых на плоскости нет, других вариантов количества решений для системы тоже быть не может.

Ответ: Количество решений системы определяется взаимным расположением двух прямых на плоскости: они могут пересекаться (одно решение), быть параллельными (нет решений) или совпадать (бесконечно много решений).

24.1. Найдите координаты точек пересечения с осью Ox прямых, являющихся графиками уравнений:

1) $x + y = 8;$

2) $y - x = 7;$

3) $5x - y = 2;$

4) $6x - 2y = 1;$

5) $x + 4y - 5 = 0;$

6) $2x + 3y + 1 = 0.$

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой с осью $Ox$, необходимо подставить в уравнение прямой $y = 0$, так как у любой точки, лежащей на оси $Ox$, ордината равна нулю. Затем нужно решить полученное уравнение относительно $x$.

1) Дано уравнение $x + y = 8$.
Подставим $y = 0$:
$x + 0 = 8$
$x = 8$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$ равны $(8, 0)$.
Ответ: $(8, 0)$.

2) Дано уравнение $y - x = 7$.
Подставим $y = 0$:
$0 - x = 7$
$-x = 7$
$x = -7$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$ равны $(-7, 0)$.
Ответ: $(-7, 0)$.

3) Дано уравнение $5x - y = 2$.
Подставим $y = 0$:
$5x - 0 = 2$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$ равны $(\frac{2}{5}, 0)$.
Ответ: $(\frac{2}{5}, 0)$.

4) Дано уравнение $6x - 2y = 1$.
Подставим $y = 0$:
$6x - 2 \cdot 0 = 1$
$6x = 1$
$x = \frac{1}{6}$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$ равны $(\frac{1}{6}, 0)$.
Ответ: $(\frac{1}{6}, 0)$.

5) Дано уравнение $x + 4y - 5 = 0$.
Подставим $y = 0$:
$x + 4 \cdot 0 - 5 = 0$
$x - 5 = 0$
$x = 5$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$ равны $(5, 0)$.
Ответ: $(5, 0)$.

6) Дано уравнение $2x + 3y + 1 = 0$.
Подставим $y = 0$:
$2x + 3 \cdot 0 + 1 = 0$
$2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$ равны $(-\frac{1}{2}, 0)$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}, 0)$.

24.2. Найдите координаты точек пересечения с осью $Oy$ прямых, являющихся графиками уравнений:

1) $x + y = 13;$

2) $x - y = 1,7;$

3) $x + 8y = 11,2;$

4) $5x - y = 3;$

5) $8y - 7x = 14;$

6) $9x + 1,6y = 3.$

Для того чтобы найти координаты точки пересечения прямой с осью ординат ($Oy$), необходимо учесть, что у любой точки, лежащей на этой оси, абсцисса (координата $x$) равна нулю. Следовательно, для каждого уравнения нужно подставить $x=0$ и найти соответствующее значение $y$.

1) $x + y = 13$
Подставим в уравнение значение $x=0$:
$0 + y = 13$
$y = 13$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$ равны $(0; 13)$.
Ответ: $(0; 13)$.

2) $x - y = 1,7$
Подставим в уравнение значение $x=0$:
$0 - y = 1,7$
$-y = 1,7$
$y = -1,7$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$ равны $(0; -1,7)$.
Ответ: $(0; -1,7)$.

3) $x + 8y = 11,2$
Подставим в уравнение значение $x=0$:
$0 + 8y = 11,2$
$8y = 11,2$
$y = \frac{11,2}{8}$
$y = 1,4$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$ равны $(0; 1,4)$.
Ответ: $(0; 1,4)$.

4) $5x - y = 3$
Подставим в уравнение значение $x=0$:
$5 \cdot 0 - y = 3$
$0 - y = 3$
$y = -3$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$ равны $(0; -3)$.
Ответ: $(0; -3)$.

5) $8y - 7x = 14$
Подставим в уравнение значение $x=0$:
$8y - 7 \cdot 0 = 14$
$8y = 14$
$y = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$
$y = 1,75$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$ равны $(0; 1,75)$.
Ответ: $(0; 1,75)$.

6) $9x + 1,6y = 3$
Подставим в уравнение значение $x=0$:
$9 \cdot 0 + 1,6y = 3$
$1,6y = 3$
$y = \frac{3}{1,6} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}$
$y = 1,875$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$ равны $(0; 1,875)$.
Ответ: $(0; 1,875)$.

24.3. Постройте график уравнения:

1) $y = x + 5$;

2) $y = x - 4$;

3) $y = 7 - 2x$;

4) $x - y = 6$;

5) $3x + 2y = 1$;

6) $x + 4y = 9$;

7) $3y - 18 = 0$;

8) $16 + 8x = 0$;

9) $4 - x - y = 0$.

1) $y = x + 5$

Графиком данного уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, удовлетворяющих уравнению.

1. Примем $x = 0$, тогда $y = 0 + 5 = 5$. Получаем точку A(0, 5).

2. Примем $y = 0$, тогда $0 = x + 5$, откуда $x = -5$. Получаем точку B(-5, 0).

Отметим точки A и B на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Ответ: График уравнения $y = x + 5$ — это прямая, проходящая через точки (0, 5) и (-5, 0).

2) $y = x - 4$

Графиком данного уравнения является прямая. Найдем координаты двух точек.

1. При $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка A(0, -4).

2. При $y = 0$, $0 = x - 4$, откуда $x = 4$. Точка B(4, 0).

Построим прямую, проходящую через точки A и B.

Ответ: График уравнения $y = x - 4$ — это прямая, проходящая через точки (0, -4) и (4, 0).

3) $y = 7 - 2x$

Графиком является прямая. Найдем координаты двух точек.

1. При $x = 0$, $y = 7 - 2 \cdot 0 = 7$. Точка A(0, 7).

2. При $y = 0$, $0 = 7 - 2x$, откуда $2x = 7$, $x = 3.5$. Точка B(3.5, 0).

Построим прямую через точки A и B.

Ответ: График уравнения $y = 7 - 2x$ — это прямая, проходящая через точки (0, 7) и (3.5, 0).

4) $x - y = 6$

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$: $y = x - 6$. Графиком является прямая. Найдем две точки.

1. При $x = 0$, $y = 0 - 6 = -6$. Точка A(0, -6).

2. При $y = 0$, $x - 0 = 6$, откуда $x = 6$. Точка B(6, 0).

Построим прямую через точки A и B.

Ответ: График уравнения $x - y = 6$ — это прямая, проходящая через точки (0, -6) и (6, 0).

5) $3x + 2y = 1$

Это линейное уравнение, его график – прямая. Найдем две точки.

1. При $x = 1$, $3 \cdot 1 + 2y = 1 \implies 3 + 2y = 1 \implies 2y = -2 \implies y = -1$. Точка A(1, -1).

2. При $x = -1$, $3 \cdot (-1) + 2y = 1 \implies -3 + 2y = 1 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. Точка B(-1, 2).

Построим прямую через точки A и B.

Ответ: График уравнения $3x + 2y = 1$ — это прямая, проходящая через точки (1, -1) и (-1, 2).

6) $x + 4y = 9$

Это линейное уравнение, его график – прямая. Найдем две точки.

1. При $x = 1$, $1 + 4y = 9 \implies 4y = 8 \implies y = 2$. Точка A(1, 2).

2. При $x = 5$, $5 + 4y = 9 \implies 4y = 4 \implies y = 1$. Точка B(5, 1).

Построим прямую через точки A и B.

Ответ: График уравнения $x + 4y = 9$ — это прямая, проходящая через точки (1, 2) и (5, 1).

7) $3y - 18 = 0$

Упростим уравнение: $3y = 18 \implies y = 6$.

Это уравнение задает прямую, в каждой точке которой ордината ($y$) равна 6. Следовательно, это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку (0, 6).

Ответ: График уравнения $3y - 18 = 0$ — это горизонтальная прямая $y=6$, параллельная оси абсцисс.

8) $16 + 8x = 0$

Упростим уравнение: $8x = -16 \implies x = -2$.

Это уравнение задает прямую, в каждой точке которой абсцисса ($x$) равна -2. Следовательно, это вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку (-2, 0).

Ответ: График уравнения $16 + 8x = 0$ — это вертикальная прямая $x=-2$, параллельная оси ординат.

9) $4 - x - y = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$: $y = 4 - x$. Графиком является прямая. Найдем две точки.

1. При $x = 0$, $y = 4 - 0 = 4$. Точка A(0, 4).

2. При $y = 0$, $0 = 4 - x$, откуда $x = 4$. Точка B(4, 0).

Построим прямую через точки A и B.

Ответ: График уравнения $4 - x - y = 0$ — это прямая, проходящая через точки (0, 4) и (4, 0).