Страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.4. Задайте функцию $y$ формулой с помощью таблицы 20.6:

Таблица 20.6

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Из каких чисел состоит область определения всех этих функций? Какие из этих функций возрастающие, какие убывающие?

1)Анализируем данные в таблице. Замечаем, что при увеличении $x$ на 1, значение $y$ увеличивается на 3. Это указывает на линейную зависимость вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 3$. Проверим формулу $y = 3x$:
При $x = 1, y = 3 \cdot 1 = 3$.
При $x = 2, y = 3 \cdot 2 = 6$.
При $x = 3, y = 3 \cdot 3 = 9$.
При $x = 4, y = 3 \cdot 4 = 12$.
Все значения совпадают.
Ответ: $y = 3x$.

2)В этой таблице при увеличении $x$ на 1, значение $y$ также увеличивается на 3 ($7-4=3, 10-7=3$). Значит, это линейная функция с угловым коэффициентом $k = 3$, и ее формула имеет вид $y = 3x + b$. Чтобы найти $b$, подставим первую пару значений (1; 4):
$4 = 3 \cdot 1 + b$
$b = 4 - 3 = 1$.
Таким образом, формула функции: $y = 3x + 1$. Проверим для $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 + 1 = 7$, что совпадает с таблицей.
Ответ: $y = 3x + 1$.

3)Здесь также при увеличении $x$ на 1, значение $y$ увеличивается на 3 ($5-2=3, 8-5=3$). Угловой коэффициент $k = 3$. Формула имеет вид $y = 3x + b$. Подставим значения из первого столбца (1; 2):
$2 = 3 \cdot 1 + b$
$b = 2 - 3 = -1$.
Получаем формулу: $y = 3x - 1$. Проверим для $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 - 1 = 5$, что совпадает с таблицей.
Ответ: $y = 3x - 1$.

4)В этой таблице при увеличении $x$ на 1, значение $y$ уменьшается на 3 ($-6 - (-3) = -3$). Это линейная зависимость с угловым коэффициентом $k = -3$. Проверим формулу $y = -3x$:
При $x = 1, y = -3 \cdot 1 = -3$.
При $x = 2, y = -3 \cdot 2 = -6$.
Все значения совпадают, значит, смещение $b = 0$.
Ответ: $y = -3x$.

5)Здесь при увеличении $x$ на 1, значение $y$ уменьшается на 3 ($-5 - (-2) = -3$). Угловой коэффициент $k = -3$. Формула имеет вид $y = -3x + b$. Подставим значения из первого столбца (1; -2):
$-2 = -3 \cdot 1 + b$
$b = -2 + 3 = 1$.
Получаем формулу: $y = -3x + 1$. Проверим для $x = 2$: $y = -3 \cdot 2 + 1 = -5$, что совпадает с таблицей.
Ответ: $y = -3x + 1$.

6)В данной таблице значения $x$ идут не по порядку, а значения $y$ составляют арифметическую прогрессию. Вероятнее всего, в значениях $x$ допущена опечатка, и они должны быть 1, 2, 3, 4, как и в предыдущих заданиях. Примем это допущение. Тогда таблица должна выглядеть так:
x | 1 | 2 | 3 | 4
y | -4 | -7 | -10 | -13
В этом случае при увеличении $x$ на 1, $y$ уменьшается на 3. Угловой коэффициент $k = -3$. Формула: $y = -3x + b$. Подставим пару (1; -4):
$-4 = -3 \cdot 1 + b$
$b = -4 + 3 = -1$.
Формула функции: $y = -3x - 1$. Проверим для $x = 2$: $y = -3 \cdot 2 - 1 = -7$. Совпадает с нашим предположением.
Ответ: $y = -3x - 1$.

Из каких чисел состоит область определения всех этих функций?
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция задана. Согласно таблицам:
- для функций 1), 2), 3), 4), 5) область определения — это множество чисел $\{1, 2, 3, 4\}$.
- для функции 6) область определения, как она дана в таблице, — это множество чисел $\{1, 2, 4, 9\}$.

Какие из этих функций возрастающие, какие убывающие?
Функция является возрастающей, если большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Функция является убывающей, если большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$. Для линейной функции $y = kx+b$, она возрастает при $k > 0$ и убывает при $k < 0$.
- Возрастающие функции: 1), 2), 3) (для всех $k = 3 > 0$).
- Убывающие функции: 4), 5), 6) (для всех $k = -3 < 0$, для пункта 6 используем формулу, полученную в предположении об опечатке).

20.5. Найдите область определения функции и установите по таблице 20.7, является ли эта функция возрастающей или убывающей:

Таблица 20.7

1)

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

2)

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 1, $ \frac{1}{2} $, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{8} $, $ \frac{1}{10} $, $ \frac{1}{32} $, $ \frac{1}{64} $

3)

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729

4)

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 1, $ \frac{1}{3} $, $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{27} $, $ \frac{1}{81} $, $ \frac{1}{243} $, $ \frac{1}{729} $

5)

x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

y: 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25

6)

x: -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5

y: $ \frac{1}{25} $, $ \frac{1}{16} $, $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{4} $, 1, 1, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{16} $, $ \frac{1}{25} $

7)

x: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

y: -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27

8)

x: -3, -2, -1, 1, 2, 3

y: $ -\frac{1}{27} $, $ -\frac{1}{8} $, -1, 1, $ \frac{1}{8} $, $ \frac{1}{27} $

1)

Область определения функции — это множество значений аргумента $x$, для которых функция определена. В данном случае это значения из верхней строки таблицы: $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Для определения, является ли функция возрастающей или убывающей, сравним значения $y$ при возрастании значений $x$. Значения $x$ в таблице идут в порядке возрастания: $0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$. Соответствующие значения $y$: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$. Так как $1 < 2 < 4 < 8 < 16 < 32 < 64$, то каждому большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$; функция возрастающая.

2)

Область определения функции: $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Значения $x$ в таблице идут в порядке возрастания: $0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$. Соответствующие значения $y$: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}$. Сравним эти значения в виде десятичных дробей: $1 > 0.5 > 0.25 > 0.125 > 0.1 > 0.03125 > 0.015625$. Каждому большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$; функция убывающая.

3)

Область определения функции: $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Значения $x$ возрастают: $0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$. Соответствующие значения $y$: $1, 3, 9, 27, 81, 243, 729$. Так как $1 < 3 < 9 < 27 < 81 < 243 < 729$, то каждому большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$; функция возрастающая.

4)

Область определения функции: $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Значения $x$ возрастают: $0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$. Соответствующие значения $y$: $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243}, \frac{1}{729}$. Так как $1 > \frac{1}{3} > \frac{1}{9} > \frac{1}{27} > \dots$, то каждому большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$; функция убывающая.

5)

Область определения функции: $D(y) = \{-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

Значения $x$ в таблице возрастают. Проследим за изменением значений $y$. При возрастании $x$ от $-4$ до $0$, значения $y$ ($16, 9, 4, 1, 0$) убывают. Однако при возрастании $x$ от $0$ до $5$, значения $y$ ($0, 1, 4, 9, 16, 25$) возрастают. Поскольку на одном участке области определения функция убывает, а на другом — возрастает, она не является ни возрастающей, ни убывающей на всей области определения.

Ответ: область определения $D(y) = \{-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$; функция не является ни возрастающей, ни убывающей.

6)

Область определения функции: $D(y) = \{-5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

Значения $x$ в таблице возрастают. Проследим за изменением значений $y$. При возрастании $x$ от $-5$ до $-1$, значения $y$ ($\frac{1}{25}, \frac{1}{16}, \frac{1}{9}, \frac{1}{4}, 1$) возрастают. При переходе от $x=-1$ к $x=1$ значение $y$ не меняется ($y=1$). При возрастании $x$ от $1$ до $5$, значения $y$ ($1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}$) убывают. Так как на разных участках области определения функция ведет себя по-разному (возрастает, а затем убывает), она не является ни возрастающей, ни убывающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{-5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 5\}$; функция не является ни возрастающей, ни убывающей.

7)

Область определения функции: $D(y) = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$.

Значения $x$ возрастают: $-3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3$. Соответствующие значения $y$: $-27, -8, -1, 0, 1, 8, 27$. Так как $-27 < -8 < -1 < 0 < 1 < 8 < 27$, то каждому большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$; функция возрастающая.

8)

Область определения функции: $D(y) = \{-3; -2; -1; 1; 2; 3\}$.

Значения $x$ в таблице возрастают. Проследим за изменением значений $y$. При возрастании $x$ от $-3$ до $-1$, значения $y$ ($-\frac{1}{27}, -\frac{1}{8}, -1$) убывают, так как $-\frac{1}{27} > -\frac{1}{8} > -1$. Однако при переходе от $x=-1$ к $x=1$ значение $y$ возрастает с $-1$ до $1$. Так как на одном участке области определения функция убывает, а на другом — возрастает, она не является ни возрастающей, ни убывающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{-3; -2; -1; 1; 2; 3\}$; функция не является ни возрастающей, ни убывающей.