Страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.1. Задает ли функцию таблица 20.3:

Таблица 20.3

1) $x$ | 1 | 2 | 3

$y$ | 0,5 | 1 | 1,5

2) $x$ | -1 | -2 | 1 | 2

$y$ | 1 | 2 | 1 | 2

3) $x$ | 1 | 2 | 1

$y$ | -1 | -2 | 1

4) $x$ | 4 | 2 | 1

$y$ | 0 | 0 | 0

Функциональная зависимость или функция – это такое правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) соответствует единственное значение зависимой переменной (функции $y$). Проверим каждую из таблиц на соответствие этому определению.

1)

В данной таблице каждому значению аргумента $x$ (1, 2, 3) соответствует ровно одно значение функции $y$. Все значения $x$ различны. Следовательно, эта таблица задает функцию.
Ответ: да

2)

В этой таблице все значения аргумента $x$ (-1, -2, 1, 2) различны, и каждому из них соответствует ровно одно значение $y$. Тот факт, что разным значениям $x$ (например, -1 и 1) соответствует одно и то же значение $y$ (в данном случае 1), не противоречит определению функции. Следовательно, эта таблица задает функцию.
Ответ: да

3)

В данной таблице значение аргумента $x=1$ встречается дважды. При этом значению $x=1$ сопоставляются два различных значения функции: $y=-1$ и $y=1$. Это нарушает основное требование к функции — единственность значения $y$ для каждого $x$. Следовательно, данная таблица не задает функцию.
Ответ: нет

4)

В этой таблице все значения аргумента $x$ (4, 2, 1) различны. Каждому значению $x$ соответствует строго одно значение $y$. Тот факт, что всем представленным значениям $x$ соответствует одно и то же значение $y=0$, не противоречит определению функции. Таким образом, данная таблица задает функцию.
Ответ: да

20.2. Найдите область определения функции $y$, заданной таблицей 20.4:

Таблица 20.4

1)

$x$: 1, 2, 3, 4

$y$: 1, 4, 9, 16

2)

$x$: 1, 4, 2, 9

$y$: -1, -2, 1, 3

1) Область определения функции — это множество всех допустимых значений её аргумента (независимой переменной). Когда функция задана в виде таблицы, её область определения состоит из всех значений переменной $x$, которые перечислены в верхней строке таблицы. Для первой таблицы значения $x$ равны 1, 2, 3, 4. Таким образом, область определения этой функции представляет собой множество этих чисел.
Ответ: {1, 2, 3, 4}.

2) Аналогично первому случаю, находим область определения функции, заданной второй таблицей. Для этого необходимо перечислить все значения из строки $x$. В данной таблице переменная $x$ принимает значения: 1, 4, 2, 9. Представим эти значения в виде множества, для удобства упорядочив их по возрастанию.
Ответ: {1, 2, 4, 9}.

20.3. Возрастающей или убывающей является функция, заданная таблицей 20.5:

Таблица 20.5

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

1) В данной таблице значения аргумента $x$ равны $1, 8, 9, 12$, а соответствующие значения функции $y$ равны $1, 2, 3, 4$. Значения $x$ в таблице уже упорядочены по возрастанию: $1 < 8 < 9 < 12$. Соответствующие им значения $y$ также возрастают: $1 < 2 < 3 < 4$. Поскольку большему значению аргумента соответствует большее значение функции, данная функция является возрастающей. Ответ: возрастающая.

2) Значения аргумента $x$ равны $44, 30, 15, 6$, а соответствующие значения функции $y$ равны $40, 20, 10, 1$. Для анализа упорядочим значения $x$ по возрастанию: $6 < 15 < 30 < 44$. Соответствующие им значения $y$ будут $1, 10, 20, 40$. Мы видим, что при возрастании $x$ значения $y$ также возрастают: $1 < 10 < 20 < 40$. Следовательно, функция является возрастающей. Ответ: возрастающая.

3) Значения аргумента $x$ равны $10, 20, 30, 40$, а соответствующие значения функции $y$ равны $5, 15, 10, 20$. Значения $x$ упорядочены по возрастанию: $10 < 20 < 30 < 40$. Проанализируем изменение $y$. При переходе от $x=10$ к $x=20$ значение $y$ возрастает с $5$ до $15$. Однако при переходе от $x=20$ к $x=30$ значение $y$ убывает с $15$ до $10$. Так как функция и возрастает, и убывает на заданном множестве точек, она не является монотонной. Ответ: не является ни возрастающей, ни убывающей.

4) Значения аргумента $x$ равны $11, 12, 13, 14$, а соответствующие значения функции $y$ равны $15, 14, 13, 12$. Значения $x$ упорядочены по возрастанию: $11 < 12 < 13 < 14$. Соответствующие им значения $y$ убывают: $15 > 14 > 13 > 12$. Поскольку большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, данная функция является убывающей. Ответ: убывающая.

5) Значения аргумента $x$ равны $90, 80, 70, 60$, а соответствующие значения функции $y$ равны $6, 12, 18, 24$. Упорядочим значения $x$ по возрастанию: $60 < 70 < 80 < 90$. Соответствующие им значения $y$ будут $24, 18, 12, 6$. Мы видим, что при возрастании $x$ значения $y$ убывают: $24 > 18 > 12 > 6$. Следовательно, функция является убывающей. Ответ: убывающая.

6) Значения аргумента $x$ равны $1, 3, 5, 4$, а соответствующие значения функции $y$ равны $10, 30, 50, 40$. Значения $x$ в таблице не упорядочены. Упорядочим их по возрастанию: $1 < 3 < 4 < 5$. Соответствующие им значения $y$ будут $10, 30, 40, 50$. При возрастании $x$ значения $y$ также возрастают: $10 < 30 < 40 < 50$. Следовательно, функция является возрастающей. Ответ: возрастающая.

7) Значения аргумента $x$ равны $4, 5, 6, 7$, а соответствующие значения функции $y$ равны $0, 5, 4, 6$. Значения $x$ упорядочены по возрастанию: $4 < 5 < 6 < 7$. Проанализируем изменение $y$. При переходе от $x=4$ к $x=5$, $y$ возрастает с $0$ до $5$. Но при переходе от $x=5$ к $x=6$, $y$ убывает с $5$ до $4$. Поскольку функция и возрастает, и убывает на заданном множестве точек, она не является монотонной. Ответ: не является ни возрастающей, ни убывающей.

8) Значения аргумента $x$ равны $1/2, 1/3, 1/4, 1/5$, а соответствующие значения функции $y$ равны $-1/2, -1/3, -1/4, -1/5$. Упорядочим значения $x$ по возрастанию: $1/5 < 1/4 < 1/3 < 1/2$. Соответствующие им значения $y$ будут $-1/5, -1/4, -1/3, -1/2$. Сравним эти значения $y$. Поскольку $-1/5 = -0.2$, $-1/4 = -0.25$, $-1/3 \approx -0.33$, $-1/2 = -0.5$, то $-1/5 > -1/4 > -1/3 > -1/2$. Таким образом, при возрастании $x$ значения $y$ убывают. Следовательно, функция является убывающей. Ответ: убывающая.