Страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.9. Автомобиль, мотоцикл, поезд и моторная лодка находятся в пути два часа. Найдите длину пройденного пути каждого из них, если их скорости соответственно равны 80 км/ч, 30 км/ч, 65 км/ч и 12 км/ч. Запишите формулы зависимости длины пройденного пути (расстояния) от скорости движения.

$S = vt$

Для нахождения пройденного пути (расстояния) $s$ используется формула $s = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время. По условию задачи, время в пути для всех объектов составляет $t = 2$ часа.

Нахождение длины пройденного пути каждого из них

Рассчитаем расстояние для каждого транспортного средства, умножив его скорость на время в пути ($2$ часа):
- Автомобиль (скорость $80$ км/ч): $s = 80 \cdot 2 = 160$ км.
- Мотоцикл (скорость $30$ км/ч): $s = 30 \cdot 2 = 60$ км.
- Поезд (скорость $65$ км/ч): $s = 65 \cdot 2 = 130$ км.
- Моторная лодка (скорость $12$ км/ч): $s = 12 \cdot 2 = 24$ км.
Ответ: пройденный путь для автомобиля — 160 км, для мотоцикла — 60 км, для поезда — 130 км, для моторной лодки — 24 км.

Формулы зависимости длины пройденного пути (расстояния) от скорости движения

Зависимость длины пройденного пути (расстояния) $s$ от скорости движения $v$ при заданном времени $t$ является прямо пропорциональной. Она выражается общей формулой, где расстояние равно произведению скорости на время.
Ответ: $s = v \cdot t$.

18.10.Расскажите о немецком математике Готфриде Вильгельме Лейбнице, который ввел термин "функция". Понятие функции возникло в XVII в.

Готфрид Вильгельм Лейбниц: универсальный гений и его вклад в математику

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — выдающийся немецкий эрудит, чьи интересы и достижения простирались от философии и юриспруденции до математики, физики и изобретательства. Он по праву считается одним из величайших умов XVII века и ключевой фигурой эпохи Просвещения. Лейбниц был невероятно продуктивен, оставив после себя огромное наследие в виде рукописей, писем и научных трудов, а также стоял у истоков основания нескольких европейских академий наук, включая Берлинскую.

Математические прорывы и рождение термина «функция»

В математике Лейбниц наиболее известен как один из создателей дифференциального и интегрального исчисления, которое он разработал независимо от Исаака Ньютона. Хотя между учёными шёл знаменитый спор о приоритете, именно система обозначений Лейбница оказалась настолько удобной и логичной, что стала общепринятой во всём мире. К этим обозначениям относятся:
– Знак интеграла $ \int $, представляющий собой стилизованную букву S (от латинского слова summa, «сумма»).
– Обозначение производной как отношения дифференциалов $ \frac{dy}{dx} $, которое наглядно отражает её суть.

Как верно отмечено в вопросе, понятие функции начало формироваться в XVII веке, но именно Лейбниц первым ввёл сам термин «функция» (от латинского functio — «исполнение», «деятельность»). Это произошло примерно в 1673 году. Для Лейбница этот термин изначально имел геометрический смысл. Он называл функциями различные величины, связанные с точкой на кривой и характеризующие её: например, абсциссу, ординату, длину касательной или нормали. По его мнению, эти величины «выполняли функцию» для данной кривой.

Хотя современное, более строгое аналитическое определение функции было сформулировано позже (в частности, его учеником Иоганном Бернулли, а затем Леонардом Эйлером), введение Лейбницем этого термина стало решающим шагом. Это позволило математикам выделить функциональные зависимости как самостоятельный объект изучения и заложило основы для бурного развития математического анализа.

Ответ: Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), один из создателей математического анализа, около 1673 года ввёл в научный оборот термин «функция». Изначально он обозначал им различные геометрические величины, связанные с точкой на кривой (например, ординату или длину касательной). Этот шаг стал ключевым для дальнейшего развития понятия функции в математике.

18.11. Используя формулу $P = 4a$, вычислите:

1) $P$, если $a = 2,5$; 15; $\frac{1}{8}$;

2) $a$, если $P = 8$; 1,6; $\frac{1}{4}$.

1) P, если a = 2,5; 15; 1/8;
Для вычисления периметра $P$ по формуле $P = 4a$, последовательно подставим в нее заданные значения стороны $a$.

- Если $a = 2,5$, то $P = 4 \times 2,5 = 10$.
Ответ: 10.

- Если $a = 15$, то $P = 4 \times 15 = 60$.
Ответ: 60.

- Если $a = \frac{1}{8}$, то $P = 4 \times \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) a, если P = 8; 1,6; 1/4.
Для вычисления стороны $a$ выразим ее из формулы $P = 4a$. Получим $a = \frac{P}{4}$. Последовательно подставим в нее заданные значения периметра $P$.

- Если $P = 8$, то $a = \frac{8}{4} = 2$.
Ответ: 2.

- Если $P = 1,6$, то $a = \frac{1,6}{4} = 0,4$.
Ответ: 0,4.

- Если $P = \frac{1}{4}$, то $a = \frac{\frac{1}{4}}{4} = \frac{1}{4 \times 4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

18.12. Используя формулу $y = 3x - 9$, найдите:

1) значение $x$, при котором $y = 0$;

2) значение $y$, при котором $x = 0$.

1) значение x, при котором y = 0;

Чтобы найти значение переменной $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю, необходимо подставить $y=0$ в заданную формулу $y = 3x - 9$.

В результате подстановки получаем следующее линейное уравнение:

$0 = 3x - 9$

Для решения этого уравнения относительно $x$, перенесем свободный член (число -9) из правой части уравнения в левую, изменив его знак на противоположный:

$9 = 3x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{9}{3}$

Выполняем деление:

$x = 3$

Таким образом, значение $x$, при котором $y=0$, равно 3.

Ответ: 3

2) значение y, при котором x = 0.

Чтобы найти значение переменной $y$, когда $x$ равен нулю, необходимо подставить $x=0$ в исходную формулу $y = 3x - 9$.

Выполняем подстановку:

$y = 3 \cdot 0 - 9$

Теперь вычислим значение выражения в правой части. Согласно порядку выполнения арифметических операций, сначала выполняется умножение:

$y = 0 - 9$

Затем выполняется вычитание:

$y = -9$

Таким образом, значение $y$, при котором $x=0$, равно -9.

Ответ: -9