Страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что такое функция, ее определения и множество значений? Какие бывают функции?

1. Может ли одна и та же величина быть зависимой величиной и независимой величиной? Приведите пример.

2. Может ли область определения функции стоимости от цены содержать отрицательное число; нуль; смешанное положительное число?

3. Может ли одна и та же функция быть одновременно возрастающей и убывающей на всей области определения?

4. Существуют ли функции, которые не являются ни возрастающими, ни убывающими?

Функция — это правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из другого множества.

Переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом, а переменную $y$ — зависимой переменной или значением функции. Зависимость переменной $y$ от переменной $x$ записывают в виде $y = f(x)$.

Область определения функции (обозначается $D(f)$ или $D(y)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ имеет смысл.

Множество значений функции (обозначается $E(f)$ или $E(y)$) — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ при всех возможных значениях $x$ из области определения.

Какие бывают функции? Функции можно классифицировать по различным признакам.

По виду аналитического выражения:

• Алгебраические (например, линейная $y=kx+b$, квадратичная $y=ax^2+bx+c$, степенная $y=x^n$, рациональная и др.)
• Трансцендентные (например, показательная $y=a^x$, логарифмическая $y=\log_a x$, тригонометрические $y=\sin x$, $y=\cos x$ и др.)

По свойствам:

• Четные ($f(-x) = f(x)$) и нечетные ($f(-x) = -f(x)$)
• Периодические (значения повторяются через определенный интервал — период)
• Монотонные (возрастающие или убывающие на всей области определения)
• Ограниченные (множество значений ограничено сверху и/или снизу)

1. Может ли одна и та же величина быть зависимой величиной и независимой величиной? Приведите пример.
Да, может. Статус величины как зависимой или независимой определяется контекстом рассматриваемой задачи или модели. Одна и та же величина может выступать в роли аргумента (независимой величины) в одной зависимости и в роли функции (зависимой величины) в другой.
Пример: рассмотрим взаимосвязь между расстоянием $S$, скоростью $v$ и временем $t$, которая описывается формулой $S = v \cdot t$.
1) Если мы рассматриваем зависимость пройденного пути $S$ от времени движения $t$ при постоянной скорости $v$, то формула принимает вид $S(t) = v \cdot t$. Здесь $t$ — независимая величина (аргумент), а $S$ — зависимая величина (функция).
2) Если же мы хотим определить время $t$, необходимое для преодоления заданного расстояния $S$ при движении с некоторой скоростью $v$, то мы выражаем $t$ из формулы: $t(v) = S/v$. В этом случае $v$ — независимая величина, а $t$ — зависимая.
Таким образом, величина "время" ($t$) в одном контексте является независимой, а в другом — зависимой.
Ответ: Да, может. Например, время в формуле пути $S=v \cdot t$ может быть независимой переменной в функции $S(t)$ и зависимой в функции $t(v)$.

2. Может ли область определения функции стоимости от цены содержать отрицательное число; нуль; смешанное положительное число?
Область определения функции стоимости от цены — это множество всех допустимых значений цены. Цена товара или услуги в реальной экономике является величиной, которая не может быть отрицательной.

• Отрицательное число: Нет. Отрицательная цена означала бы, что продавец платит покупателю за то, что тот забирает товар. Это противоречит понятию "стоимость покупки".
• Нуль: Да. Цена может быть равна нулю, если товар или услуга предоставляются бесплатно. В этом случае стоимость покупки также будет равна нулю.
• Смешанное положительное число (дробное): Да. Цены очень часто выражаются нецелыми числами, например, 99,99 руб. или 1,5 тыс. руб.

Ответ: отрицательное число — нет; нуль — да; смешанное положительное число — да.

3. Может ли одна и та же функция быть одновременно возрастающей и убывающей на всей области определения?
Да, если речь идет о нестрогом возрастании и убывании.
Функция называется нестрого возрастающей, если для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$.
Функция называется нестрого убывающей, если для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) \ge f(x_2)$.
Чтобы оба условия выполнялись одновременно, для любой пары $x_1 < x_2$ должно быть верным двойное неравенство $f(x_2) \le f(x_1) \le f(x_2)$, что возможно только при $f(x_1) = f(x_2)$.
Это означает, что значение функции одинаково во всех точках, то есть функция является постоянной (константой). Например, $y = c$, где $c$ — любое число. Такая функция одновременно является и нестрого возрастающей, и нестрого убывающей.
Если же рассматривать строгое возрастание ($f(x_1) < f(x_2)$) и строгое убывание ($f(x_1) > f(x_2)$), то ни одна функция не может удовлетворять обоим условиям.
Ответ: Да, может. Такой является любая постоянная функция, например, $y = 10$.

4. Существуют ли функции, которые не являются ни возрастающими, ни убывающими?
Да, существует множество таких функций. Функция не является ни возрастающей, ни убывающей на всей своей области определения, если на этой области есть участки как возрастания, так и убывания. Такие функции называют немонотонными.
Пример: квадратичная функция $y = x^2$. Ее область определения — все действительные числа ($\mathbb{R}$).

• На промежутке $(-\infty, 0]$ эта функция убывает (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается).
• На промежутке $[0, +\infty)$ эта функция возрастает (при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается).

Поскольку функция меняет характер монотонности, она не является ни возрастающей, ни убывающей на всей своей области определения.
Другими примерами могут служить функции $y = |x|$, $y = \cos(x)$, $y = x^3 - 3x$.
Ответ: Да, существуют. Например, $y = x^2$ или $y = \sin(x)$.