Страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.9. Решите уравнение, разложив левую часть на множители:

1) $x^2 - 5x + 6 = 0$;

2) $x^2 + 5x + 6 = 0$;

3) $x^2 + x - 6 = 0$;

4) $x^2 - x - 6 = 0$;

5) $x^2 - 5x + 4 = 0$;

6) $x^2 + 5x + 4 = 0$.

1) Решим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. Чтобы разложить левую часть на множители, воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно свободному члену $c=6$, а сумма равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть $-(-5)=5$. Подбором находим эти числа: 2 и 3.
Таким образом, $x_1=2$ и $x_2=3$.
Разложение на множители имеет вид $(x - x_1)(x - x_2) = 0$, то есть $(x - 2)(x - 3) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x-2=0$ или $x-3=0$.
Отсюда получаем корни уравнения: $x=2$ и $x=3$.
Ответ: 2; 3.

2) Решим уравнение $x^2 + 5x + 6 = 0$. Для разложения левой части на множители найдем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна $-5$. Эти числа — -2 и -3.
Следовательно, $x_1=-2$ и $x_2=-3$.
Разложение на множители: $(x - (-2))(x - (-3)) = 0$, то есть $(x + 2)(x + 3) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю: $x+2=0$ или $x+3=0$.
Корни уравнения: $x=-2$ и $x=-3$.
Ответ: -3; -2.

3) Решим уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. Найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Эти числа — -3 и 2.
Таким образом, $x_1=-3$ и $x_2=2$.
Разложение на множители: $(x - (-3))(x - 2) = 0$, то есть $(x + 3)(x - 2) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю: $x+3=0$ или $x-2=0$.
Корни уравнения: $x=-3$ и $x=2$.
Ответ: -3; 2.

4) Решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна 1. Эти числа — 3 и -2.
Значит, $x_1=3$ и $x_2=-2$.
Разложение на множители: $(x - 3)(x - (-2)) = 0$, то есть $(x - 3)(x + 2) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю: $x-3=0$ или $x+2=0$.
Корни уравнения: $x=3$ и $x=-2$.
Ответ: -2; 3.

5) Решим уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. Найдем два числа, произведение которых равно 4, а сумма равна 5. Эти числа — 1 и 4.
Следовательно, $x_1=1$ и $x_2=4$.
Разложение на множители: $(x - 1)(x - 4) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю: $x-1=0$ или $x-4=0$.
Корни уравнения: $x=1$ и $x=4$.
Ответ: 1; 4.

6) Решим уравнение $x^2 + 5x + 4 = 0$. Найдем два числа, произведение которых равно 4, а сумма равна -5. Эти числа — -1 и -4.
Таким образом, $x_1=-1$ и $x_2=-4$.
Разложение на множители: $(x - (-1))(x - (-4)) = 0$, то есть $(x + 1)(x + 4) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю: $x+1=0$ или $x+4=0$.
Корни уравнения: $x=-1$ и $x=-4$.
Ответ: -4; -1.

16.10. Разложите на множители способом группировки многочлен:

1) $2am - 2bm + 2cm + 3an - 3bn + 3cn;$

2) $3mx + 3nx + 3kx - 2ny - 2my - 2ky;$

3) $7tx + 7ty + 7tz + 4kx + 4ky + 4kz;$

4) $11at + 11ak + 11ap - 9bt - 9bk - 9pb.$

1) Для разложения на множители многочлена $2am - 2bm + 2cm + 3an - 3bn + 3cn$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. Можно сгруппировать первые три слагаемых и последние три слагаемых.
$(2am - 2bm + 2cm) + (3an - 3bn + 3cn)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $2m$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $3n$.
$2m(a - b + c) + 3n(a - b + c)$
Полученное выражение имеет общий множитель $(a - b + c)$, который мы также выносим за скобки.
$(a - b + c)(2m + 3n)$
Ответ: $(a - b + c)(2m + 3n)$

2) Разложим на множители многочлен $3mx + 3nx + 3kx - 2ny - 2my - 2ky$. Для удобства сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, и слагаемые, содержащие переменную $y$. Чтобы сохранить порядок переменных $(m, n, k)$ во второй группе, запишем многочлен так: $3mx + 3nx + 3kx - 2my - 2ny - 2ky$.
$(3mx + 3nx + 3kx) + (-2my - 2ny - 2ky)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3x$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-2y$.
$3x(m + n + k) - 2y(m + n + k)$
Теперь общим множителем является выражение $(m + n + k)$. Вынесем его за скобки.
$(m + n + k)(3x - 2y)$
Ответ: $(m + n + k)(3x - 2y)$

3) Разложим на множители многочлен $7tx + 7ty + 7tz + 4kx + 4ky + 4kz$ методом группировки. Сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых.
$(7tx + 7ty + 7tz) + (4kx + 4ky + 4kz)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $7t$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $4k$.
$7t(x + y + z) + 4k(x + y + z)$
Выражение в скобках $(x + y + z)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки.
$(x + y + z)(7t + 4k)$
Ответ: $(x + y + z)(7t + 4k)$

4) Разложим на множители многочлен $11at + 11ak + 11ap - 9bt - 9bk - 9pb$. Отметим, что $-9pb$ можно записать как $-9bp$ для единообразия. Сгруппируем слагаемые.
$(11at + 11ak + 11ap) + (-9bt - 9bk - 9bp)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $11a$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-9b$.
$11a(t + k + p) - 9b(t + k + p)$
Общим множителем является выражение $(t + k + p)$. Вынесем его за скобки.
$(t + k + p)(11a - 9b)$
Ответ: $(t + k + p)(11a - 9b)$

16.11. Решите уравнение, разложив на множители выражение, стоящее в скобках:

1) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 0$;

2) $(2 + 3x + x^2)(12 + 7x + x^2) = 0$;

3) $(1 - 2x^2 + x) \cdot (5 - 10{,}5x + x^2) = 0$;

4) $(12 - 7x + x^2)(5x - 1 - 6x^2) = 0.$

1) Решим уравнение $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому задача сводится к решению двух квадратных уравнений:

а) $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Для разложения на множители найдем корни. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3$ и произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Разложение на множители: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

б) $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_3 + x_4 = 7$ и произведение $x_3 \cdot x_4 = 12$. Отсюда корни $x_3 = 3$ и $x_4 = 4$.

Разложение на множители: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Исходное уравнение можно представить в виде $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 0$.

Отсюда находим все корни уравнения.

Ответ: $1; 2; 3; 4$.

2) Решим уравнение $(2 + 3x + x^2)(12 + 7x + x^2) = 0$.

Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

а) $x^2 + 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Разложение на множители: $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

б) $x^2 + 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, $x_3 + x_4 = -7$ и $x_3 \cdot x_4 = 12$. Корни: $x_3 = -3$ и $x_4 = -4$.

Разложение на множители: $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$.

Исходное уравнение можно представить в виде $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 0$.

Отсюда находим все корни уравнения.

Ответ: $-4; -3; -2; -1$.

3) Решим уравнение $(1 - 2x^2 + x) \cdot (5 - 10,5x + x^2) = 0$.

Перепишем уравнение в стандартном виде: $(-2x^2 + x + 1)(x^2 - 10,5x + 5) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

а) $-2x^2 + x + 1 = 0$, или $2x^2 - x - 1 = 0$.

Находим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$. $x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$.

Разложение на множители: $-2x^2 + x + 1 = -2(x - 1)(x + 0,5) = (1 - x)(2x + 1)$.

б) $x^2 - 10,5x + 5 = 0$. Умножим на 2 для удобства: $2x^2 - 21x + 10 = 0$.

Находим дискриминант: $D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 441 - 80 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-(-21) \pm 19}{2 \cdot 2} = \frac{21 \pm 19}{4}$. $x_3 = \frac{21+19}{4} = \frac{40}{4} = 10$, $x_4 = \frac{21-19}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Разложение на множители: $x^2 - 10,5x + 5 = (x - 10)(x - 0,5)$.

Объединяем корни.

Ответ: $-0,5; 0,5; 1; 10$.

4) Решим уравнение $(12 - 7x + x^2)(5x - 1 - 6x^2) = 0$.

Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x^2 - 7x + 12)(-6x^2 + 5x - 1) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

а) $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Корни этого уравнения были найдены в пункте 1): $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Разложение на множители: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

б) $-6x^2 + 5x - 1 = 0$, или $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Находим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$. $x_3 = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, $x_4 = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Разложение на множители: $-6x^2 + 5x - 1 = -6(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{3}) = (1 - 2x)(3x - 1)$.

Объединяем корни.

Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{1}{2}; 3; 4$.

16.12. Цена вишни равна 800 тг/кг. Какова стоимость покупки, если купили вишни: 1) 300 г; 2) 500 г; 3) 1 кг 250 г; 4) 2 кг; 5) 2,5 кг; 6) $2\frac{3}{4}$ кг? Заполните таблицу 16.1.

Таблица 16.1

Масса вишни (кг)

Стоимость вишни (тг)

Что произойдет со стоимостью покупки, если увеличится масса вишни? Во сколько раз увеличится стоимость покупки, если вишни купят в 2 раза больше, в 3 раза больше?

Цена вишни составляет 800 тг/кг. Чтобы найти стоимость покупки, необходимо массу вишни (в килограммах) умножить на ее цену.

1) Для нахождения стоимости 300 г вишни, сначала переведем массу в килограммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$: $300 \text{ г} = 0,3 \text{ кг}$. Затем умножим массу на цену: $0,3 \text{ кг} \times 800 \frac{\text{тг}}{\text{кг}} = 240 \text{ тг}$.
Ответ: 240 тг.

2) Переведем 500 г в килограммы: $500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}$. Вычислим стоимость: $0,5 \text{ кг} \times 800 \frac{\text{тг}}{\text{кг}} = 400 \text{ тг}$.
Ответ: 400 тг.

3) Переведем 1 кг 250 г в килограммы: $1 \text{ кг} 250 \text{ г} = 1,25 \text{ кг}$. Вычислим стоимость: $1,25 \text{ кг} \times 800 \frac{\text{тг}}{\text{кг}} = 1000 \text{ тг}$.
Ответ: 1000 тг.

4) Масса дана в килограммах. Вычислим стоимость: $2 \text{ кг} \times 800 \frac{\text{тг}}{\text{кг}} = 1600 \text{ тг}$.
Ответ: 1600 тг.

5) Масса дана в килограммах. Вычислим стоимость: $2,5 \text{ кг} \times 800 \frac{\text{тг}}{\text{кг}} = 2000 \text{ тг}$.
Ответ: 2000 тг.

6) Переведем смешанную дробь в десятичную: $2\frac{3}{4} \text{ кг} = 2,75 \text{ кг}$. Вычислим стоимость: $2,75 \text{ кг} \times 800 \frac{\text{тг}}{\text{кг}} = 2200 \text{ тг}$.
Ответ: 2200 тг.

Заполните таблицу 16.1

Что произойдёт со стоимостью покупки, если увеличится масса вишни?
Стоимость покупки и масса вишни являются прямо пропорциональными величинами. Это значит, что если одна величина увеличивается, то и другая увеличивается во столько же раз.
Ответ: Стоимость покупки увеличится.

Во сколько раз увеличится стоимость покупки, если вишни купят в 2 раза больше, в 3 раза больше?
Так как стоимость прямо пропорциональна массе, то при увеличении массы в несколько раз, стоимость увеличится во столько же раз.
Ответ: Если вишни купят в 2 раза больше, то стоимость покупки увеличится в 2 раза. Если вишни купят в 3 раза больше, то стоимость покупки увеличится в 3 раза.

16.13. Запишите формулу для нахождения площади фигуры, если известно, что она состоит из квадрата, длина стороны которого равна $a$ см, и двух равных прямоугольников, у которых длина равна $a$ см, а ширина $b$ см.

Для того чтобы записать формулу для нахождения площади фигуры, необходимо найти площади ее составных частей и сложить их. Согласно условию, фигура состоит из одного квадрата со стороной $a$ см и двух равных прямоугольников, у которых длина равна $a$ см, а ширина $b$ см.

Шаг 1. Нахождение площади квадрата
Площадь квадрата ($S_{кв}$) с длиной стороны $a$ вычисляется по формуле:
$S_{кв} = a \cdot a = a^2$ (см$^2$)

Шаг 2. Нахождение площади двух прямоугольников
Площадь одного прямоугольника ($S_{пр}$) с длиной $a$ и шириной $b$ вычисляется по формуле:
$S_{пр} = a \cdot b$ (см$^2$)
Поскольку в фигуре два таких одинаковых прямоугольника, их общая площадь будет равна удвоенной площади одного:
$2 \cdot S_{пр} = 2 \cdot a \cdot b = 2ab$ (см$^2$)

Шаг 3. Нахождение общей площади фигуры
Общая площадь фигуры ($S$) равна сумме площади квадрата и общей площади двух прямоугольников:
$S = S_{кв} + 2 \cdot S_{пр}$
Подставляя полученные выражения для площадей, получаем искомую формулу:
$S = a^2 + 2ab$

Эту формулу также можно представить в другом виде, если вынести общий множитель $a$ за скобки:
$S = a(a + 2b)$

Для наглядности можно представить эту фигуру, расположив прямоугольники по бокам от квадрата так, чтобы их стороны длиной $a$ совпадали со сторонами квадрата:

Как видно из рисунка, итоговая фигура является большим прямоугольником со сторонами $a$ и $(b + a + b) = (a + 2b)$. Его площадь также равна $a(a+2b)$, что подтверждает правильность выведенной формулы.

Ответ: $S = a^2 + 2ab$