Номер 16.11, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.11. Решите уравнение, разложив на множители выражение, стоящее в скобках:

1) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 0$;

2) $(2 + 3x + x^2)(12 + 7x + x^2) = 0$;

3) $(1 - 2x^2 + x) \cdot (5 - 10{,}5x + x^2) = 0$;

4) $(12 - 7x + x^2)(5x - 1 - 6x^2) = 0.$

1) Решим уравнение $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому задача сводится к решению двух квадратных уравнений:

а) $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Для разложения на множители найдем корни. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3$ и произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Разложение на множители: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

б) $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_3 + x_4 = 7$ и произведение $x_3 \cdot x_4 = 12$. Отсюда корни $x_3 = 3$ и $x_4 = 4$.

Разложение на множители: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Исходное уравнение можно представить в виде $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 0$.

Отсюда находим все корни уравнения.

Ответ: $1; 2; 3; 4$.

2) Решим уравнение $(2 + 3x + x^2)(12 + 7x + x^2) = 0$.

Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

а) $x^2 + 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Разложение на множители: $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

б) $x^2 + 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, $x_3 + x_4 = -7$ и $x_3 \cdot x_4 = 12$. Корни: $x_3 = -3$ и $x_4 = -4$.

Разложение на множители: $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$.

Исходное уравнение можно представить в виде $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 0$.

Отсюда находим все корни уравнения.

Ответ: $-4; -3; -2; -1$.

3) Решим уравнение $(1 - 2x^2 + x) \cdot (5 - 10,5x + x^2) = 0$.

Перепишем уравнение в стандартном виде: $(-2x^2 + x + 1)(x^2 - 10,5x + 5) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

а) $-2x^2 + x + 1 = 0$, или $2x^2 - x - 1 = 0$.

Находим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$. $x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$.

Разложение на множители: $-2x^2 + x + 1 = -2(x - 1)(x + 0,5) = (1 - x)(2x + 1)$.

б) $x^2 - 10,5x + 5 = 0$. Умножим на 2 для удобства: $2x^2 - 21x + 10 = 0$.

Находим дискриминант: $D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 441 - 80 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-(-21) \pm 19}{2 \cdot 2} = \frac{21 \pm 19}{4}$. $x_3 = \frac{21+19}{4} = \frac{40}{4} = 10$, $x_4 = \frac{21-19}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Разложение на множители: $x^2 - 10,5x + 5 = (x - 10)(x - 0,5)$.

Объединяем корни.

Ответ: $-0,5; 0,5; 1; 10$.

4) Решим уравнение $(12 - 7x + x^2)(5x - 1 - 6x^2) = 0$.

Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x^2 - 7x + 12)(-6x^2 + 5x - 1) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

а) $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Корни этого уравнения были найдены в пункте 1): $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Разложение на множители: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

б) $-6x^2 + 5x - 1 = 0$, или $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Находим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$. $x_3 = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, $x_4 = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Разложение на множители: $-6x^2 + 5x - 1 = -6(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{3}) = (1 - 2x)(3x - 1)$.

Объединяем корни.

Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{1}{2}; 3; 4$.