Номер 16.7, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.7. 1) $am + an + ak + bm + bn + bk;$

2) $ax + bx + cx + ay + by + cy;$

3) $mx + my + mz - nx - ny - nz;$

4) $ta + tb + tc - ak - bk - ck;$

5) $am - an - ak - bm + bn + bk;$

6) $ax - bx - cx - ay + by + cy.$

1) Для разложения многочлена $am + an + ak + bm + bn + bk$ на множители сгруппируем слагаемые. Один из способов — сгруппировать слагаемые с общим множителем $a$ и слагаемые с общим множителем $b$.
$(am + an + ak) + (bm + bn + bk)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — общий множитель $b$:
$a(m + n + k) + b(m + n + k)$
Теперь мы видим общий множитель $(m + n + k)$, который тоже можно вынести за скобки:
$(a + b)(m + n + k)$
Ответ: $(a + b)(m + n + k)$.

2) В выражении $ax + bx + cx + ay + by + cy$ сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$:
$(ax + bx + cx) + (ay + by + cy)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — общий множитель $y$:
$x(a + b + c) + y(a + b + c)$
Общим множителем для двух полученных слагаемых является выражение $(a + b + c)$. Вынесем его за скобки:
$(x + y)(a + b + c)$
Ответ: $(x + y)(a + b + c)$.

3) Рассмотрим многочлен $mx + my + mz - nx - ny - nz$. Сгруппируем первые три слагаемых вместе и последние три слагаемых вместе:
$(mx + my + mz) + (-nx - ny - nz)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-n$:
$m(x + y + z) - n(x + y + z)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x + y + z)$:
$(m - n)(x + y + z)$
Ответ: $(m - n)(x + y + z)$.

4) В выражении $ta + tb + tc - ak - bk - ck$ сгруппируем слагаемые. Сгруппируем слагаемые с множителем $t$ и слагаемые с множителем $k$:
$(ta + tb + tc) + (-ak - bk - ck)$
Из первой группы вынесем за скобки $t$, из второй группы вынесем $-k$:
$t(a + b + c) - k(a + b + c)$
Теперь вынесем общий множитель $(a + b + c)$ за скобки:
$(t - k)(a + b + c)$
Ответ: $(t - k)(a + b + c)$.

5) Разложим на множители выражение $am - an - ak - bm + bn + bk$. Сгруппируем первые три слагаемых и последние три:
$(am - an - ak) + (-bm + bn + bk)$
В первой группе вынесем за скобки $a$. Во второй группе вынесем за скобки $-b$, чтобы получить такое же выражение в скобках, как и в первой группе:
$a(m - n - k) - b(m - n - k)$
Обратите внимание, что $-b(m-n-k) = -bm + bn + bk$.
Теперь вынесем общий множитель $(m - n - k)$ за скобки:
$(a - b)(m - n - k)$
Ответ: $(a - b)(m - n - k)$.

6) В выражении $ax - bx - cx - ay + by + cy$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и слагаемые, содержащие $y$:
$(ax - bx - cx) + (-ay + by + cy)$
В первой группе вынесем за скобки $x$. Во второй группе вынесем за скобки $-y$, чтобы получить в скобках то же выражение, что и в первой группе:
$x(a - b - c) - y(a - b - c)$
Проверим вторую скобку: $-y(a - b - c) = -ay + by + cy$. Все верно.
Теперь вынесем общий множитель $(a - b - c)$ за скобки:
$(x - y)(a - b - c)$
Ответ: $(x - y)(a - b - c)$.