Страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.2. 1) $9x + xy + 8y + 72$;

2) $bx - 4b + ax - 4a$;

3) $4a - ay - by + 4b$;

4) $7ax - ay + 7bx - by$;

5) $11ay - by - 77a + 7b$;

6) $13x - ax + 13y - ay$.

1) Для разложения многочлена $9x + xy + 8y + 72$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим: $(9x + 72) + (xy + 8y)$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $9(x + 8) + y(x + 8)$. Теперь вынесем общий биномиальный множитель $(x + 8)$ за скобки: $(x + 8)(9 + y)$.
Ответ: $(x + 8)(y + 9)$.

2) Разложим на множители многочлен $bx - 4b + ax - 4a$. Сгруппируем слагаемые: $(bx - 4b) + (ax - 4a)$. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b$, а во второй — $a$: $b(x - 4) + a(x - 4)$. Общий множитель $(x - 4)$ вынесем за скобки: $(x - 4)(b + a)$.
Ответ: $(x - 4)(a + b)$.

3) Разложим на множители многочлен $4a - ay - by + 4b$. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: $(4a - ay) + (-by + 4b)$. Вынесем общие множители $a$ и $b$ из каждой группы соответственно: $a(4 - y) + b(-y + 4)$. Так как $-y + 4 = 4 - y$, выражение принимает вид $a(4 - y) + b(4 - y)$. Вынесем общий множитель $(4 - y)$: $(4 - y)(a + b)$.
Ответ: $(a + b)(4 - y)$.

4) В выражении $7ax - ay + 7bx - by$ перегруппируем слагаемые для удобства: $7ax + 7bx - ay - by$. Сгруппируем их попарно: $(7ax + 7bx) + (-ay - by)$. Вынесем общие множители $7x$ и $-y$ из каждой группы: $7x(a + b) - y(a + b)$. Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$: $(a + b)(7x - y)$.
Ответ: $(a + b)(7x - y)$.

5) В многочлене $11ay - by - 77a + 7b$ переставим слагаемые: $11ay - 77a - by + 7b$. Сгруппируем их: $(11ay - 77a) + (-by + 7b)$. Вынесем общие множители за скобки: $11a(y - 7) - b(y - 7)$. Вынесем общий биномиальный множитель $(y - 7)$: $(y - 7)(11a - b)$.
Ответ: $(11a - b)(y - 7)$.

6) Разложим на множители $13x - ax + 13y - ay$. Сгруппируем слагаемые попарно: $(13x - ax) + (13y - ay)$. Вынесем общий множитель $x$ из первой группы и $y$ из второй: $x(13 - a) + y(13 - a)$. Вынесем общий множитель $(13 - a)$: $(13 - a)(x + y)$.
Ответ: $(x + y)(13 - a)$.

16.3. 1) $0.5xt + yt + 0.5xk + yk$; 2) $xk + 0.5yk + xt + 0.5yt$;

3) $0.7ax - bx + 0.7ay - by$; 4) $\frac{2}{3}by - ay + \frac{2}{3}bx - ax$;

5) $\frac{5}{6}a - ax + \frac{5}{6}b - bx$; 6) $\frac{7}{8}ax - a + \frac{7}{8}bx - b$.

1) $0,5xt + yt + 0,5xk + yk$
Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(0,5xt + yt) + (0,5xk + yk)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $t$, а во второй — общий множитель $k$:
$t(0,5x + y) + k(0,5x + y)$
Теперь вынесем за скобки общий для обоих слагаемых множитель $(0,5x + y)$:
$(0,5x + y)(t + k)$
Ответ: $(0,5x + y)(t + k)$

2) $xk + 0,5yk + xt + 0,5yt$
Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:
$(xk + xt) + (0,5yk + 0,5yt)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — общий множитель $0,5y$:
$x(k + t) + 0,5y(k + t)$
Теперь вынесем за скобки общий для обоих слагаемых множитель $(k + t)$:
$(x + 0,5y)(k + t)$
Ответ: $(x + 0,5y)(k + t)$

3) $0,7ax - bx + 0,7ay - by$
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(0,7ax - bx) + (0,7ay - by)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — общий множитель $y$:
$x(0,7a - b) + y(0,7a - b)$
Теперь вынесем за скобки общий для обоих слагаемых множитель $(0,7a - b)$:
$(0,7a - b)(x + y)$
Ответ: $(0,7a - b)(x + y)$

4) $\frac{2}{3}by - ay + \frac{2}{3}bx - ax$
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(\frac{2}{3}by - ay) + (\frac{2}{3}bx - ax)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $y$, а во второй — общий множитель $x$:
$y(\frac{2}{3}b - a) + x(\frac{2}{3}b - a)$
Теперь вынесем за скобки общий для обоих слагаемых множитель $(\frac{2}{3}b - a)$:
$(\frac{2}{3}b - a)(y + x)$
Ответ: $(\frac{2}{3}b - a)(x + y)$

5) $\frac{5}{6}a - ax + \frac{5}{6}b - bx$
Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:
$(\frac{5}{6}a + \frac{5}{6}b) + (-ax - bx)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $\frac{5}{6}$, а во второй — общий множитель $-x$:
$\frac{5}{6}(a + b) - x(a + b)$
Теперь вынесем за скобки общий для обоих слагаемых множитель $(a + b)$:
$(a + b)(\frac{5}{6} - x)$
Ответ: $(a + b)(\frac{5}{6} - x)$

6) $\frac{7}{8}ax - a + \frac{7}{8}bx - b$
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(\frac{7}{8}ax - a) + (\frac{7}{8}bx - b)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — общий множитель $b$:
$a(\frac{7}{8}x - 1) + b(\frac{7}{8}x - 1)$
Теперь вынесем за скобки общий для обоих слагаемых множитель $(\frac{7}{8}x - 1)$:
$(\frac{7}{8}x - 1)(a + b)$
Ответ: $(a + b)(\frac{7}{8}x - 1)$

16.4. 1) $2ax + 3bx + 10a + 15b$;

2) $3my - 2ny - 9m + 6n$;

3) $7ax + 8ay - 28x - 32y$;

4) $48m + 56n - 6am - 7an$;

5) $12,1y - 4,4z + 8yz - 22y^2$;

6) $0,09t - 0,07k + 27at - 21ak$.

1) Для разложения многочлена $2ax + 3bx + 10a + 15b$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$(2ax + 3bx) + (10a + 15b)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй группе — общий множитель $5$.

$x(2a + 3b) + 5(2a + 3b)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — двучлен $(2a + 3b)$. Вынесем его за скобки.

$(2a + 3b)(x + 5)$

Ответ: $(2a + 3b)(x + 5)$

2) Разложим на множители многочлен $3my - 2ny - 9m + 6n$ методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$(3my - 2ny) + (-9m + 6n)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $y$. Во второй группе вынесем за скобки $-3$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе.

$y(3m - 2n) - 3(3m - 2n)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(3m - 2n)$.

$(3m - 2n)(y - 3)$

Ответ: $(3m - 2n)(y - 3)$

3) Разложим на множители многочлен $7ax + 8ay - 28x - 32y$ методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$(7ax + 8ay) + (-28x - 32y)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$. Во второй группе вынесем за скобки $-4$.

$a(7x + 8y) - 4(7x + 8y)$

Вынесем за скобки общий множитель $(7x + 8y)$.

$(7x + 8y)(a - 4)$

Ответ: $(7x + 8y)(a - 4)$

4) Разложим на множители многочлен $48m + 56n - 6am - 7an$ методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два.

$(48m + 56n) + (-6am - 7an)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $8$. Во второй группе вынесем за скобки $-a$.

$8(6m + 7n) - a(6m + 7n)$

Вынесем за скобки общий множитель $(6m + 7n)$.

$(6m + 7n)(8 - a)$

Ответ: $(6m + 7n)(8 - a)$

5) Разложим на множители многочлен $12.1y - 4.4z + 8yz - 22y^2$. Для удобства переставим слагаемые и сгруппируем первое с четвертым, а второе с третьим.

$(12.1y - 22y^2) + (-4.4z + 8yz)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $11y$. Во второй группе вынесем $4z$.

$11y(1.1 - 2y) + 4z(-1.1 + 2y)$

Чтобы получить одинаковые выражения в скобках, вынесем $-1$ из второй скобки.

$11y(1.1 - 2y) - 4z(1.1 - 2y)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(1.1 - 2y)$.

$(1.1 - 2y)(11y - 4z)$

Ответ: $(1.1 - 2y)(11y - 4z)$

6) Разложим на множители многочлен $0.09t - 0.07k + 27at - 21ak$ методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два.

$(0.09t - 0.07k) + (27at - 21ak)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $0.01$. Во второй группе вынесем $3a$.

$0.01(9t - 7k) + 3a(9t - 7k)$

Вынесем за скобки общий множитель $(9t - 7k)$.

$(9t - 7k)(0.01 + 3a)$

Ответ: $(9t - 7k)(0.01 + 3a)$

16.5.

1) $a - 0.25b + 4ax - bx;$

2) $0.6b - 3.5x + 1.2by - 7xy;$

3) $\frac{1}{7}ax + \frac{1}{3}bx + 3a + 7b;$

4) $\frac{3}{8}by - \frac{2}{7}xy - 21b + 16x;$

5) $4x - 5b - \frac{x^2}{5} + \frac{xb}{4};$

6) $3by - 4nx + \frac{aby}{4} - \frac{anx}{3}.$

1) В выражении $a - 0,25b + 4ax - bx$ сгруппируем слагаемые методом группировки. Удобно сгруппировать первое со вторым и третье с четвертым, но чтобы получить возможность дальнейшего разложения на множители, сгруппируем слагаемые так: $(a - 0,25b) + (4ax - bx)$.
Вынесем общий множитель $x$ из второй скобки: $(a - 0,25b) + x(4a - b)$.
Заметим, что выражение во второй скобке $4a - b$ можно представить как $4(a - 0,25b)$, так как $4 \cdot 0,25b = b$.
Подставим это в наше выражение: $(a - 0,25b) + 4x(a - 0,25b)$.
Теперь мы видим общий множитель $(a - 0,25b)$, который можно вынести за скобки: $(a - 0,25b)(1 + 4x)$.
Ответ: $(a - 0,25b)(1 + 4x)$.

2) В выражении $0,6b - 3,5x + 1,2by - 7xy$ сгруппируем слагаемые: $(0,6b - 3,5x) + (1,2by - 7xy)$.
Вынесем общий множитель $y$ из второй скобки: $(0,6b - 3,5x) + y(1,2b - 7x)$.
Заметим, что коэффициенты во второй скобке в 2 раза больше коэффициентов в первой: $1,2b = 2 \cdot 0,6b$ и $7x = 2 \cdot 3,5x$. Таким образом, $1,2b - 7x = 2(0,6b - 3,5x)$.
Подставим это в выражение: $(0,6b - 3,5x) + 2y(0,6b - 3,5x)$.
Вынесем общий множитель $(0,6b - 3,5x)$: $(0,6b - 3,5x)(1 + 2y)$.
Ответ: $(0,6b - 3,5x)(1 + 2y)$.

3) В выражении $\frac{1}{7}ax + \frac{1}{3}bx + 3a + 7b$ переставим слагаемые и сгруппируем их: $(3a + 7b) + (\frac{1}{7}ax + \frac{1}{3}bx)$.
Вынесем общий множитель $x$ из второй скобки: $(3a + 7b) + x(\frac{1}{7}a + \frac{1}{3}b)$.
Преобразуем выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю 21: $\frac{1}{7}a + \frac{1}{3}b = \frac{3a}{21} + \frac{7b}{21} = \frac{3a+7b}{21}$.
Подставим полученное выражение обратно: $(3a + 7b) + x \frac{3a+7b}{21}$.
Вынесем общий множитель $(3a+7b)$ за скобки: $(3a + 7b)(1 + \frac{x}{21})$.
Ответ: $(3a + 7b)(1 + \frac{x}{21})$.

4) В выражении $\frac{3}{8}by - \frac{2}{7}xy - 21b + 16x$ сгруппируем слагаемые: $(\frac{3}{8}by - \frac{2}{7}xy) + (-21b + 16x)$.
Вынесем $y$ из первой скобки: $y(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x) + (-21b + 16x)$.
Заметим, что коэффициенты во второй скобке пропорциональны коэффициентам в первой. Найдем коэффициент пропорциональности: $\frac{-21}{3/8} = -21 \cdot \frac{8}{3} = -56$ и $\frac{16}{-2/7} = 16 \cdot (-\frac{7}{2}) = -56$.
Следовательно, $-21b + 16x = -56(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)$.
Подставим это в наше выражение: $y(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x) - 56(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)$.
Вынесем общий множитель $(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)$ за скобки: $(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)(y - 56)$.
Ответ: $(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)(y - 56)$.

5) В выражении $4x - 5b - \frac{x^2}{5} + \frac{xb}{4}$ сгруппируем слагаемые: $(4x - 5b) + (-\frac{x^2}{5} + \frac{xb}{4})$.
Чтобы разложить выражение на множители, необходимо вынести из второй скобки такой множитель, чтобы в скобках осталось выражение $(4x - 5b)$. Найдем этот множитель $k$, решив уравнение $k \cdot 4x = -\frac{x^2}{5}$. Отсюда $k = -\frac{x^2}{5 \cdot 4x} = -\frac{x}{20}$.
Проверим, подходит ли этот множитель для второго члена: $k \cdot (-5b) = (-\frac{x}{20})(-5b) = \frac{5xb}{20} = \frac{xb}{4}$. Это соответствует второму члену во второй скобке.
Таким образом, $(-\frac{x^2}{5} + \frac{xb}{4}) = -\frac{x}{20}(4x - 5b)$.
Подставим в исходное выражение: $(4x - 5b) - \frac{x}{20}(4x - 5b)$.
Вынесем общий множитель $(4x - 5b)$: $(4x - 5b)(1 - \frac{x}{20})$.
Ответ: $(4x - 5b)(1 - \frac{x}{20})$.

6) В выражении $3by - 4nx + \frac{aby}{4} - \frac{anx}{3}$ сгруппируем слагаемые по наличию переменной $a$: $(3by - 4nx) + (\frac{aby}{4} - \frac{anx}{3})$.
Вынесем $a$ из второй скобки: $(3by - 4nx) + a(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.
Заметим, что коэффициенты в первой скобке пропорциональны коэффициентам во второй. Коэффициент пропорциональности равен $\frac{3}{1/4} = 12$ и $\frac{-4}{-1/3} = 12$.
Следовательно, $(3by - 4nx) = 12(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.
Подставим это в наше выражение: $12(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3}) + a(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.
Вынесем общий множитель $(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$ за скобки и запишем множители в стандартном порядке: $(a + 12)(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.
Ответ: $(a + 12)(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.

16.6.

1) $20xy - 21ab + \frac{5}{6}xyc - \frac{7}{8}abc;$

2) $x - 6a + \frac{xy}{3} - 2ay;$

3) $\frac{abx}{9} + \frac{cax}{27} - 3b - c;$

4) $\frac{abm}{3} + \frac{abn}{4} - 4m - 3n;$

5) $\frac{kxy}{5} - \frac{txy}{3} + 3k - 5t;$

6) $4tx + 7kx + \frac{ty}{7} + \frac{ky}{4}.$

1) Для разложения на множители многочлена $20xy - 21ab + \frac{5}{6}xyc - \frac{7}{8}abc$ воспользуемся методом группировки.
Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители: $ (20xy + \frac{5}{6}xyc) + (-21ab - \frac{7}{8}abc) $.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель. Общий буквенный множитель — $xy$. Для коэффициентов $20$ и $\frac{5}{6}$ найдем общий множитель. Удобно вынести $\frac{5}{6}$.
$20xy + \frac{5}{6}xyc = \frac{5}{6}xy \cdot (\frac{20 \cdot 6}{5}) + \frac{5}{6}xy \cdot c = \frac{5}{6}xy(24 + c)$.
Во второй группе вынесем за скобки общий множитель. Общий буквенный множитель — $ab$. Для коэффициентов $-21$ и $-\frac{7}{8}$ удобно вынести $-\frac{7}{8}$.
$-21ab - \frac{7}{8}abc = -\frac{7}{8}ab \cdot (\frac{21 \cdot 8}{7}) - \frac{7}{8}ab \cdot c = -\frac{7}{8}ab(24 + c)$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $ \frac{5}{6}xy(24 + c) - \frac{7}{8}ab(24 + c) $.
Вынесем за скобки общий множитель $(24+c)$: $ (24+c)(\frac{5}{6}xy - \frac{7}{8}ab) $.
Ответ: $(24+c)(\frac{5}{6}xy - \frac{7}{8}ab)$.

2) Для разложения на множители многочлена $x - 6a + \frac{xy}{3} - 2ay$ сгруппируем слагаемые.
Сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым: $(x + \frac{xy}{3}) + (-6a - 2ay)$.
В первой группе вынесем за скобки $x$: $x(1 + \frac{y}{3})$.
Во второй группе вынесем за скобки $-2a$: $-2a(3 + y)$.
Выражение примет вид: $x(1 + \frac{y}{3}) - 2a(3 + y)$.
Преобразуем выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю: $1 + \frac{y}{3} = \frac{3}{3} + \frac{y}{3} = \frac{3+y}{3}$.
Теперь выражение выглядит так: $x \cdot \frac{3+y}{3} - 2a(3+y) = \frac{x}{3}(3+y) - 2a(3+y)$.
Вынесем общий множитель $(3+y)$ за скобки: $(3+y)(\frac{x}{3} - 2a)$.
Ответ: $(3+y)(\frac{x}{3} - 2a)$.

3) Разложим на множители многочлен $\frac{abx}{9} + \frac{cax}{27} - 3b - c$.
Сгруппируем слагаемые: $(\frac{abx}{9} + \frac{cax}{27}) + (-3b - c)$.
В первой группе вынесем общий множитель за скобки. Общий буквенный множитель — $ax$. Для коэффициентов $\frac{b}{9}$ и $\frac{c}{27}$ вынесем $\frac{1}{27}$.
$\frac{abx}{9} + \frac{cax}{27} = \frac{3abx}{27} + \frac{acx}{27} = \frac{ax}{27}(3b+c)$.
Во второй группе вынесем за скобки $-1$: $-(3b+c)$.
Исходное выражение примет вид: $\frac{ax}{27}(3b+c) - 1 \cdot (3b+c)$.
Вынесем общий множитель $(3b+c)$ за скобки: $(3b+c)(\frac{ax}{27} - 1)$.
Ответ: $(3b+c)(\frac{ax}{27} - 1)$.

4) Разложим на множители многочлен $\frac{abm}{3} + \frac{abn}{4} - 4m - 3n$.
Сгруппируем слагаемые: $(\frac{abm}{3} + \frac{abn}{4}) + (-4m - 3n)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $ab$: $ab(\frac{m}{3} + \frac{n}{4})$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю 12: $ab(\frac{4m}{12} + \frac{3n}{12}) = ab(\frac{4m+3n}{12}) = \frac{ab}{12}(4m+3n)$.
Во второй группе вынесем за скобки $-1$: $-(4m+3n)$.
Выражение примет вид: $\frac{ab}{12}(4m+3n) - (4m+3n)$.
Вынесем общий множитель $(4m+3n)$ за скобки: $(4m+3n)(\frac{ab}{12} - 1)$.
Ответ: $(4m+3n)(\frac{ab}{12} - 1)$.

5) Разложим на множители многочлен $\frac{kxy}{5} - \frac{txy}{3} + 3k - 5t$.
Сгруппируем слагаемые: $(\frac{kxy}{5} - \frac{txy}{3}) + (3k - 5t)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $xy$: $xy(\frac{k}{5} - \frac{t}{3})$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю 15: $xy(\frac{3k}{15} - \frac{5t}{15}) = xy(\frac{3k-5t}{15}) = \frac{xy}{15}(3k-5t)$.
Выражение примет вид: $\frac{xy}{15}(3k-5t) + (3k-5t)$.
Вынесем общий множитель $(3k-5t)$ за скобки: $(3k-5t)(\frac{xy}{15} + 1)$.
Ответ: $(3k-5t)(\frac{xy}{15} + 1)$.

6) Разложим на множители многочлен $4tx + 7kx + \frac{ty}{7} + \frac{ky}{4}$.
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$: $(4tx + 7kx) + (\frac{ty}{7} + \frac{ky}{4})$.
В первой группе вынесем за скобки $x$: $x(4t+7k)$.
Во второй группе вынесем за скобки $y$: $y(\frac{t}{7} + \frac{k}{4})$.
Приведем выражение во вторых скобках к общему знаменателю 28: $y(\frac{4t}{28} + \frac{7k}{28}) = y(\frac{4t+7k}{28}) = \frac{y}{28}(4t+7k)$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $x(4t+7k) + \frac{y}{28}(4t+7k)$.
Вынесем общий множитель $(4t+7k)$ за скобки: $(4t+7k)(x + \frac{y}{28})$.
Ответ: $(4t+7k)(x + \frac{y}{28})$.

16.7. 1) $am + an + ak + bm + bn + bk;$

2) $ax + bx + cx + ay + by + cy;$

3) $mx + my + mz - nx - ny - nz;$

4) $ta + tb + tc - ak - bk - ck;$

5) $am - an - ak - bm + bn + bk;$

6) $ax - bx - cx - ay + by + cy.$

1) Для разложения многочлена $am + an + ak + bm + bn + bk$ на множители сгруппируем слагаемые. Один из способов — сгруппировать слагаемые с общим множителем $a$ и слагаемые с общим множителем $b$.
$(am + an + ak) + (bm + bn + bk)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — общий множитель $b$:
$a(m + n + k) + b(m + n + k)$
Теперь мы видим общий множитель $(m + n + k)$, который тоже можно вынести за скобки:
$(a + b)(m + n + k)$
Ответ: $(a + b)(m + n + k)$.

2) В выражении $ax + bx + cx + ay + by + cy$ сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$:
$(ax + bx + cx) + (ay + by + cy)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — общий множитель $y$:
$x(a + b + c) + y(a + b + c)$
Общим множителем для двух полученных слагаемых является выражение $(a + b + c)$. Вынесем его за скобки:
$(x + y)(a + b + c)$
Ответ: $(x + y)(a + b + c)$.

3) Рассмотрим многочлен $mx + my + mz - nx - ny - nz$. Сгруппируем первые три слагаемых вместе и последние три слагаемых вместе:
$(mx + my + mz) + (-nx - ny - nz)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-n$:
$m(x + y + z) - n(x + y + z)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x + y + z)$:
$(m - n)(x + y + z)$
Ответ: $(m - n)(x + y + z)$.

4) В выражении $ta + tb + tc - ak - bk - ck$ сгруппируем слагаемые. Сгруппируем слагаемые с множителем $t$ и слагаемые с множителем $k$:
$(ta + tb + tc) + (-ak - bk - ck)$
Из первой группы вынесем за скобки $t$, из второй группы вынесем $-k$:
$t(a + b + c) - k(a + b + c)$
Теперь вынесем общий множитель $(a + b + c)$ за скобки:
$(t - k)(a + b + c)$
Ответ: $(t - k)(a + b + c)$.

5) Разложим на множители выражение $am - an - ak - bm + bn + bk$. Сгруппируем первые три слагаемых и последние три:
$(am - an - ak) + (-bm + bn + bk)$
В первой группе вынесем за скобки $a$. Во второй группе вынесем за скобки $-b$, чтобы получить такое же выражение в скобках, как и в первой группе:
$a(m - n - k) - b(m - n - k)$
Обратите внимание, что $-b(m-n-k) = -bm + bn + bk$.
Теперь вынесем общий множитель $(m - n - k)$ за скобки:
$(a - b)(m - n - k)$
Ответ: $(a - b)(m - n - k)$.

6) В выражении $ax - bx - cx - ay + by + cy$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и слагаемые, содержащие $y$:
$(ax - bx - cx) + (-ay + by + cy)$
В первой группе вынесем за скобки $x$. Во второй группе вынесем за скобки $-y$, чтобы получить в скобках то же выражение, что и в первой группе:
$x(a - b - c) - y(a - b - c)$
Проверим вторую скобку: $-y(a - b - c) = -ay + by + cy$. Все верно.
Теперь вынесем общий множитель $(a - b - c)$ за скобки:
$(x - y)(a - b - c)$
Ответ: $(x - y)(a - b - c)$.

16.8. 1) $a^2 + 2a - 15;$

2) $b^2 + 3b - 28;$

3) $x^2 + 15x + 54;$

4) $y^2 - 5y + 6;$

5) $m^2 + 15m + 56;$

6) $n^2 - n - 110;$

7) $k^2 - 17k + 72;$

8) $t^2 - 2t - 63.$

1)Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 + 2a - 15$, необходимо найти два числа, произведение которых равно свободному члену ($-15$), а их сумма равна коэффициенту при $a$ ($2$). Этим условиям удовлетворяют числа $5$ и $-3$, поскольку $5 \cdot (-3) = -15$ и $5 + (-3) = 2$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(a+5)(a-3)$.
Ответ: $(a+5)(a-3)$

2)Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $b^2 + 3b - 28$, необходимо найти два числа, произведение которых равно $-28$, а сумма — $3$. Этим условиям удовлетворяют числа $7$ и $-4$, поскольку $7 \cdot (-4) = -28$ и $7 + (-4) = 3$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(b+7)(b-4)$.
Ответ: $(b+7)(b-4)$

3)Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 15x + 54$, необходимо найти два числа, произведение которых равно $54$, а сумма — $15$. Этим условиям удовлетворяют числа $6$ и $9$, поскольку $6 \cdot 9 = 54$ и $6 + 9 = 15$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(x+6)(x+9)$.
Ответ: $(x+6)(x+9)$

4)Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $y^2 - 5y + 6$, необходимо найти два числа, произведение которых равно $6$, а сумма — $-5$. Этим условиям удовлетворяют числа $-2$ и $-3$, поскольку $(-2) \cdot (-3) = 6$ и $(-2) + (-3) = -5$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(y-2)(y-3)$.
Ответ: $(y-2)(y-3)$

5)Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $m^2 + 15m + 56$, необходимо найти два числа, произведение которых равно $56$, а сумма — $15$. Этим условиям удовлетворяют числа $7$ и $8$, поскольку $7 \cdot 8 = 56$ и $7 + 8 = 15$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(m+7)(m+8)$.
Ответ: $(m+7)(m+8)$

6)Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $n^2 - n - 110$, необходимо найти два числа, произведение которых равно $-110$, а сумма — $-1$. Этим условиям удовлетворяют числа $10$ и $-11$, поскольку $10 \cdot (-11) = -110$ и $10 + (-11) = -1$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(n+10)(n-11)$.
Ответ: $(n+10)(n-11)$

7)Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $k^2 - 17k + 72$, необходимо найти два числа, произведение которых равно $72$, а сумма — $-17$. Этим условиям удовлетворяют числа $-8$ и $-9$, поскольку $(-8) \cdot (-9) = 72$ и $(-8) + (-9) = -17$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(k-8)(k-9)$.
Ответ: $(k-8)(k-9)$

8)Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $t^2 - 2t - 63$, необходимо найти два числа, произведение которых равно $-63$, а сумма — $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $7$ и $-9$, поскольку $7 \cdot (-9) = -63$ и $7 + (-9) = -2$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(t+7)(t-9)$.
Ответ: $(t+7)(t-9)$