Страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.12. Разложите на множители:

1) $\left(\frac{121}{144}mnx + \frac{22}{24}mx\right) - n\left(\frac{11}{12}n + 2\right) + \left(4 + 1\frac{5}{6}n\right) \cdot \frac{1}{2};$

2) $(169abc - 196cbax) + (13^2y - 14^2yx) - (14^2x - 13^2);$

3) $(225x^2yz^3 - 289yz) - (15^2x^2z^2 - 17^2) + (17^2 - 225x^2z^2);$

4) $(450tk^3 - 225k^2) + t(8t^2k - 4t) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} - tk\right).$

1)

Для начала упростим коэффициенты в исходном выражении и раскроем скобки.Исходное выражение:$(\frac{121}{144}mnx + \frac{22}{24}mx) - n(\frac{11}{12}n + 2) + (4 + 1\frac{5}{6}n) \cdot \frac{1}{2}$

Упростим дроби: $\frac{22}{24} = \frac{11}{12}$ и $1\frac{5}{6} = \frac{11}{6}$.Выражение принимает вид:$(\frac{121}{144}mnx + \frac{11}{12}mx) - n(\frac{11}{12}n + 2) + (4 + \frac{11}{6}n) \cdot \frac{1}{2}$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:1. Первая скобка: $\frac{11}{12}mx(\frac{11}{12}n + 1)$.2. Второе слагаемое: $-n(\frac{11}{12}n + 2) = -\frac{11}{12}n^2 - 2n$.3. Третье слагаемое: $(4 + \frac{11}{6}n) \cdot \frac{1}{2} = 2 + \frac{11}{12}n$.

Соберем все вместе:$\frac{11}{12}mx(\frac{11}{12}n + 1) - \frac{11}{12}n^2 - 2n + 2 + \frac{11}{12}n$

Сгруппируем слагаемые, не содержащие $x$:$-\frac{11}{12}n^2 - 2n + \frac{11}{12}n + 2 = -\frac{11}{12}n^2 - (\frac{24}{12} - \frac{11}{12})n + 2 = -\frac{11}{12}n^2 - \frac{13}{12}n + 2$

Вынесем $-\frac{1}{12}$ за скобки:$-\frac{1}{12}(11n^2 + 13n - 24)$

Разложим на множители квадратный трехчлен $11n^2 + 13n - 24$. Найдем его корни:$D = 13^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-24) = 169 + 1056 = 1225 = 35^2$$n_1 = \frac{-13 - 35}{2 \cdot 11} = \frac{-48}{22} = -\frac{24}{11}$$n_2 = \frac{-13 + 35}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$Следовательно, $11n^2 + 13n - 24 = 11(n - (-\frac{24}{11}))(n-1) = (11n+24)(n-1)$.

Таким образом, все выражение можно записать в виде:$\frac{11}{12}mx(\frac{11}{12}n + 1) - \frac{1}{12}(11n+24)(n-1)$

Ответ: $\frac{11}{12}mx(\frac{11}{12}n + 1) - \frac{1}{12}(n-1)(11n+24)$

2)

Рассмотрим выражение:$(169abc - 196cbax) + (13^2y - 14^2yx) - (14^2x - 13^2)$

Заметим, что $169 = 13^2$ и $196 = 14^2$. Также учтем, что $cba = abc$ и $yx = xy$.Перепишем выражение:$(13^2abc - 14^2abcx) + (13^2y - 14^2xy) - (14^2x - 13^2)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:1. В первой скобке выносим $abc$: $abc(13^2 - 14^2x)$2. Во второй скобке выносим $y$: $y(13^2 - 14^2x)$3. В третьей скобке вынесем $-1$: $-(14^2x - 13^2) = (13^2 - 14^2x)$

Теперь выражение имеет вид:$abc(13^2 - 14^2x) + y(13^2 - 14^2x) + 1 \cdot (13^2 - 14^2x)$

Вынесем общий множитель $(13^2 - 14^2x)$ за скобки:$(13^2 - 14^2x)(abc + y + 1)$

Подставим числовые значения квадратов:$(169 - 196x)(abc + y + 1)$

Ответ: $(169 - 196x)(abc + y + 1)$

3)

Рассмотрим выражение:$(225x^2yz^3 - 289yz) - (15^2x^2z^2 - 17^2) + (17^2 - 225x^2z^2)$

Заметим, что $225 = 15^2$ и $289 = 17^2$.Перепишем выражение:$(15^2x^2yz^3 - 17^2yz) - (15^2x^2z^2 - 17^2) + (17^2 - 15^2x^2z^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:1. В первой скобке выносим $yz$: $yz(15^2x^2z^2 - 17^2)$2. Вторую скобку оставим как есть: $-(15^2x^2z^2 - 17^2)$3. В третьей скобке вынесем $-1$: $+(17^2 - 15^2x^2z^2) = -(15^2x^2z^2 - 17^2)$

Теперь выражение имеет вид:$yz(15^2x^2z^2 - 17^2) - 1 \cdot (15^2x^2z^2 - 17^2) - 1 \cdot (15^2x^2z^2 - 17^2)$

Вынесем общий множитель $(15^2x^2z^2 - 17^2)$ за скобки:$(15^2x^2z^2 - 17^2)(yz - 1 - 1) = (15^2x^2z^2 - 17^2)(yz - 2)$

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к первому множителю:$15^2x^2z^2 - 17^2 = (15xz)^2 - 17^2 = (15xz - 17)(15xz + 17)$

Окончательный результат:$(15xz - 17)(15xz + 17)(yz - 2)$

Ответ: $(15xz - 17)(15xz + 17)(yz - 2)$

4)

Рассмотрим выражение:$(450tk^3 - 225k^2) + t(8t^2k - 4t) - 2 \cdot (\frac{1}{2} - tk)$

Разложим на множители каждую группу слагаемых:1. Первая скобка: $450tk^3 - 225k^2 = 225k^2(2tk - 1)$2. Второе слагаемое: $t(8t^2k - 4t) = 8t^3k - 4t^2 = 4t^2(2tk - 1)$3. Третье слагаемое: $-2(\frac{1}{2} - tk) = -1 + 2tk = 2tk - 1$

Подставим полученные выражения обратно:$225k^2(2tk - 1) + 4t^2(2tk - 1) + 1 \cdot (2tk - 1)$

Теперь можно вынести общий множитель $(2tk - 1)$ за скобки:$(2tk - 1)(225k^2 + 4t^2 + 1)$

Выражение во второй скобке, $225k^2 + 4t^2 + 1 = (15k)^2 + (2t)^2 + 1^2$, является суммой квадратов и не может быть разложено на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(2tk - 1)(225k^2 + 4t^2 + 1)$

Решите уравнения (15.13–15.14):

15.13.1) $(7x - 5)x = (1,5 - 2,1x);$

2) $(1 - 8x)x = (11,2x - 1,4);$

3) $(1,7x - \frac{1}{3})x = (3 - 15,3x) \cdot \frac{1}{2};$

4) $(\frac{x}{7} - 1\frac{6}{7})x = (3,9 - 0,3x) \cdot \frac{1}{35}.$

1) Исходное уравнение: $(7x - 5)x = (1,5 - 2,1x)$.
Заметим, что правую часть уравнения можно преобразовать, вынеся общий множитель. $1,5 = -0,3 \cdot (-5)$ и $-2,1x = -0,3 \cdot 7x$.
Следовательно, $1,5 - 2,1x = -0,3(7x - 5)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(7x - 5)x = -0,3(7x - 5)$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$(7x - 5)x + 0,3(7x - 5) = 0$
Вынесем общий множитель $(7x - 5)$ за скобки:
$(7x - 5)(x + 0,3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
$7x - 5 = 0$ или $x + 0,3 = 0$
Решаем первое уравнение: $7x = 5 \implies x = \frac{5}{7}$.
Решаем второе уравнение: $x = -0,3$.
Ответ: $x_1 = -0,3; x_2 = \frac{5}{7}$.

2) Исходное уравнение: $(1 - 8x)x = (11,2x - 1,4)$.
Преобразуем правую часть уравнения, вынеся общий множитель. Заметим, что $11,2x = -1,4 \cdot (-8x)$ и $-1,4 = -1,4 \cdot 1$.
Следовательно, $11,2x - 1,4 = -1,4(-8x + 1) = -1,4(1 - 8x)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(1 - 8x)x = -1,4(1 - 8x)$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$(1 - 8x)x + 1,4(1 - 8x) = 0$
Вынесем общий множитель $(1 - 8x)$ за скобки:
$(1 - 8x)(x + 1,4) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$1 - 8x = 0$ или $x + 1,4 = 0$
Решаем первое уравнение: $8x = 1 \implies x = \frac{1}{8}$.
Решаем второе уравнение: $x = -1,4$.
Ответ: $x_1 = -1,4; x_2 = \frac{1}{8}$.

3) Исходное уравнение: $(1,7x - \frac{1}{3})x = (3 - 15,3x) \cdot \frac{1}{2}$.
Преобразуем выражение в скобках в правой части: $3 - 15,3x = 9 \cdot \frac{1}{3} - 9 \cdot 1,7x = -9(1,7x - \frac{1}{3})$.
Подставим это в уравнение:
$(1,7x - \frac{1}{3})x = -9(1,7x - \frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{2}$
$(1,7x - \frac{1}{3})x = -\frac{9}{2}(1,7x - \frac{1}{3})$
Перенесем все в левую часть:
$(1,7x - \frac{1}{3})x + \frac{9}{2}(1,7x - \frac{1}{3}) = 0$
Вынесем общий множитель $(1,7x - \frac{1}{3})$ за скобки:
$(1,7x - \frac{1}{3})(x + \frac{9}{2}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$1,7x - \frac{1}{3} = 0$ или $x + \frac{9}{2} = 0$
Решаем первое уравнение: $1,7x = \frac{1}{3} \implies \frac{17}{10}x = \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{3} \cdot \frac{10}{17} = \frac{10}{51}$.
Решаем второе уравнение: $x = -\frac{9}{2} = -4,5$.
Ответ: $x_1 = -4,5; x_2 = \frac{10}{51}$.

4) Исходное уравнение: $(\frac{x}{7} - 1\frac{6}{7})x = (3,9 - 0,3x) \cdot \frac{1}{35}$.
Сначала упростим выражения в скобках. Левая часть: $\frac{x}{7} - 1\frac{6}{7} = \frac{x}{7} - \frac{13}{7} = \frac{1}{7}(x-13)$.
Правая часть: $3,9 - 0,3x = 0,3(13 - x) = -0,3(x - 13)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$\frac{1}{7}(x-13)x = -0,3(x - 13) \cdot \frac{1}{35}$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{1}{7}(x-13)x + \frac{0,3}{35}(x-13) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-13)$ за скобки:
$(x-13)(\frac{x}{7} + \frac{0,3}{35}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 13 = 0$ или $\frac{x}{7} + \frac{0,3}{35} = 0$
Решаем первое уравнение: $x = 13$.
Решаем второе уравнение: $\frac{x}{7} = -\frac{0,3}{35} \implies x = -7 \cdot \frac{0,3}{35} = -\frac{2,1}{35}$.
Упростим дробь: $x = -\frac{21}{350} = -\frac{3 \cdot 7}{50 \cdot 7} = -\frac{3}{50} = -0,06$.
Ответ: $x_1 = 13; x_2 = -0,06$.

15.14. 1) $(14x^2 - 49x)x - (2x - 7) \cdot 8x = 0;$

2) $(125x - 25x^2) \cdot 9x - (15x - 3x^2) \cdot x = 0;$

3) $(0,81y^2 - 0,9y) \cdot 0,9y = (0,1 - 0,09y) \cdot 10y;$

4) $(\frac{3}{4}y^2 - \frac{9}{16}y) \cdot 8y = \frac{1}{7}y^2 - \frac{3}{28}y.$

1) $(14x^2 - 49x)x - (2x - 7) \cdot 8x = 0$

Разложим на множители выражение в первой скобке, вынеся за скобки общий множитель $7x$:
$14x^2 - 49x = 7x(2x - 7)$

Подставим это обратно в уравнение:

$7x(2x - 7)x - (2x - 7) \cdot 8x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x(2x - 7)$:

$x(2x - 7)(7x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $x = 0$

2. $2x - 7 = 0 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$

3. $7x - 8 = 0 \Rightarrow 7x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{7}$

Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = 3.5$; $x_3 = \frac{8}{7}$.

2) $(125x - 25x^2) \cdot 9x - (15x - 3x^2) \cdot x = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждом из выражений в скобках:

$125x - 25x^2 = 25x(5 - x)$

$15x - 3x^2 = 3x(5 - x)$

Подставим разложения в исходное уравнение:

$(25x(5 - x)) \cdot 9x - (3x(5 - x)) \cdot x = 0$

$225x^2(5 - x) - 3x^2(5 - x) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^2(5 - x)$:

$x^2(5 - x)(225 - 3) = 0$

$222x^2(5 - x) = 0$

Приравниваем множители к нулю:

1. $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2. $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$

Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = 5$.

3) $(0.81y^2 - 0.9y) \cdot 0.9y = (0.1 - 0.09y) \cdot 10y$

Разложим на множители выражения в скобках с обеих сторон уравнения.

Левая часть: $(0.81y^2 - 0.9y) \cdot 0.9y = 0.9y(0.9y - 1) \cdot 0.9y = 0.81y^2(0.9y - 1)$

Правая часть: $(0.1 - 0.09y) \cdot 10y = 0.1(1 - 0.9y) \cdot 10y = -0.1(0.9y - 1) \cdot 10y = -y(0.9y - 1)$

Уравнение принимает вид:

$0.81y^2(0.9y - 1) = -y(0.9y - 1)$

Перенесем все члены в левую часть:

$0.81y^2(0.9y - 1) + y(0.9y - 1) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $y(0.9y - 1)$:

$y(0.9y - 1)(0.81y + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $y = 0$

2. $0.9y - 1 = 0 \Rightarrow 0.9y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9}$

3. $0.81y + 1 = 0 \Rightarrow 0.81y = -1 \Rightarrow y = -\frac{1}{0.81} = -\frac{100}{81}$

Ответ: $y_1 = 0$; $y_2 = \frac{10}{9}$; $y_3 = -\frac{100}{81}$.

4) $(\frac{3}{4}y^2 - \frac{9}{16}y) \cdot 8y = \frac{1}{7}y^2 - \frac{3}{28}y$

Разложим на множители выражения с обеих сторон уравнения.

Левая часть: $(\frac{3}{4}y^2 - \frac{9}{16}y) \cdot 8y = \frac{3}{4}y(y - \frac{3}{4}) \cdot 8y = 6y^2(y - \frac{3}{4})$

Правая часть: $\frac{1}{7}y^2 - \frac{3}{28}y = \frac{1}{7}y(y - \frac{3}{4})$

Уравнение принимает вид:

$6y^2(y - \frac{3}{4}) = \frac{1}{7}y(y - \frac{3}{4})$

Перенесем все члены в левую часть:

$6y^2(y - \frac{3}{4}) - \frac{1}{7}y(y - \frac{3}{4}) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $y(y - \frac{3}{4})$:

$y(y - \frac{3}{4})(6y - \frac{1}{7}) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $y = 0$

2. $y - \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{4}$

3. $6y - \frac{1}{7} = 0 \Rightarrow 6y = \frac{1}{7} \Rightarrow y = \frac{1}{42}$

Ответ: $y_1 = 0$; $y_2 = \frac{3}{4}$; $y_3 = \frac{1}{42}$.

15.15. Упростите:

1) $(5 + a) \cdot (5 - a);$

2) $(a + 4)(a - 4);$

3) $(c + 7)(c - 7);$

4) $(d + 8)(8 - d);$

5) $(m + n)(m - 4);$

6) $(k + t)(k - t).$

1) Для упрощения выражения $(5+a)(5-a)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения, известной как разность квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x=5$ и $y=a$.
Подставим наши значения в формулу:
$(5+a)(5-a) = 5^2 - a^2 = 25 - a^2$.
Ответ: $25 - a^2$.

2) Выражение $(a+4)(a-4)$ также является разностью квадратов.
Используем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где на этот раз $x=a$ и $y=4$.
$(a+4)(a-4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$.
Ответ: $a^2 - 16$.

3) Для выражения $(c+7)(c-7)$ применяем ту же формулу разности квадратов.
Здесь $x=c$ и $y=7$.
$(c+7)(c-7) = c^2 - 7^2 = c^2 - 49$.
Ответ: $c^2 - 49$.

4) В выражении $(d+8)(8-d)$ слагаемые во второй скобке имеют обратный порядок. Чтобы применить формулу разности квадратов, заметим, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то есть $(d+8) = (8+d)$.
Таким образом, выражение можно переписать в виде $(8+d)(8-d)$.
Теперь используем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=8$ и $y=d$.
$(8+d)(8-d) = 8^2 - d^2 = 64 - d^2$.
Ответ: $64 - d^2$.

5) Выражение $(m+n)(m-4)$ нельзя упростить с помощью формулы разности квадратов, так как вторые члены в скобках различны ($n$ и $-4$).
В этом случае для упрощения нужно раскрыть скобки, перемножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(m+n)(m-4) = m \cdot m + m \cdot (-4) + n \cdot m + n \cdot (-4) = m^2 - 4m + mn - 4n$.
В полученном выражении нет подобных слагаемых для дальнейшего упрощения.
Ответ: $m^2 - 4m + mn - 4n$.

6) Выражение $(k+t)(k-t)$ является классическим примером разности квадратов.
Применяем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=k$ и $y=t$.
$(k+t)(k-t) = k^2 - t^2$.
Ответ: $k^2 - t^2$.

15.16. Вынесите общий множитель в выражении:

1) $4x^2y - 6y$;

2) $6x^2y - xy + 5y^3$;

3) $6a^2n - 2ayn + 5an^2y^3$.

1) Чтобы вынести общий множитель в выражении $4x^2y - 6y$, найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов и общие переменные в наименьшей степени для каждого члена выражения.

Члены выражения: $4x^2y$ и $-6y$.

Сначала найдем НОД для числовых коэффициентов 4 и 6. НОД(4, 6) = 2.

Теперь найдем общие переменные. Переменная $y$ присутствует в обоих членах в первой степени ($y^1$). Переменная $x$ есть только в первом члене, поэтому она не является общей.

Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $2y$.

Разделим каждый член исходного выражения на общий множитель $2y$:

$\frac{4x^2y}{2y} = 2x^2$

$\frac{-6y}{2y} = -3$

Запишем результат в виде произведения общего множителя на скобку с результатами деления:

$4x^2y - 6y = 2y(2x^2 - 3)$.

Ответ: $2y(2x^2 - 3)$.

2) Рассмотрим выражение $6x^2y - xy + 5y^3$.

Члены выражения: $6x^2y$, $-xy$ и $5y^3$.

Найдем НОД для числовых коэффициентов 6, 1 и 5. НОД(6, 1, 5) = 1.

Теперь найдем общие переменные. Переменная $y$ присутствует во всех трех членах. Наименьшая степень, в которой она встречается, это первая ($y^1$). Переменная $x$ есть не во всех членах, поэтому не является общей.

Общий множитель для всего выражения — это $y$.

Вынесем $y$ за скобки, разделив каждый член на $y$:

$\frac{6x^2y}{y} = 6x^2$

$\frac{-xy}{y} = -x$

$\frac{5y^3}{y} = 5y^{3-1} = 5y^2$

Запишем итоговое выражение:

$6x^2y - xy + 5y^3 = y(6x^2 - x + 5y^2)$.

Ответ: $y(6x^2 - x + 5y^2)$.

3) Рассмотрим выражение $6a^2n - 2ayn + 5an^2y^3$.

Члены выражения: $6a^2n$, $-2ayn$ и $5an^2y^3$.

Найдем НОД для числовых коэффициентов 6, -2 и 5. НОД(6, 2, 5) = 1.

Теперь найдем общие переменные:
- Переменная $a$ присутствует во всех членах. Наименьшая степень $a$ — первая ($a^1$).
- Переменная $n$ присутствует во всех членах. Наименьшая степень $n$ — первая ($n^1$).
- Переменная $y$ есть не во всех членах.

Следовательно, общий множитель равен произведению общих множителей: $1 \cdot a \cdot n = an$.

Вынесем $an$ за скобки, разделив каждый член на $an$:

$\frac{6a^2n}{an} = 6a^{2-1}n^{1-1} = 6a$

$\frac{-2ayn}{an} = -2y$

$\frac{5an^2y^3}{an} = 5n^{2-1}y^3 = 5ny^3$

Запишем итоговое выражение:

$6a^2n - 2ayn + 5an^2y^3 = an(6a - 2y + 5ny^3)$.

Ответ: $an(6a - 2y + 5ny^3)$.