Страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните деление (14.1–14.2):

14.1. 1) $46a^2b : (2a);$ 2) $50xy^2 : (-5y);$

3) $14x^2y^3 : (-7xy);$ 4) $72cd^3 : (9cd^2);$

5) $\frac{5}{6}a^2c^2 : \left(\frac{3}{5}ac\right);$ 6) $0,24k^4t : \left(\frac{4}{9}k^3t\right).$

1) Для выполнения деления $46a^2b$ на $(2a)$ необходимо разделить коэффициент и переменные части делимого на коэффициент и переменные части делителя соответственно.

Делим коэффициенты: $46 : 2 = 23$.

Делим переменные. При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $a^2 : a = a^{2-1} = a$. Переменная $b$ остается, так как в делителе она отсутствует.

Объединяем результаты: $23 \cdot a \cdot b = 23ab$.

Ответ: $23ab$.

2) Найдем частное от деления $50xy^2$ на $(-5y)$.

Делим числовые коэффициенты: $50 : (-5) = -10$.

Делим переменные: $y^2 : y = y^{2-1} = y$. Переменная $x$ остается без изменений, так как в делителе она отсутствует.

Собираем полученные части вместе: $-10xy$.

Ответ: $-10xy$.

3) Выполним деление $14x^2y^3$ на $(-7xy)$.

Запишем деление в виде дроби: $\frac{14x^2y^3}{-7xy}$.

Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя: $\frac{14}{-7} = -2$.

Разделим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$

$\frac{y^3}{y} = y^{3-1} = y^2$

Результат деления: $-2xy^2$.

Ответ: $-2xy^2$.

4) Выполним деление $72cd^3$ на $(9cd^2)$.

Разделим коэффициенты: $72 : 9 = 8$.

Разделим переменные:

$c : c = c^{1-1} = c^0 = 1$.

$d^3 : d^2 = d^{3-2} = d$.

Перемножим результаты: $8 \cdot 1 \cdot d = 8d$.

Ответ: $8d$.

5) Найдем частное от деления $\frac{5}{6}a^2c^2$ на $(\frac{3}{5}ac)$.

Разделим коэффициенты. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{5}{6} : \frac{3}{5} = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 3} = \frac{25}{18}$.

Разделим переменные:

$a^2 : a = a^{2-1} = a$.

$c^2 : c = c^{2-1} = c$.

Объединим результаты: $\frac{25}{18}ac$.

Ответ: $\frac{25}{18}ac$.

6) Выполним деление $0,24k^4t$ на $(\frac{4}{9}k^3t)$.

Преобразуем десятичную дробь $0,24$ в обыкновенную для удобства вычислений: $0,24 = \frac{24}{100}$.

Выполним деление коэффициентов. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$0,24 : \frac{4}{9} = \frac{24}{100} \cdot \frac{9}{4} = \frac{6 \cdot 9}{100} = \frac{54}{100} = 0,54$.

Выполним деление переменных:

$k^4t : k^3t = k^{4-3}t^{1-1} = k^1t^0 = k \cdot 1 = k$.

Соединяем результаты: $0,54k$.

Ответ: $0,54k$.

14.2. 1) $(-20a+12ab+18ac):(-2a);$

2) $(4.8b-0.6bc-1.5bd):(0.3b);$

3) $(\frac{14}{15}x^2-\frac{32}{25}xy+\frac{54}{5}xz):(\frac{2}{5}x);$

4) $(-\frac{100}{63}nm+\frac{50}{77}nk-\frac{20}{21}nt):(-\frac{20}{7}n).$

1) Чтобы разделить многочлен $(-20a+12ab+18ac)$ на одночлен $(-2a)$, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.
$(-20a+12ab+18ac):(-2a) = \frac{-20a}{-2a} + \frac{12ab}{-2a} + \frac{18ac}{-2a}$
Выполним деление почленно:
Первый член: $\frac{-20a}{-2a} = 10$
Второй член: $\frac{12ab}{-2a} = -6b$
Третий член: $\frac{18ac}{-2a} = -9c$
Сложив результаты, получаем: $10 - 6b - 9c$.
Ответ: $10 - 6b - 9c$

2) Разделим каждый член многочлена $(4,8b-0,6bc-1,5bd)$ на одночлен $(0,3b)$.
$(4,8b-0,6bc-1,5bd):(0,3b) = \frac{4,8b}{0,3b} - \frac{0,6bc}{0,3b} - \frac{1,5bd}{0,3b}$
Выполним деление для каждого члена, помня, что деление десятичных дробей можно заменить делением целых чисел, умножив делимое и делитель на 10:
$\frac{4,8b}{0,3b} = \frac{48}{3} = 16$
$-\frac{0,6bc}{0,3b} = -\frac{6}{3}c = -2c$
$-\frac{1,5bd}{0,3b} = -\frac{15}{3}d = -5d$
Результат: $16 - 2c - 5d$.
Ответ: $16 - 2c - 5d$

3) Для выполнения деления $(\frac{14}{15}x^2 - \frac{32}{25}xy + \frac{54}{5}xz)$ на $(\frac{2}{5}x)$, мы делим каждый член многочлена на одночлен. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Обратная дробь для $\frac{2}{5}x$ это $\frac{5}{2x}$.
$(\frac{14}{15}x^2 - \frac{32}{25}xy + \frac{54}{5}xz) : (\frac{2}{5}x) = (\frac{14}{15}x^2 \cdot \frac{5}{2x}) - (\frac{32}{25}xy \cdot \frac{5}{2x}) + (\frac{54}{5}xz \cdot \frac{5}{2x})$
Вычислим каждый член отдельно, сокращая дроби:
$\frac{14x^2}{15} \cdot \frac{5}{2x} = \frac{14 \cdot 5}{15 \cdot 2} \cdot \frac{x^2}{x} = \frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 1}x = \frac{7}{3}x$
$-\frac{32xy}{25} \cdot \frac{5}{2x} = -\frac{32 \cdot 5}{25 \cdot 2} \cdot \frac{xy}{x} = -\frac{16 \cdot 1}{5 \cdot 1}y = -\frac{16}{5}y$
$\frac{54xz}{5} \cdot \frac{5}{2x} = \frac{54 \cdot 5}{5 \cdot 2} \cdot \frac{xz}{x} = \frac{27 \cdot 1}{1 \cdot 1}z = 27z$
Итоговое выражение: $\frac{7}{3}x - \frac{16}{5}y + 27z$.
Ответ: $\frac{7}{3}x - \frac{16}{5}y + 27z$

4) Разделим многочлен $(-\frac{100}{63}nm + \frac{50}{77}nk - \frac{20}{21}nt)$ на одночлен $(-\frac{20}{7}n)$. Для этого умножим каждый член многочлена на дробь, обратную делителю, то есть на $(-\frac{7}{20n})$.
$(-\frac{100}{63}nm) : (-\frac{20}{7}n) = \frac{100nm}{63} \cdot \frac{7}{20n} = \frac{100 \cdot 7}{63 \cdot 20}m = \frac{5 \cdot 1}{9 \cdot 1}m = \frac{5}{9}m$
$(\frac{50}{77}nk) : (-\frac{20}{7}n) = -\frac{50nk}{77} \cdot \frac{7}{20n} = -\frac{50 \cdot 7}{77 \cdot 20}k = -\frac{5 \cdot 1}{11 \cdot 2}k = -\frac{5}{22}k$
$(-\frac{20}{21}nt) : (-\frac{20}{7}n) = \frac{20nt}{21} \cdot \frac{7}{20n} = \frac{20 \cdot 7}{21 \cdot 20}t = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 1}t = \frac{1}{3}t$
Соберем все члены вместе: $\frac{5}{9}m - \frac{5}{22}k + \frac{1}{3}t$.
Ответ: $\frac{5}{9}m - \frac{5}{22}k + \frac{1}{3}t$

Упростите выражения (14.3–14.4):

14.3. 1) $40x^2y : (8x) - 6xy;$

2) $2,8ab^2 : (0,7b) + 1,3ab;$

3) $\frac{4}{9} s^2t^2 : \left(\frac{2}{3} st\right) + \frac{1}{3} st;$

4) $\frac{25}{3} n^3m^3 : \left(\frac{8}{5} n^2m^2\right) - 1,9n.$

1) $40x^2y : (8x) - 6xy$

Первым действием выполним деление одночленов. Для этого разделим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

$40x^2y : (8x) = \frac{40x^2y}{8x} = (\frac{40}{8}) \cdot (\frac{x^2}{x}) \cdot y = 5 \cdot x^{2-1} \cdot y = 5xy$

Теперь выполним вычитание, так как полученный одночлен $5xy$ и одночлен $6xy$ являются подобными.

$5xy - 6xy = (5-6)xy = -1xy = -xy$

Ответ: $-xy$

2) $2,8ab^2 : (0,7b) + 1,3ab$

Сначала выполним деление.

$2,8ab^2 : (0,7b) = \frac{2,8ab^2}{0,7b} = (\frac{2,8}{0,7}) \cdot a \cdot (\frac{b^2}{b}) = 4 \cdot a \cdot b^{2-1} = 4ab$

Теперь выполним сложение подобных слагаемых.

$4ab + 1,3ab = (4 + 1,3)ab = 5,3ab$

Ответ: $5,3ab$

3) $\frac{4}{9}s^2t^2 : (\frac{2}{3}st) + \frac{1}{3}st$

Выполним деление. При делении дробей, мы умножаем первую дробь на перевернутую вторую.

$\frac{4}{9}s^2t^2 : (\frac{2}{3}st) = (\frac{4}{9} : \frac{2}{3}) \cdot (\frac{s^2t^2}{st}) = (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2}) \cdot (s^{2-1}t^{2-1}) = \frac{12}{18}st = \frac{2}{3}st$

Теперь выполним сложение подобных слагаемых.

$\frac{2}{3}st + \frac{1}{3}st = (\frac{2}{3} + \frac{1}{3})st = \frac{3}{3}st = 1st = st$

Ответ: $st$

4) $8\frac{1}{3}n^3m^3 : (1\frac{3}{5}n^2m^2) - 1,9n$

Сначала выполним деление. Для этого представим смешанные числа в виде неправильных дробей.

$8\frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$

Теперь выполним деление одночленов.

$\frac{25}{3}n^3m^3 : (\frac{8}{5}n^2m^2) = (\frac{25}{3} : \frac{8}{5}) \cdot (\frac{n^3m^3}{n^2m^2}) = (\frac{25}{3} \cdot \frac{5}{8}) \cdot (n^{3-2}m^{3-2}) = \frac{125}{24}nm$

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{125}{24}nm - 1,9n$

Так как слагаемые $\frac{125}{24}nm$ и $1,9n$ не являются подобными (у них разная буквенная часть), то дальнейшее упрощение (приведение подобных слагаемых) невозможно. Можно представить результат в виде смешанной дроби: $\frac{125}{24}nm = 5\frac{5}{24}nm$.

Ответ: $\frac{125}{24}nm - 1,9n$

14.4. 1) $8a^2b : (4ab) + 15ac^2 : (5c^2);$

2) $7,5x^2y^2 : (3x^2y) - 3,9my : (12m);$

3) $2,1ab^2 : \left(\frac{4}{3}b^2\right) - 2,7at^3 : \left(\frac{8}{9}t^3\right);$

4) $6\frac{1}{4}c^2d : \left(2\frac{1}{2}cd\right) + 8\frac{1}{4}c^2t^2 : \left(5\frac{1}{2}ct^2\right).$

1) $8a^2b : (4ab) + 15ac^2 : (5c^2)$
Для решения этого выражения необходимо выполнить деление в каждом слагаемом, а затем сложить полученные результаты.
1. Выполним первое деление: $8a^2b : (4ab) = \frac{8a^2b}{4ab} = \frac{8}{4} \cdot a^{2-1} \cdot b^{1-1} = 2a^1b^0 = 2a$.
2. Выполним второе деление: $15ac^2 : (5c^2) = \frac{15ac^2}{5c^2} = \frac{15}{5} \cdot a \cdot c^{2-2} = 3ac^0 = 3a$.
3. Сложим результаты: $2a + 3a = 5a$.
Ответ: $5a$

2) $7,5x^2y^2 : (3x^2y) - 3,9my : (12m)$
Для решения этого выражения необходимо выполнить деление в уменьшаемом и вычитаемом, а затем найти их разность.
1. Выполним первое деление: $7,5x^2y^2 : (3x^2y) = \frac{7,5}{3} \cdot x^{2-2} \cdot y^{2-1} = 2,5x^0y^1 = 2,5y$.
2. Выполним второе деление: $3,9my : (12m) = \frac{3,9}{12} \cdot m^{1-1} \cdot y = 0,325m^0y = 0,325y$.
3. Найдем разность результатов: $2,5y - 0,325y = 2,175y$.
Ответ: $2,175y$

3) $2,1ab^2 : (\frac{4}{3}b^2) - 2,7at^3 : (\frac{8}{9}t^3)$
Для решения этого выражения преобразуем десятичные дроби в обыкновенные (или выполним вычисления в десятичных), выполним деление в каждом члене, а затем найдем их разность.
1. Выполним первое деление: $2,1ab^2 : (\frac{4}{3}b^2) = (2,1 : \frac{4}{3}) \cdot a \cdot \frac{b^2}{b^2} = (2,1 \cdot \frac{3}{4})a = (\frac{21}{10} \cdot \frac{3}{4})a = \frac{63}{40}a = 1,575a$.
2. Выполним второе деление: $2,7at^3 : (\frac{8}{9}t^3) = (2,7 : \frac{8}{9}) \cdot a \cdot \frac{t^3}{t^3} = (2,7 \cdot \frac{9}{8})a = (\frac{27}{10} \cdot \frac{9}{8})a = \frac{243}{80}a = 3,0375a$.
3. Найдем разность результатов: $1,575a - 3,0375a = -1,4625a$.
Ответ: $-1,4625a$

4) $6\frac{1}{4}c^2d : (2\frac{1}{2}cd) + 8\frac{1}{4}c^2t^2 : (5\frac{1}{2}ct^2)$
Для решения этого выражения преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, выполним деление в каждом слагаемом, а затем сложим полученные результаты.
1. Выполним первое деление: $6\frac{1}{4}c^2d : (2\frac{1}{2}cd) = \frac{25}{4}c^2d : (\frac{5}{2}cd) = (\frac{25}{4} : \frac{5}{2}) \cdot \frac{c^2d}{cd} = (\frac{25}{4} \cdot \frac{2}{5}) \cdot c^{2-1}d^{1-1} = \frac{50}{20}c = \frac{5}{2}c = 2,5c$.
2. Выполним второе деление: $8\frac{1}{4}c^2t^2 : (5\frac{1}{2}ct^2) = \frac{33}{4}c^2t^2 : (\frac{11}{2}ct^2) = (\frac{33}{4} : \frac{11}{2}) \cdot \frac{c^2t^2}{ct^2} = (\frac{33}{4} \cdot \frac{2}{11}) \cdot c^{2-1}t^{2-2} = \frac{66}{44}c = \frac{3}{2}c = 1,5c$.
3. Сложим результаты: $2,5c + 1,5c = 4c$.
Ответ: $4c$