Страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.5. Найдите значение выражения:

1) $100b^4 : 4b^3 - 5b$ при $b = 0,2;$

2) $99c + 2c^5 : 0,2c^4$ при $c = -\frac{1}{5};$

3) $68t^3 : (3,4t^2) - t$ при $t = -\frac{4}{7};$

4) $-21,4y + 7y^5 : (5y^4)$ при $y = -0,03.$

1) Сначала упростим выражение $100b^4 : 4b^3 - 5b$. Порядок действий предписывает сначала выполнить деление, а затем вычитание.
Выполним деление одночленов:
$100b^4 : 4b^3 = (\frac{100}{4}) \cdot (b^{4-3}) = 25b^1 = 25b$.
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$25b - 5b$.
Приведем подобные слагаемые:
$25b - 5b = 20b$.
Теперь подставим значение $b = 0,2$ в упрощенное выражение:
$20 \cdot 0,2 = 4$.
Ответ: 4

2) Сначала упростим выражение $99c + 2c^5 : 0,2c^4$. Выполним деление, а затем сложение.
Представим $0,2$ в виде дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Выполним деление одночленов:
$2c^5 : 0,2c^4 = (\frac{2}{0,2}) \cdot (c^{5-4}) = (\frac{2}{1/5}) \cdot c^1 = (2 \cdot 5)c = 10c$.
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$99c + 10c$.
Приведем подобные слагаемые:
$99c + 10c = 109c$.
Теперь подставим значение $c = -\frac{1}{5}$ в упрощенное выражение:
$109 \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{109}{5} = -21,8$.
Ответ: -21,8

3) Сначала упростим выражение $68t^3 : (3,4t^2) - t$. Выполним деление, а затем вычитание.
Выполним деление одночленов:
$68t^3 : (3,4t^2) = (\frac{68}{3,4}) \cdot (t^{3-2}) = (\frac{680}{34}) \cdot t^1 = 20t$.
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$20t - t$.
Приведем подобные слагаемые:
$20t - t = 19t$.
Теперь подставим значение $t = -\frac{4}{7}$ в упрощенное выражение:
$19 \cdot (-\frac{4}{7}) = -\frac{19 \cdot 4}{7} = -\frac{76}{7}$.
Ответ: $-\frac{76}{7}$

4) Сначала упростим выражение $-21,4y + 7y^5 : (5y^4)$. Выполним деление, а затем сложение.
Выполним деление одночленов:
$7y^5 : (5y^4) = (\frac{7}{5}) \cdot (y^{5-4}) = 1,4 \cdot y^1 = 1,4y$.
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$-21,4y + 1,4y$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-21,4 + 1,4)y = -20y$.
Теперь подставим значение $y = -0,03$ в упрощенное выражение:
$-20 \cdot (-0,03) = 20 \cdot 0,03 = 0,6$.
Ответ: 0,6

14.6. Сравните значения выражений:

1) $76a^2b^2 : (38ab)$ и $3ab$ при $a = -2, b = 3;$

2) $-5xy$ и $105x^3y^2 : (-21x^2y)$ при $x=0,2, y=7;$

3) $a^5b^4 : (a^3b^3)$ и $a^7b^9 : (a^6b^8)$ при $a = -2, b = -2;$

4) $33c^4d^2 : (1,1c^3d)$ и $20cd$ при $c = 0,5, d = -0,1.$

1) Сравним значения выражений $76a^2b^2 : (38ab)$ и $3ab$ при $a = -2, b = 3$.

Для начала упростим первое выражение, выполнив деление одночленов:

$76a^2b^2 : (38ab) = \frac{76a^2b^2}{38ab} = (\frac{76}{38}) \cdot (\frac{a^2}{a}) \cdot (\frac{b^2}{b}) = 2 \cdot a^{2-1} \cdot b^{2-1} = 2ab$.

Теперь задача сводится к сравнению выражений $2ab$ и $3ab$. Подставим в них заданные значения $a = -2$ и $b = 3$.

Вычислим значение первого выражения:

$2ab = 2 \cdot (-2) \cdot 3 = -12$.

Вычислим значение второго выражения:

$3ab = 3 \cdot (-2) \cdot 3 = -18$.

Сравнивая полученные результаты, видим, что $-12 > -18$.

Таким образом, при заданных значениях переменных первое выражение больше второго.

Ответ: $76a^2b^2 : (38ab) > 3ab$.

2) Сравним значения выражений $-5xy$ и $105x^3y^2 : (-21x^2y)$ при $x = 0,2, y = 7$.

Упростим второе выражение:

$105x^3y^2 : (-21x^2y) = \frac{105x^3y^2}{-21x^2y} = (\frac{105}{-21}) \cdot (\frac{x^3}{x^2}) \cdot (\frac{y^2}{y}) = -5 \cdot x^{3-2} \cdot y^{2-1} = -5xy$.

После упрощения второе выражение стало идентичным первому. Это означает, что их значения будут равны при любых допустимых значениях переменных (где $x \neq 0$ и $y \neq 0$).

Для проверки подставим заданные значения $x = 0,2$ и $y = 7$ в оба выражения.

Значение первого выражения: $-5xy = -5 \cdot 0,2 \cdot 7 = -1 \cdot 7 = -7$.

Значение второго выражения (упрощенного): $-5xy = -5 \cdot 0,2 \cdot 7 = -7$.

Значения выражений равны.

Ответ: $-5xy = 105x^3y^2 : (-21x^2y)$.

3) Сравним значения выражений $a^5b^4 : (a^3b^3)$ и $a^7b^9 : (a^6b^8)$ при $a = -2, b = -2$.

Упростим оба выражения, используя свойство частного степеней $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Первое выражение:

$a^5b^4 : (a^3b^3) = a^{5-3}b^{4-3} = a^2b$.

Второе выражение:

$a^7b^9 : (a^6b^8) = a^{7-6}b^{9-8} = a^1b^1 = ab$.

Теперь сравним упрощенные выражения $a^2b$ и $ab$, подставив в них значения $a = -2$ и $b = -2$.

Вычислим значение первого выражения:

$a^2b = (-2)^2 \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.

Вычислим значение второго выражения:

$ab = (-2) \cdot (-2) = 4$.

Сравнивая полученные результаты, видим, что $-8 < 4$.

Следовательно, при заданных значениях первое выражение меньше второго.

Ответ: $a^5b^4 : (a^3b^3) < a^7b^9 : (a^6b^8)$.

4) Сравним значения выражений $33c^4d^2 : (1,1c^3d)$ и $20cd$ при $c = 0,5, d = -0,1$.

Упростим первое выражение:

$33c^4d^2 : (1,1c^3d) = (\frac{33}{1,1}) \cdot (\frac{c^4}{c^3}) \cdot (\frac{d^2}{d}) = 30 \cdot c^{4-3} \cdot d^{2-1} = 30cd$.

Теперь сравним выражения $30cd$ и $20cd$. Подставим заданные значения $c = 0,5$ и $d = -0,1$.

Вычислим значение первого выражения:

$30cd = 30 \cdot 0,5 \cdot (-0,1) = 15 \cdot (-0,1) = -1,5$.

Вычислим значение второго выражения:

$20cd = 20 \cdot 0,5 \cdot (-0,1) = 10 \cdot (-0,1) = -1$.

Сравнивая полученные результаты, видим, что $-1,5 < -1$.

Значит, при заданных значениях первое выражение меньше второго.

Ответ: $33c^4d^2 : (1,1c^3d) < 20cd$.

14.7. Докажите тождество:

1) $(200x^4y^3 - 55x^3y^2) : (5x^3y^2) + 11 = 40xy;$

2) $1,1a - (12,1a^3b^2 - 44a^2b^2) : (11a^2b^2) = 4;$

3) $1,6s^4t : (0,04s^3t) - 41,22s = -1,22s;$

4) $(8,47n^5m^4 + 77n^4m^3) : (7,7n^4m^3) - 10 = 1,1nm.$

1) Чтобы доказать тождество $(200x^4y^3 - 55x^3y^2) : (5x^3y^2) + 11 = 40xy$, преобразуем его левую часть. Согласно порядку выполнения действий, сначала выполним деление многочлена на одночлен, а затем сложение.

Выполним деление:

$(200x^4y^3 - 55x^3y^2) : (5x^3y^2) = \frac{200x^4y^3}{5x^3y^2} - \frac{55x^3y^2}{5x^3y^2}$

Разделим каждый член многочлена в скобках на одночлен $5x^3y^2$:

$\frac{200x^4y^3}{5x^3y^2} = \frac{200}{5} \cdot x^{4-3} \cdot y^{3-2} = 40xy$

$\frac{55x^3y^2}{5x^3y^2} = \frac{55}{5} \cdot x^{3-3} \cdot y^{2-2} = 11 \cdot x^0 \cdot y^0 = 11$

Таким образом, результат деления равен $40xy - 11$.

Теперь подставим полученный результат обратно в левую часть исходного выражения и выполним сложение:

$(40xy - 11) + 11 = 40xy - 11 + 11 = 40xy$

Мы получили, что левая часть тождества равна $40xy$, что совпадает с его правой частью. Следовательно, $40xy = 40xy$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $1,1a - (12,1a^3b^2 - 44a^2b^2) : (11a^2b^2) = 4$, преобразуем его левую часть. По порядку действий сначала выполним деление, а затем вычитание.

Выполним деление многочлена на одночлен:

$(12,1a^3b^2 - 44a^2b^2) : (11a^2b^2) = \frac{12,1a^3b^2}{11a^2b^2} - \frac{44a^2b^2}{11a^2b^2}$

Разделим каждый член многочлена на одночлен $11a^2b^2$:

$\frac{12,1a^3b^2}{11a^2b^2} = \frac{12,1}{11} \cdot a^{3-2} \cdot b^{2-2} = 1,1a$

$\frac{44a^2b^2}{11a^2b^2} = \frac{44}{11} \cdot a^{2-2} \cdot b^{2-2} = 4$

Результат деления равен $1,1a - 4$.

Теперь подставим его в левую часть исходного выражения:

$1,1a - (1,1a - 4) = 1,1a - 1,1a + 4 = 4$

Левая часть тождества равна $4$, что совпадает с его правой частью. Следовательно, $4 = 4$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Чтобы доказать тождество $1,6s^4t : (0,04s^3t) - 41,22s = -1,22s$, преобразуем его левую часть. Сначала выполним деление, а затем вычитание.

Выполним деление одночленов:

$1,6s^4t : (0,04s^3t) = \frac{1,6s^4t}{0,04s^3t} = \frac{1,6}{0,04} \cdot \frac{s^4}{s^3} \cdot \frac{t}{t}$

$\frac{1,6}{0,04} = \frac{160}{4} = 40$

$\frac{s^4}{s^3} \cdot \frac{t}{t} = s^{4-3} \cdot t^{1-1} = s$

Результат деления равен $40s$.

Теперь подставим его в левую часть исходного выражения и выполним вычитание:

$40s - 41,22s = (40 - 41,22)s = -1,22s$

Левая часть тождества равна $-1,22s$, что совпадает с его правой частью. Следовательно, $-1,22s = -1,22s$.

Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать тождество $(8,47n^5m^4 + 77n^4m^3) : (7,7n^4m^3) - 10 = 1,1nm$, преобразуем его левую часть. Сначала выполним деление, а затем вычитание.

Выполним деление многочлена на одночлен:

$(8,47n^5m^4 + 77n^4m^3) : (7,7n^4m^3) = \frac{8,47n^5m^4}{7,7n^4m^3} + \frac{77n^4m^3}{7,7n^4m^3}$

Разделим каждый член многочлена на одночлен $7,7n^4m^3$:

$\frac{8,47n^5m^4}{7,7n^4m^3} = \frac{8,47}{7,7} \cdot n^{5-4} \cdot m^{4-3} = 1,1nm$

$\frac{77n^4m^3}{7,7n^4m^3} = \frac{77}{7,7} \cdot n^{4-4} \cdot m^{3-3} = 10$

Результат деления равен $1,1nm + 10$.

Теперь подставим его в левую часть исходного выражения и выполним вычитание:

$(1,1nm + 10) - 10 = 1,1nm + 10 - 10 = 1,1nm$

Левая часть тождества равна $1,1nm$, что совпадает с его правой частью. Следовательно, $1,1nm = 1,1nm$.

Ответ: Тождество доказано.

14.8. Упростите выражение:

1) $(\frac{1}{2}a^7b^9 + 0,3a^8b^6) : (\frac{1}{6}a^5b^6);$

2) $(15,2x^4y^{11} - 5,2x^3y^8) : (0,2x^2y^7).$

1) Чтобы упростить данное выражение, необходимо разделить каждый член многочлена $(\frac{1}{2}a^7b^9 + 0,3a^8b^6)$ на одночлен $(\frac{1}{6}a^5b^6)$.

Запишем деление в виде дроби:

$(\frac{1}{2}a^7b^9 + 0,3a^8b^6) : (\frac{1}{6}a^5b^6) = \frac{\frac{1}{2}a^7b^9}{\frac{1}{6}a^5b^6} + \frac{0,3a^8b^6}{\frac{1}{6}a^5b^6}$

Разделим первый член многочлена на одночлен:

$\frac{\frac{1}{2}a^7b^9}{\frac{1}{6}a^5b^6} = (\frac{1}{2} : \frac{1}{6}) \cdot (a^7 : a^5) \cdot (b^9 : b^6) = (\frac{1}{2} \cdot 6) \cdot a^{7-5} \cdot b^{9-6} = 3a^2b^3$

Теперь разделим второй член многочлена. Представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{10}$:

$\frac{0,3a^8b^6}{\frac{1}{6}a^5b^6} = (\frac{3}{10} : \frac{1}{6}) \cdot (a^8 : a^5) \cdot (b^6 : b^6) = (\frac{3}{10} \cdot 6) \cdot a^{8-5} \cdot b^{6-6} = \frac{18}{10}a^3b^0 = 1,8a^3$

Сложим полученные результаты:

$3a^2b^3 + 1,8a^3$

Ответ: $3a^2b^3 + 1,8a^3$.

2) Для упрощения этого выражения нужно разделить каждый член многочлена $(15,2x^4y^{11} - 5,2x^3y^8)$ на одночлен $(0,2x^2y^7)$.

$(15,2x^4y^{11} - 5,2x^3y^8) : (0,2x^2y^7) = \frac{15,2x^4y^{11}}{0,2x^2y^7} - \frac{5,2x^3y^8}{0,2x^2y^7}$

Разделим первый член многочлена на одночлен:

$\frac{15,2x^4y^{11}}{0,2x^2y^7} = (\frac{15,2}{0,2}) \cdot (x^4 : x^2) \cdot (y^{11} : y^7) = 76 \cdot x^{4-2} \cdot y^{11-7} = 76x^2y^4$

Разделим второй член многочлена на одночлен:

$\frac{5,2x^3y^8}{0,2x^2y^7} = (\frac{5,2}{0,2}) \cdot (x^3 : x^2) \cdot (y^8 : y^7) = 26 \cdot x^{3-2} \cdot y^{8-7} = 26xy$

Соединим полученные результаты:

$76x^2y^4 - 26xy$

Ответ: $76x^2y^4 - 26xy$.

14.9. Найдите значение выражения:

1) $90a^2b^2 : (18a^2b) + 0,14a^2b : (7ab)$ при $a = -5, b = 2;$

2) $4,95x^3y^4 : (2,2x^3y^2) - 77x^5y^4 : (0,11x^4y^4)$ при $x=\frac{3}{7}, y=-\frac{14}{15}.$

1) Сначала упростим данное выражение, выполнив действия деления в каждом слагаемом. Для этого разделим коэффициенты и степени переменных отдельно.

Первое слагаемое: $90a^2b^2 : (18a^2b)$.

Делим коэффициенты: $90 : 18 = 5$.

Делим переменные: $a^2 : a^2 = a^{2-2} = a^0 = 1$ и $b^2 : b = b^{2-1} = b$.

Результат для первого слагаемого: $5 \cdot 1 \cdot b = 5b$.

Второе слагаемое: $0,14a^2b : (7ab)$.

Делим коэффициенты: $0,14 : 7 = 0,02$.

Делим переменные: $a^2 : a = a^{2-1} = a$ и $b : b = b^{1-1} = b^0 = 1$.

Результат для второго слагаемого: $0,02 \cdot a \cdot 1 = 0,02a$.

Сложив полученные результаты, получаем упрощенное выражение: $5b + 0,02a$.

Теперь подставим в него заданные значения $a = -5$ и $b = 2$:

$5 \cdot 2 + 0,02 \cdot (-5) = 10 - 0,1 = 9,9$.

Ответ: $9,9$.

2) Сначала упростим данное выражение, выполнив деление в уменьшаемом и вычитаемом.

Уменьшаемое: $4,95x^3y^4 : (2,2x^3y^2)$.

Делим коэффициенты: $4,95 : 2,2 = \frac{4,95}{2,2} = \frac{495}{220} = \frac{99 \cdot 5}{44 \cdot 5} = \frac{99}{44} = \frac{9 \cdot 11}{4 \cdot 11} = \frac{9}{4} = 2,25$.

Делим переменные: $x^3 : x^3 = x^{3-3} = x^0 = 1$ и $y^4 : y^2 = y^{4-2} = y^2$.

Результат для уменьшаемого: $2,25 \cdot 1 \cdot y^2 = 2,25y^2$.

Вычитаемое: $77x^5y^4 : (0,11x^4y^4)$.

Делим коэффициенты: $77 : 0,11 = \frac{77}{0,11} = \frac{7700}{11} = 700$.

Делим переменные: $x^5 : x^4 = x^{5-4} = x$ и $y^4 : y^4 = y^{4-4} = y^0 = 1$.

Результат для вычитаемого: $700 \cdot x \cdot 1 = 700x$.

Итоговое упрощенное выражение: $2,25y^2 - 700x$.

Теперь подставим в него заданные значения $x = \frac{3}{7}$ и $y = -\frac{14}{15}$:

$2,25 \cdot \left(-\frac{14}{15}\right)^2 - 700 \cdot \frac{3}{7}$

Вычислим значение первого члена. Представим десятичную дробь $2,25$ в виде обыкновенной: $2,25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4}$.

$\frac{9}{4} \cdot \left(-\frac{14}{15}\right)^2 = \frac{9}{4} \cdot \frac{14^2}{15^2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{196}{225} = \frac{9 \cdot 196}{4 \cdot 225} = \frac{1 \cdot 196}{4 \cdot 25} = \frac{196}{100} = 1,96$.

Вычислим значение второго члена:

$700 \cdot \frac{3}{7} = \frac{700 \cdot 3}{7} = 100 \cdot 3 = 300$.

Найдем значение всего выражения:

$1,96 - 300 = -298,04$.

Ответ: $-298,04$.

14.10. Сравните значения выражений:

1) $6a^2b : (0.5ab)$ и $8ab^2 : (0.2ab)$ при $a = 2, b = 3;$

2) $3.5n^3m : (7nm)$ и $5.7nm^4 : (19m^3)$ при $n = -1, m = 1.$

1) Сравним значения выражений $6a^2b : (0,5ab)$ и $8ab^2 : (0,2ab)$ при $a = 2, b = 3$.

Для этого сначала упростим каждое выражение, выполнив деление одночленов, а затем подставим в полученные выражения заданные значения переменных.

Вычислим значение первого выражения:

$6a^2b : (0,5ab) = \frac{6a^2b}{0,5ab} = (\frac{6}{0,5}) \cdot (\frac{a^2}{a}) \cdot (\frac{b}{b}) = 12 \cdot a^{2-1} \cdot b^{1-1} = 12a$.

Теперь подставим значение $a = 2$ в упрощенное выражение:

$12a = 12 \cdot 2 = 24$.

Вычислим значение второго выражения:

$8ab^2 : (0,2ab) = \frac{8ab^2}{0,2ab} = (\frac{8}{0,2}) \cdot (\frac{a}{a}) \cdot (\frac{b^2}{b}) = 40 \cdot a^{1-1} \cdot b^{2-1} = 40b$.

Подставим значение $b = 3$ в упрощенное выражение:

$40b = 40 \cdot 3 = 120$.

Сравним полученные результаты: $24$ и $120$.

Поскольку $24 < 120$, то значение первого выражения меньше значения второго при заданных значениях переменных.

Ответ: $6a^2b : (0,5ab) < 8ab^2 : (0,2ab)$.

2) Сравним значения выражений $3,5n^3m : (7nm)$ и $5,7nm^4 : (19m^3)$ при $n = -1, m = 1$.

Аналогично первому пункту, упростим выражения и подставим значения переменных.

Вычислим значение первого выражения:

$3,5n^3m : (7nm) = \frac{3,5n^3m}{7nm} = (\frac{3,5}{7}) \cdot (\frac{n^3}{n}) \cdot (\frac{m}{m}) = 0,5 \cdot n^{3-1} \cdot m^{1-1} = 0,5n^2$.

Подставим значение $n = -1$ в упрощенное выражение:

$0,5n^2 = 0,5 \cdot (-1)^2 = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

Вычислим значение второго выражения:

$5,7nm^4 : (19m^3) = \frac{5,7nm^4}{19m^3} = (\frac{5,7}{19}) \cdot n \cdot (\frac{m^4}{m^3}) = 0,3 \cdot n \cdot m^{4-3} = 0,3nm$.

Подставим значения $n = -1$ и $m = 1$ в упрощенное выражение:

$0,3nm = 0,3 \cdot (-1) \cdot 1 = -0,3$.

Сравним полученные результаты: $0,5$ и $-0,3$.

Поскольку $0,5 > -0,3$, то значение первого выражения больше значения второго при заданных значениях переменных.

Ответ: $3,5n^3m : (7nm) > 5,7nm^4 : (19m^3)$.