Страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как выполнять умножение многочленов?

1. Как умножить многочлен на одночлен?

2. Как умножить двучлен на двучлен?

3. Как умножить трехчлен на двучлен?

Общее правило умножения многочленов заключается в том, что для умножения одного многочлена на другой необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а затем сложить все полученные произведения.

1. Как умножить многочлен на одночлен?

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно применить распределительный закон умножения. Это означает, что каждый член многочлена умножается на данный одночлен, после чего полученные произведения складываются.
Общая формула: $c \cdot (a_1 + a_2 + ... + a_n) = c \cdot a_1 + c \cdot a_2 + ... + c \cdot a_n$.
Пример: Умножим многочлен $(5x^2 - 2xy + 3y^2)$ на одночлен $4x$.
1. Умножаем первый член многочлена на одночлен: $(5x^2) \cdot (4x) = 20x^3$.
2. Умножаем второй член многочлена на одночлен: $(-2xy) \cdot (4x) = -8x^2y$.
3. Умножаем третий член многочлена на одночлен: $(3y^2) \cdot (4x) = 12xy^2$.
4. Складываем результаты: $20x^3 - 8x^2y + 12xy^2$.
Ответ: $(5x^2 - 2xy + 3y^2) \cdot 4x = 20x^3 - 8x^2y + 12xy^2$.

2. Как умножить двучлен на двучлен?

Чтобы умножить двучлен на двучлен, нужно каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена и сложить полученные произведения. После этого, если есть подобные слагаемые, их следует привести.
Общая формула: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
Пример: Умножим двучлен $(a+3)$ на двучлен $(a-4)$.
1. Умножаем первый член первого двучлена ($a$) на каждый член второго: $a \cdot a = a^2$ и $a \cdot (-4) = -4a$.
2. Умножаем второй член первого двучлена ($3$) на каждый член второго: $3 \cdot a = 3a$ и $3 \cdot (-4) = -12$.
3. Складываем все полученные произведения: $a^2 - 4a + 3a - 12$.
4. Приводим подобные слагаемые ($-4a$ и $3a$): $-4a + 3a = -a$.
5. Записываем итоговый многочлен: $a^2 - a - 12$.
Ответ: $(a+3)(a-4) = a^2 - a - 12$.

3. Как умножить трехчлен на двучлен?

Умножение трехчлена на двучлен выполняется по тому же общему правилу: каждый член трехчлена умножается на каждый член двучлена, и результаты складываются.
Общая формула: $(a+b+c)(d+e) = ad + ae + bd + be + cd + ce$.
Пример: Умножим трехчлен $(x^2 + 2x - 5)$ на двучлен $(x+3)$.
1. Умножаем каждый член трехчлена на первый член двучлена ($x$):
$(x^2) \cdot (x) = x^3$
$(2x) \cdot (x) = 2x^2$
$(-5) \cdot (x) = -5x$
Промежуточный результат: $x^3 + 2x^2 - 5x$.
2. Умножаем каждый член трехчлена на второй член двучлена ($3$):
$(x^2) \cdot (3) = 3x^2$
$(2x) \cdot (3) = 6x$
$(-5) \cdot (3) = -15$
Промежуточный результат: $3x^2 + 6x - 15$.
3. Складываем полученные выражения и приводим подобные слагаемые:
$(x^3 + 2x^2 - 5x) + (3x^2 + 6x - 15) = x^3 + (2x^2+3x^2) + (-5x+6x) - 15 = x^3 + 5x^2 + x - 15$.
Ответ: $(x^2 + 2x - 5)(x+3) = x^3 + 5x^2 + x - 15$.