Страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.1. Найдите сумму многочленов:

1) $x^2 + 5$ и $x^2 - 4$;

2) $y - 2x$ и $4x + 6$;

3) $2ab - 1$ и $ab + 10$;

4) $1,8a^2 - y^3$ и $22a^2 + 2y^3$.

1) Чтобы найти сумму многочленов, запишем их в виде суммы, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

Сумма многочленов $x^2 + 5$ и $x^2 - 4$ равна:

$(x^2 + 5) + (x^2 - 4) = x^2 + 5 + x^2 - 4$

Группируем подобные слагаемые: $(x^2 + x^2) + (5 - 4)$.

Складываем их: $2x^2 + 1$.

Ответ: $2x^2 + 1$.

2) Найдём сумму многочленов $y - 2x$ и $4x + 6$.

$(y - 2x) + (4x + 6) = y - 2x + 4x + 6$

Группируем подобные слагаемые (с переменной $x$): $y + (-2x + 4x) + 6$.

Упрощаем выражение: $y + 2x + 6$. Обычно многочлены записывают в стандартном виде, располагая члены в порядке убывания степеней одной из переменных, например $x$: $2x + y + 6$.

Ответ: $2x + y + 6$.

3) Найдём сумму многочленов $2ab - 1$ и $ab + 10$.

$(2ab - 1) + (ab + 10) = 2ab - 1 + ab + 10$

Группируем подобные слагаемые (с буквенной частью $ab$ и свободные члены): $(2ab + ab) + (-1 + 10)$.

Складываем их: $3ab + 9$.

Ответ: $3ab + 9$.

4) Найдём сумму многочленов $1,8a^2 - y^3$ и $22a^2 + 2y^3$.

$(1,8a^2 - y^3) + (22a^2 + 2y^3) = 1,8a^2 - y^3 + 22a^2 + 2y^3$

Группируем подобные слагаемые (с $a^2$ и с $y^3$): $(1,8a^2 + 22a^2) + (-y^3 + 2y^3)$.

Складываем их: $23,8a^2 + y^3$.

Ответ: $23,8a^2 + y^3$.

12.2. Найдите разность многочленов:

1) $20 + a^3$ и $90a^3 + 21$;

2) $4b - c^2$ и $-17b + 8c^2$;

3) $77 - mn$ и $-30mn + 8$;

4) $4,9kt - 3z$ и $-8,3kt + 5,2z$.

1) Чтобы найти разность многочленов $20 + a^3$ и $90a^3 + 21$, необходимо из первого многочлена вычесть второй. Запишем это в виде выражения, взяв второй многочлен в скобки:
$(20 + a^3) - (90a^3 + 21)$
Теперь раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные:
$20 + a^3 - 90a^3 - 21$
Следующий шаг — приведение подобных слагаемых. Сгруппируем слагаемые с переменной $a^3$ и числовые коэффициенты (свободные члены):
$(a^3 - 90a^3) + (20 - 21) = (1 - 90)a^3 - 1 = -89a^3 - 1$
Ответ: $-89a^3 - 1$

2) Найдем разность многочленов $4b - c^2$ и $-17b + 8c^2$. Запишем выражение для их разности:
$(4b - c^2) - (-17b + 8c^2)$
Раскроем скобки. Знаки слагаемых во втором многочлене меняются на противоположные:
$4b - c^2 + 17b - 8c^2$
Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие переменную $b$, и члены, содержащие $c^2$:
$(4b + 17b) + (-c^2 - 8c^2) = (4 + 17)b + (-1 - 8)c^2 = 21b - 9c^2$
Ответ: $21b - 9c^2$

3) Найдем разность многочленов $77 - mn$ и $-30mn + 8$. Составим выражение:
$(77 - mn) - (-30mn + 8)$
Раскроем скобки, не забывая изменить знаки:
$77 - mn + 30mn - 8$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $mn$ и свободные члены):
$(-mn + 30mn) + (77 - 8) = (-1 + 30)mn + 69 = 29mn + 69$
Ответ: $29mn + 69$

4) Найдем разность многочленов $4,9kt - 3z$ и $-8,3kt + 5,2z$. Запишем соответствующее выражение:
$(4,9kt - 3z) - (-8,3kt + 5,2z)$
Раскроем скобки, изменив знаки у слагаемых второго многочлена:
$4,9kt - 3z + 8,3kt - 5,2z$
Приведем подобные слагаемые, группируя члены с $kt$ и члены с $z$:
$(4,9kt + 8,3kt) + (-3z - 5,2z) = (4,9 + 8,3)kt + (-3 - 5,2)z = 13,2kt - 8,2z$
Ответ: $13,2kt - 8,2z$

Найдите алгебраическую сумму многочленов (12.3–12.4):

12.3. 1) $(4x + 8y) + (23x + 5y);$ 2) $(83a - 91b) - (89a - 100b);$

3) $(1.5m - 4.2n) - (2m + 3n);$ 4) $(5k + 6t) + (2.8t - 3.1k),$

5) $(\frac{3}{16} a - 20b) + (11b - \frac{1}{16} a);$ 6) $(\frac{7}{15} a + 53d) + (60d - \frac{13}{15} c).$

1) Чтобы найти алгебраическую сумму многочленов $(4x + 8y) + (23x + 5y)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Так как перед скобками стоит знак плюс, то знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$(4x + 8y) + (23x + 5y) = 4x + 8y + 23x + 5y$.

Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой переменной):

$(4x + 23x) + (8y + 5y)$.

Сложим коэффициенты при одинаковых переменных:

$(4 + 23)x + (8 + 5)y = 27x + 13y$.

Ответ: $27x + 13y$.

2) Чтобы найти разность многочленов $(83a - 91b) - (89a - 100b)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

При раскрытии второй скобки, перед которой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$(83a - 91b) - (89a - 100b) = 83a - 91b - 89a + 100b$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(83a - 89a) + (-91b + 100b)$.

Выполним действия с коэффициентами:

$(83 - 89)a + (-91 + 100)b = -6a + 9b$.

Ответ: $-6a + 9b$.

3) Найдем разность многочленов $(1,5m - 4,2n) - (2m + 3n)$.

Раскроем скобки, изменяя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные:

$(1,5m - 4,2n) - (2m + 3n) = 1,5m - 4,2n - 2m - 3n$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(1,5m - 2m) + (-4,2n - 3n) = (1,5 - 2)m + (-4,2 - 3)n = -0,5m - 7,2n$.

Ответ: $-0,5m - 7,2n$.

4) Найдем сумму многочленов $(5k + 6t) + (2,8t - 3,1k)$.

Раскроем скобки:

$(5k + 6t) + (2,8t - 3,1k) = 5k + 6t + 2,8t - 3,1k$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5k - 3,1k) + (6t + 2,8t) = (5 - 3,1)k + (6 + 2,8)t = 1,9k + 8,8t$.

Ответ: $1,9k + 8,8t$.

5) Найдем сумму многочленов $(\frac{3}{16}a - 20b) + (11b - \frac{1}{16}a)$.

Раскроем скобки:

$(\frac{3}{16}a - 20b) + (11b - \frac{1}{16}a) = \frac{3}{16}a - 20b + 11b - \frac{1}{16}a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\frac{3}{16}a - \frac{1}{16}a) + (-20b + 11b) = (\frac{3-1}{16})a + (-20+11)b = \frac{2}{16}a - 9b$.

Сократим дробь $\frac{2}{16}$ на 2:

$\frac{2}{16}a = \frac{1}{8}a$.

Итоговое выражение: $\frac{1}{8}a - 9b$.

Ответ: $\frac{1}{8}a - 9b$.

6) Найдем сумму многочленов $(\frac{7}{15}a + 53d) + (60d - \frac{13}{15}c)$.

Раскроем скобки:

$(\frac{7}{15}a + 53d) + (60d - \frac{13}{15}c) = \frac{7}{15}a + 53d + 60d - \frac{13}{15}c$.

Сгруппируем подобные слагаемые. В данном выражении подобными являются только слагаемые с переменной $d$. Слагаемые с переменными $a$ и $c$ не имеют подобных.

$\frac{7}{15}a - \frac{13}{15}c + (53d + 60d)$.

Выполним сложение:

$\frac{7}{15}a - \frac{13}{15}c + (53+60)d = \frac{7}{15}a - \frac{13}{15}c + 113d$.

Ответ: $\frac{7}{15}a - \frac{13}{15}c + 113d$.

12.4. 1) $(5 + 4a^3) + (a + 2a^3);$

2) $(y - 7x^4) - (2,3 - 9x^4);$

3) $(9b + 7c^2) - (14b - 10c^2);$

4) $(39n^2 - 2m) + (5m - 44n^2).$

1) Чтобы упростить выражение $(5 + 4a^3) + (a + 2a^3)$, мы должны сложить два многочлена.
Сначала раскроем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри нее не меняются:
$(5 + 4a^3) + (a + 2a^3) = 5 + 4a^3 + a + 2a^3$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном случае это $4a^3$ и $2a^3$.
$5 + (4a^3 + 2a^3) + a$
Сложим коэффициенты при подобных слагаемых:
$4a^3 + 2a^3 = (4 + 2)a^3 = 6a^3$
Подставим результат обратно в выражение и запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной):
$6a^3 + a + 5$
Ответ: $6a^3 + a + 5$

2) Чтобы упростить выражение $(y - 7x^4) - (2,3 - 9x^4)$, мы должны вычесть один многочлен из другого.
Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$(y - 7x^4) - (2,3 - 9x^4) = y - 7x^4 - 2,3 - (-9x^4) = y - 7x^4 - 2,3 + 9x^4$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые $-7x^4$ и $9x^4$.
$y + (-7x^4 + 9x^4) - 2,3$
Сложим коэффициенты при подобных слагаемых:
$-7x^4 + 9x^4 = (-7 + 9)x^4 = 2x^4$
Подставим результат обратно в выражение:
$y + 2x^4 - 2,3$
Запишем результат в удобном порядке:
$2x^4 + y - 2,3$
Ответ: $2x^4 + y - 2,3$

3) Чтобы упростить выражение $(9b + 7c^2) - (14b - 10c^2)$, выполним вычитание многочленов.
Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$(9b + 7c^2) - (14b - 10c^2) = 9b + 7c^2 - 14b - (-10c^2) = 9b + 7c^2 - 14b + 10c^2$
Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Подобными являются $9b$ и $-14b$, а также $7c^2$ и $10c^2$.
$(9b - 14b) + (7c^2 + 10c^2)$
Приведем подобные слагаемые:
$9b - 14b = (9 - 14)b = -5b$
$7c^2 + 10c^2 = (7 + 10)c^2 = 17c^2$
Запишем итоговый многочлен:
$-5b + 17c^2$
Или, поменяв слагаемые местами:
$17c^2 - 5b$
Ответ: $17c^2 - 5b$

4) Чтобы упростить выражение $(39n^2 - 2m) + (5m - 44n^2)$, выполним сложение многочленов.
Раскроем скобки. Так как это сложение, знаки слагаемых не меняются:
$(39n^2 - 2m) + (5m - 44n^2) = 39n^2 - 2m + 5m - 44n^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются $39n^2$ и $-44n^2$, а также $-2m$ и $5m$.
$(39n^2 - 44n^2) + (-2m + 5m)$
Приведем подобные слагаемые:
$39n^2 - 44n^2 = (39 - 44)n^2 = -5n^2$
$-2m + 5m = (-2 + 5)m = 3m$
Запишем итоговый многочлен:
$-5n^2 + 3m$
Или, поменяв слагаемые местами:
$3m - 5n^2$
Ответ: $3m - 5n^2$

12.5. Заполните таблицу 12.1.

Таблица 12.1

Для первой строки таблицы:

A + B

Чтобы найти сумму многочленов A и B, где $A = 8,1 - 7x^3$ и $B = 9,2x^3 - 10$, сложим их и приведем подобные слагаемые.
$A + B = (8,1 - 7x^3) + (9,2x^3 - 10)$
Сгруппируем подобные члены:
$(8,1 - 10) + (-7x^3 + 9,2x^3) = -1,9 + 2,2x^3$
Запишем в стандартном виде: $2,2x^3 - 1,9$.
Ответ: $2,2x^3 - 1,9$

A - B

Чтобы найти разность многочленов A и B, вычтем многочлен B из многочлена A.
$A - B = (8,1 - 7x^3) - (9,2x^3 - 10)$
Раскроем скобки, изменив знаки членов многочлена B на противоположные:
$8,1 - 7x^3 - 9,2x^3 + 10$
Сгруппируем подобные члены:
$(8,1 + 10) + (-7x^3 - 9,2x^3) = 18,1 - 16,2x^3$
Ответ: $18,1 - 16,2x^3$

Для второй строки таблицы:

A + B

Чтобы найти сумму многочленов A и B, где $A = -15,1 + 6y^2$ и $B = 23,4 - 11y^2$, сложим их.
$A + B = (-15,1 + 6y^2) + (23,4 - 11y^2)$
Сгруппируем подобные члены:
$(-15,1 + 23,4) + (6y^2 - 11y^2) = 8,3 - 5y^2$
Ответ: $8,3 - 5y^2$

A - B

Чтобы найти разность многочленов A и B, вычтем многочлен B из многочлена A.
$A - B = (-15,1 + 6y^2) - (23,4 - 11y^2)$
Раскроем скобки:
$-15,1 + 6y^2 - 23,4 + 11y^2$
Сгруппируем подобные члены:
$(-15,1 - 23,4) + (6y^2 + 11y^2) = -38,5 + 17y^2$
Запишем в стандартном виде: $17y^2 - 38,5$.
Ответ: $17y^2 - 38,5$

Заполненная таблица 12.1: