Страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.1. Составьте многочлен из одночленов:

1) $a^2$; $a$ и $5;

2) $9x^3$; $x$ и $-7;

3) $0.8y$; $-2y$ и $y^7;

4) $-4$; $7b^3$ и $d^4;

5) $\frac{4}{15}t^3$; $-k$ и $10;

6) $\frac{19}{5}k^4$; $-6.3k^3$ и $k.

1) Чтобы составить многочлен из заданных одночленов $a^2$, $a$ и $5$, необходимо найти их алгебраическую сумму, то есть сложить их.
$a^2 + a + 5$
Этот многочлен не содержит подобных слагаемых, поэтому дальнейшее упрощение не требуется. Он уже записан в стандартном виде.
Ответ: $a^2 + a + 5$

2) Составим многочлен, сложив одночлены $9x^3$, $x$ и $-7$.
$9x^3 + x + (-7)$
Раскрывая скобки, получаем:
$9x^3 + x - 7$
Подобные слагаемые отсутствуют. Многочлен записан в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $x$).
Ответ: $9x^3 + x - 7$

3) Найдем сумму одночленов $0{,}8y$, $-2y$ и $y^7$.
$0{,}8y + (-2y) + y^7 = 0{,}8y - 2y + y^7$
В данном многочлене есть подобные слагаемые: $0{,}8y$ и $-2y$. Выполним их приведение (сложение коэффициентов при одинаковой переменной части):
$0{,}8y - 2y = (0{,}8 - 2)y = -1{,}2y$
Подставим полученный результат в многочлен:
$-1{,}2y + y^7$
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $y$:
$y^7 - 1{,}2y$
Ответ: $y^7 - 1{,}2y$

4) Составим многочлен из одночленов $-4$, $7b^3$ и $d^4$ путем их сложения.
$-4 + 7b^3 + d^4$
Подобных слагаемых нет. Для удобства можно упорядочить члены многочлена. Стандартной практикой является запись членов с переменными вначале, а свободного члена (числа без переменной) в конце.
$7b^3 + d^4 - 4$
Ответ: $7b^3 + d^4 - 4$

5) Сложим одночлены $\frac{4}{15}t^3$, $-k$ и $10$.
$\frac{4}{15}t^3 + (-k) + 10$
Упростив выражение, получим многочлен:
$\frac{4}{15}t^3 - k + 10$
В этом многочлене подобных слагаемых нет, и он уже представлен в упорядоченном виде.
Ответ: $\frac{4}{15}t^3 - k + 10$

6) Составим многочлен из одночленов $\frac{19}{5}k^4$, $-6{,}3k^3$ и $k$.
$\frac{19}{5}k^4 + (-6{,}3k^3) + k$
Упростив, получим:
$\frac{19}{5}k^4 - 6{,}3k^3 + k$
Подобных слагаемых в этом многочлене нет. Он уже записан в стандартном виде, так как его члены расположены по убыванию степеней переменной $k$.
Ответ: $\frac{19}{5}k^4 - 6{,}3k^3 + k$

11.2. Приведите каждый член многочлена к стандартному виду и найдите степень многочлена:

1) $8xy^4x^3 - 9x^3yy^7 + 10zz^5$;

2) $0.2a^5bb^6 - 1.1xyx^7 + k^8t^2k$;

3) $\frac{1}{3}8ac^5a - 3.8t^8s^9s - b^6c^8b^{10}$;

4) $nm^{10}n^2 + \frac{2}{5}c^8dd^7 - t^4t^5t$.

1) Дан многочлен $8xy^4x^3 - 9x^3yy^7 + 10zz^5$.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо каждый его член (одночлен) привести к стандартному виду. Одночлен приведен к стандартному виду, если он представлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. После этого, чтобы найти степень многочлена, нужно найти степень каждого члена и выбрать наибольшую из них. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Приведем к стандартному виду каждый член многочлена:

• Первый член: $8xy^4x^3 = 8 \cdot (x \cdot x^3) \cdot y^4 = 8x^{1+3}y^4 = 8x^4y^4$. Степень этого члена равна $4+4=8$.

• Второй член: $-9x^3yy^7 = -9 \cdot x^3 \cdot (y \cdot y^7) = -9x^3y^{1+7} = -9x^3y^8$. Степень этого члена равна $3+8=11$.

• Третий член: $10zz^5 = 10z^{1+5} = 10z^6$. Степень этого члена равна $6$.

Таким образом, многочлен в стандартном виде: $8x^4y^4 - 9x^3y^8 + 10z^6$.

Степени его членов равны 8, 11 и 6. Наибольшая из этих степеней — 11, следовательно, степень многочлена равна 11.

Ответ: многочлен в стандартном виде $8x^4y^4 - 9x^3y^8 + 10z^6$; степень многочлена 11.

2) Дан многочлен $0,2a^5bb^6 - 1,1xyx^7 + k^8t^2k$.

Приведем к стандартному виду каждый член многочлена:

• Первый член: $0,2a^5bb^6 = 0,2 \cdot a^5 \cdot (b \cdot b^6) = 0,2a^5b^{1+6} = 0,2a^5b^7$. Степень этого члена: $5+7=12$.

• Второй член: $-1,1xyx^7 = -1,1 \cdot (x \cdot x^7) \cdot y = -1,1x^{1+7}y = -1,1x^8y$. Степень этого члена: $8+1=9$.

• Третий член: $k^8t^2k = (k^8 \cdot k) \cdot t^2 = k^{8+1}t^2 = k^9t^2$. Степень этого члена: $9+2=11$.

Многочлен в стандартном виде: $0,2a^5b^7 - 1,1x^8y + k^9t^2$.

Степени его членов равны 12, 9 и 11. Наибольшая степень — 12, значит, степень многочлена равна 12.

Ответ: многочлен в стандартном виде $0,2a^5b^7 - 1,1x^8y + k^9t^2$; степень многочлена 12.

3) Дан многочлен $\frac{1}{3} \cdot 8ac^5a - 3,8t^8s^9s - b^6c^8b^{10}$.

Приведем к стандартному виду каждый член многочлена:

• Первый член: $\frac{1}{3} \cdot 8ac^5a = (\frac{1}{3} \cdot 8) \cdot (a \cdot a) \cdot c^5 = \frac{8}{3}a^{1+1}c^5 = \frac{8}{3}a^2c^5$. Степень этого члена: $2+5=7$.

• Второй член: $-3,8t^8s^9s = -3,8 \cdot t^8 \cdot (s^9 \cdot s) = -3,8t^8s^{9+1} = -3,8s^{10}t^8$ (записывая переменные в алфавитном порядке). Степень этого члена: $10+8=18$.

• Третий член: $-b^6c^8b^{10} = -1 \cdot (b^6 \cdot b^{10}) \cdot c^8 = -b^{6+10}c^8 = -b^{16}c^8$. Степень этого члена: $16+8=24$.

Многочлен в стандартном виде: $\frac{8}{3}a^2c^5 - 3,8s^{10}t^8 - b^{16}c^8$.

Степени его членов равны 7, 18 и 24. Наибольшая степень — 24, значит, степень многочлена равна 24.

Ответ: многочлен в стандартном виде $\frac{8}{3}a^2c^5 - 3,8s^{10}t^8 - b^{16}c^8$; степень многочлена 24.

4) Дан многочлен $nm^{10}n^2 + \frac{2}{5}c^8dd^7 - t^4t^5t$.

Приведем к стандартному виду каждый член многочлена:

• Первый член: $nm^{10}n^2 = m^{10} \cdot (n \cdot n^2) = m^{10}n^{1+2} = m^{10}n^3$. Степень этого члена: $10+3=13$.

• Второй член: $\frac{2}{5}c^8dd^7 = \frac{2}{5}c^8 \cdot (d \cdot d^7) = \frac{2}{5}c^8d^{1+7} = \frac{2}{5}c^8d^8$. Степень этого члена: $8+8=16$.

• Третий член: $-t^4t^5t = -t^{4+5+1} = -t^{10}$. Степень этого члена: $10$.

Многочлен в стандартном виде: $m^{10}n^3 + \frac{2}{5}c^8d^8 - t^{10}$.

Степени его членов равны 13, 16 и 10. Наибольшая степень — 16, значит, степень многочлена равна 16.

Ответ: многочлен в стандартном виде $m^{10}n^3 + \frac{2}{5}c^8d^8 - t^{10}$; степень многочлена 16.

11.3. Назовите каждый член многочлена:

1) Членами многочлена, или одночленами, являются слагаемые, из которых он состоит. Чтобы определить члены многочлена $5x^4 - 6a^2c + 0,8y^5$, представим его в виде суммы: $5x^4 + (-6a^2c) + 0,8y^5$.
Ответ: Членами многочлена являются $5x^4$, $-6a^2c$ и $0,8y^5$.

2) Членами многочлена $-40a^{10} + 3,8cd^5 - nm^3$ являются одночлены, которые его составляют. Представим данное выражение в виде алгебраической суммы: $-40a^{10} + 3,8cd^5 + (-nm^3)$.
Ответ: Членами многочлена являются $-40a^{10}$, $3,8cd^5$ и $-nm^3$.

3) Членами многочлена $\frac{8}{3}ab^3 + \frac{10}{17}d^{10} - 1,2z$ являются слагаемые-одночлены. Представим многочлен в виде суммы: $\frac{8}{3}ab^3 + \frac{10}{17}d^{10} + (-1,2z)$.
Ответ: Членами многочлена являются $\frac{8}{3}ab^3$, $\frac{10}{17}d^{10}$ и $-1,2z$.

4) Членами многочлена $5c^5 - \frac{15}{26}xy^3 + 100$ являются одночлены. Представим многочлен в виде суммы: $5c^5 + (-\frac{15}{26}xy^3) + 100$.
Ответ: Членами многочлена являются $5c^5$, $-\frac{15}{26}xy^3$ и $100$.