Страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.6. Если A = $\frac{2}{3}a^2 - 4,5$ и B = $2\frac{1}{9}a^2 + 3,09$, то заполните таблицу 12.2.

Таблица 12.2

A + B

B - A

A - B

Для заполнения таблицы необходимо выполнить действия с многочленами $A = \frac{2}{3}a^2 - 4,5$ и $B = 2\frac{1}{9}a^2 + 3,09$.

A + B

Чтобы найти сумму $A + B$, сложим данные многочлены:

$A + B = (\frac{2}{3}a^2 - 4,5) + (2\frac{1}{9}a^2 + 3,09)$

Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $a^2$ и свободные члены):

$A + B = (\frac{2}{3}a^2 + 2\frac{1}{9}a^2) + (-4,5 + 3,09)$

Для сложения коэффициентов при $a^2$, приведем их к общему знаменателю. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{9} = \frac{19}{9}$. Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 9: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$.

Теперь сложим коэффициенты:

$\frac{6}{9}a^2 + \frac{19}{9}a^2 = \frac{25}{9}a^2 = 2\frac{7}{9}a^2$

Сложим свободные члены:

$-4,5 + 3,09 = -1,41$

Объединив результаты, получаем:

Ответ: $2\frac{7}{9}a^2 - 1,41$

B - A

Чтобы найти разность $B - A$, вычтем многочлен $A$ из многочлена $B$:

$B - A = (2\frac{1}{9}a^2 + 3,09) - (\frac{2}{3}a^2 - 4,5)$

Раскроем скобки, изменив знаки членов многочлена $A$ на противоположные, и сгруппируем подобные слагаемые:

$B - A = (2\frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{3}a^2) + (3,09 + 4,5)$

Вычислим разность коэффициентов при $a^2$, используя преобразованные дроби из предыдущего пункта:

$\frac{19}{9}a^2 - \frac{6}{9}a^2 = \frac{13}{9}a^2 = 1\frac{4}{9}a^2$

Сложим свободные члены:

$3,09 + 4,5 = 7,59$

Объединив результаты, получаем:

Ответ: $1\frac{4}{9}a^2 + 7,59$

A - B

Чтобы найти разность $A - B$, вычтем многочлен $B$ из многочлена $A$. Заметим, что $A - B = -(B - A)$. Используя результат предыдущего вычисления, получим:

$A - B = -(1\frac{4}{9}a^2 + 7,59) = -1\frac{4}{9}a^2 - 7,59$

Проведем вычисления напрямую для проверки. Сгруппируем подобные слагаемые:

$A - B = (\frac{2}{3}a^2 - 2\frac{1}{9}a^2) + (-4,5 - 3,09)$

Вычислим разность коэффициентов при $a^2$:

$\frac{6}{9}a^2 - \frac{19}{9}a^2 = -\frac{13}{9}a^2 = -1\frac{4}{9}a^2$

Вычислим сумму свободных членов:

$-4,5 - 3,09 = -7,59$

Результаты совпадают.

Ответ: $-1\frac{4}{9}a^2 - 7,59$

Заполненная таблица 12.2:

12.7. Верно ли равенство:

1) $(18,9 - x^2) - (5x^2 - 21) + (7x^2 - 39,9) = x^2;$

2) $(60b^3 + 51,3) + (70 - 62,8b^3) - (-2,8b^3 + 121) = 0,3;$

3) $(\frac{7}{9} y^4 - 10,1) - (17 - \frac{2}{3} y^4) + (27,1 - \frac{4}{9} y^4) = y^4;$

4) $(4,7c^2 - 6 \frac{5}{7}) + (3 \frac{4}{9} - 5c^2) - (0,7c^2 - 3 \frac{5}{21}) = -c^2?$

1) Чтобы проверить верность равенства, упростим его левую часть. Раскроем скобки: $(18,9 - x^2) - (5x^2 - 21) + (7x^2 - 39,9) = 18,9 - x^2 - 5x^2 + 21 + 7x^2 - 39,9$. Сгруппируем подобные слагаемые: члены с $x^2$ и свободные члены. $( -x^2 - 5x^2 + 7x^2) + (18,9 + 21 - 39,9)$. Выполним вычисления в каждой группе: $(-1 - 5 + 7)x^2 + (39,9 - 39,9) = 1 \cdot x^2 + 0 = x^2$. Левая часть равенства равна $x^2$, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство верно. Ответ: да, верно.

2) Упростим левую часть равенства. Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними: $(60b^3 + 51,3) + (70 - 62,8b^3) - (-2,8b^3 + 121) = 60b^3 + 51,3 + 70 - 62,8b^3 + 2,8b^3 - 121$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(60b^3 - 62,8b^3 + 2,8b^3) + (51,3 + 70 - 121)$. Выполним вычисления: $(60 - 62,8 + 2,8)b^3 + (121,3 - 121) = (62,8 - 62,8)b^3 + 0,3 = 0 \cdot b^3 + 0,3 = 0,3$. Левая часть равна $0,3$, что соответствует правой части равенства. Равенство верно. Ответ: да, верно.

3) Упростим левую часть, раскрыв скобки: $(\frac{7}{9}y^4 - 10,1) - (17 - \frac{2}{3}y^4) + (27,1 - \frac{4}{9}y^4) = \frac{7}{9}y^4 - 10,1 - 17 + \frac{2}{3}y^4 + 27,1 - \frac{4}{9}y^4$. Сгруппируем подобные члены: $(\frac{7}{9}y^4 + \frac{2}{3}y^4 - \frac{4}{9}y^4) + (-10,1 - 17 + 27,1)$. Для сложения и вычитания дробей с $y^4$ приведем их к общему знаменателю $9$: $(\frac{7}{9}y^4 + \frac{6}{9}y^4 - \frac{4}{9}y^4) + (-27,1 + 27,1) = (\frac{7+6-4}{9})y^4 + 0 = \frac{9}{9}y^4 = y^4$. Левая часть равна $y^4$, что соответствует правой части. Равенство верно. Ответ: да, верно.

4) Раскроем скобки в левой части равенства: $(4,7c^2 - 6\frac{5}{7}) + (3\frac{4}{9} - 5c^2) - (0,7c^2 - 3\frac{5}{21}) = 4,7c^2 - 6\frac{5}{7} + 3\frac{4}{9} - 5c^2 - 0,7c^2 + 3\frac{5}{21}$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(4,7c^2 - 5c^2 - 0,7c^2) + (-6\frac{5}{7} + 3\frac{4}{9} + 3\frac{5}{21})$. Вычислим коэффициент при $c^2$: $4,7 - 5 - 0,7 = 4 - 5 = -1$. Теперь вычислим сумму свободных членов: $-6\frac{5}{7} + 3\frac{4}{9} + 3\frac{5}{21} = (-6+3+3) + (-\frac{5}{7} + \frac{4}{9} + \frac{5}{21})$. Целая часть равна $0$. Приведем дроби к общему знаменателю $63$: $-\frac{5 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{63} + \frac{5 \cdot 3}{63} = \frac{-45+28+15}{63} = \frac{-45+43}{63} = -\frac{2}{63}$. Таким образом, левая часть равна $-c^2 - \frac{2}{63}$. Правая часть равна $-c^2$. Так как $-c^2 - \frac{2}{63} \neq -c^2$, равенство неверно. Ответ: нет, неверно.

12.8. Упростите и найдите значение выражения:

1) $(20a^7 + 7a^3) - (57 + 20a^7)$ при $a = 2;$

2) $(17.3x^5 - 62) + (3x^2 - 17.3x^5)$ при $x = -5;$

3) $(8\frac{3}{4}b^4 + 9.1) - (2.7b^3 + 8.75b^4)$ при $b = \frac{1}{3};$

4) $(1\frac{44}{49} - 11.3y^4) + (6y^2 + 11.3y^4)$ при $y = -\frac{3}{7}.$

1)Упростим данное выражение, раскрыв скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в ней меняются на противоположные:
$(20a^7 + 7a^3) - (57 + 20a^7) = 20a^7 + 7a^3 - 57 - 20a^7$
Приведем подобные слагаемые. Члены $20a^7$ и $-20a^7$ взаимно уничтожаются:
$(20a^7 - 20a^7) + 7a^3 - 57 = 7a^3 - 57$
Теперь подставим значение $a = 2$ в упрощенное выражение:
$7 \cdot (2)^3 - 57 = 7 \cdot 8 - 57 = 56 - 57 = -1$
Ответ: $-1$

2)Упростим выражение, раскрыв скобки. Перед второй скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых не меняются:
$(17,3x^5 - 62) + (3x^2 - 17,3x^5) = 17,3x^5 - 62 + 3x^2 - 17,3x^5$
Приведем подобные слагаемые. Члены $17,3x^5$ и $-17,3x^5$ взаимно уничтожаются:
$(17,3x^5 - 17,3x^5) + 3x^2 - 62 = 3x^2 - 62$
Теперь подставим значение $x = -5$ в упрощенное выражение:
$3 \cdot (-5)^2 - 62 = 3 \cdot 25 - 62 = 75 - 62 = 13$
Ответ: $13$

3)Для удобства преобразуем смешанное число $8\frac{3}{4}$ в десятичную дробь: $8\frac{3}{4} = 8,75$. Теперь выражение выглядит так:
$(8,75b^4 + 9,1) - (2,7b^3 + 8,75b^4)$
Раскроем скобки, изменив знаки во второй скобке на противоположные:
$8,75b^4 + 9,1 - 2,7b^3 - 8,75b^4$
Приведем подобные слагаемые. Члены $8,75b^4$ и $-8,75b^4$ взаимно уничтожаются:
$(8,75b^4 - 8,75b^4) - 2,7b^3 + 9,1 = -2,7b^3 + 9,1$
Подставим значение $b = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение. Представим десятичную дробь $2,7$ в виде обыкновенной дроби $\frac{27}{10}$:
$-2,7 \cdot (\frac{1}{3})^3 + 9,1 = -\frac{27}{10} \cdot \frac{1^3}{3^3} + 9,1 = -\frac{27}{10} \cdot \frac{1}{27} + 9,1$
Сократим дробь:
$-\frac{1}{10} + 9,1 = -0,1 + 9,1 = 9$
Ответ: $9$

4)Упростим выражение, раскрыв скобки:
$(1\frac{44}{49} - 11,3y^4) + (6y^2 + 11,3y^4) = 1\frac{44}{49} - 11,3y^4 + 6y^2 + 11,3y^4$
Приведем подобные слагаемые. Члены $-11,3y^4$ и $11,3y^4$ взаимно уничтожаются:
$(-11,3y^4 + 11,3y^4) + 6y^2 + 1\frac{44}{49} = 6y^2 + 1\frac{44}{49}$
Теперь подставим значение $y = -\frac{3}{7}$ в упрощенное выражение:
$6 \cdot (-\frac{3}{7})^2 + 1\frac{44}{49} = 6 \cdot \frac{9}{49} + 1\frac{44}{49}$
Выполним умножение и сложение дробей. Для этого переведем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{44}{49} = \frac{1 \cdot 49 + 44}{49} = \frac{93}{49}$
$\frac{6 \cdot 9}{49} + \frac{93}{49} = \frac{54}{49} + \frac{93}{49} = \frac{54 + 93}{49} = \frac{147}{49}$
Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{147}{49} = 3$
Ответ: $3$

12.9. При каком значении переменной равно нулю значение выражения:

1) $(90 - 24,1a) - (15,9a + 86);$

2) $(4,5 - 0,23a) + (-2,9 + 0,13a);$

3) $(1,6a + \frac{1}{12}) - (0,5a - \frac{5}{6});$

4) $(18,7a - 3) + (2\frac{2}{7} - 13,7a)?$

Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения равно нулю, необходимо приравнять данное выражение к нулю и решить полученное уравнение.

1) $(90 - 24,1a) - (15,9a + 86)$

Приравниваем выражение к нулю:

$(90 - 24,1a) - (15,9a + 86) = 0$

Раскрываем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$90 - 24,1a - 15,9a - 86 = 0$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(90 - 86) + (-24,1a - 15,9a) = 0$

$4 - 40a = 0$

Переносим слагаемое без переменной в правую часть уравнения:

$-40a = -4$

Находим значение $a$:

$a = \frac{-4}{-40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: $0,1$.

2) $(4,5 - 0,23a) + (-2,9 + 0,13a)$

Приравниваем выражение к нулю:

$(4,5 - 0,23a) + (-2,9 + 0,13a) = 0$

Раскрываем скобки:

$4,5 - 0,23a - 2,9 + 0,13a = 0$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(4,5 - 2,9) + (-0,23a + 0,13a) = 0$

$1,6 - 0,1a = 0$

Переносим слагаемое с переменной в правую часть уравнения:

$1,6 = 0,1a$

Находим значение $a$:

$a = \frac{1,6}{0,1} = 16$

Ответ: $16$.

3) $(1,6a + \frac{1}{12}) - (0,5a - \frac{5}{6})$

Приравниваем выражение к нулю:

$(1,6a + \frac{1}{12}) - (0,5a - \frac{5}{6}) = 0$

Раскрываем скобки:

$1,6a + \frac{1}{12} - 0,5a + \frac{5}{6} = 0$

Группируем подобные слагаемые:

$(1,6a - 0,5a) + (\frac{1}{12} + \frac{5}{6}) = 0$

Выполняем вычисления. Приведем дроби к общему знаменателю $12$:

$1,1a + (\frac{1}{12} + \frac{10}{12}) = 0$

$1,1a + \frac{11}{12} = 0$

Представим десятичную дробь $1,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{11}{10}$:

$\frac{11}{10}a + \frac{11}{12} = 0$

Переносим дробь без переменной в правую часть уравнения:

$\frac{11}{10}a = -\frac{11}{12}$

Находим значение $a$, умножив обе части на $\frac{10}{11}$:

$a = -\frac{11}{12} \cdot \frac{10}{11} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}$

Ответ: $-\frac{5}{6}$.

4) $(18,7a - 3) + (2\frac{2}{7} - 13,7a)$

Приравниваем выражение к нулю:

$(18,7a - 3) + (2\frac{2}{7} - 13,7a) = 0$

Раскрываем скобки:

$18,7a - 3 + 2\frac{2}{7} - 13,7a = 0$

Группируем подобные слагаемые:

$(18,7a - 13,7a) + (-3 + 2\frac{2}{7}) = 0$

Выполняем вычисления. Представим смешанное число в виде неправильной дроби, а целое число в виде дроби со знаменателем $7$:

$5a + (-\frac{21}{7} + \frac{16}{7}) = 0$

$5a - \frac{5}{7} = 0$

Переносим дробь без переменной в правую часть уравнения:

$5a = \frac{5}{7}$

Находим значение $a$, разделив обе части на $5$:

$a = \frac{5}{7} \div 5 = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$.

Найдите сумму и разность многочленов (12.10–12.11):

12.10. 1) $5x^2 - 0,18y^3$ и $6,2x^2 + 7y^3$;

2) $-10,9b^3 + 43c$ и $60c + 11,1b^3$;

3) $76n^4 - 27,2t^2$ и $30t^2 - 80n^4$;

4) $88,1x - 64m^2$ и $41m^2 - 8,8x.$

1)

Находим сумму многочленов:

$(5x^2 - 0,18y^3) + (6,2x^2 + 7y^3) = (5x^2 + 6,2x^2) + (-0,18y^3 + 7y^3) = 11,2x^2 + 6,82y^3$.

Находим разность многочленов:

$(5x^2 - 0,18y^3) - (6,2x^2 + 7y^3) = (5x^2 - 6,2x^2) + (-0,18y^3 - 7y^3) = -1,2x^2 - 7,18y^3$.

Ответ: сумма: $11,2x^2 + 6,82y^3$; разность: $-1,2x^2 - 7,18y^3$.

2)

Находим сумму многочленов:

$(-10,9b^3 + 43c) + (60c + 11,1b^3) = (-10,9b^3 + 11,1b^3) + (43c + 60c) = 0,2b^3 + 103c$.

Находим разность многочленов:

$(-10,9b^3 + 43c) - (60c + 11,1b^3) = (-10,9b^3 - 11,1b^3) + (43c - 60c) = -22b^3 - 17c$.

Ответ: сумма: $0,2b^3 + 103c$; разность: $-22b^3 - 17c$.

3)

Находим сумму многочленов:

$(76n^4 - 27,2t^2) + (30t^2 - 80n^4) = (76n^4 - 80n^4) + (-27,2t^2 + 30t^2) = -4n^4 + 2,8t^2$.

Находим разность многочленов:

$(76n^4 - 27,2t^2) - (30t^2 - 80n^4) = 76n^4 - 27,2t^2 - 30t^2 + 80n^4 = (76n^4 + 80n^4) + (-27,2t^2 - 30t^2) = 156n^4 - 57,2t^2$.

Ответ: сумма: $-4n^4 + 2,8t^2$; разность: $156n^4 - 57,2t^2$.

4)

Находим сумму многочленов:

$(88,1x - 64m^2) + (41m^2 - 8,8x) = (-64m^2 + 41m^2) + (88,1x - 8,8x) = -23m^2 + 79,3x$.

Находим разность многочленов:

$(88,1x - 64m^2) - (41m^2 - 8,8x) = -64m^2 + 88,1x - 41m^2 + 8,8x = (-64m^2 - 41m^2) + (88,1x + 8,8x) = -105m^2 + 96,9x$.

Ответ: сумма: $-23m^2 + 79,3x$; разность: $-105m^2 + 96,9x$.

12.11. 1) $9\tfrac{1}{5}y + 81z^3$ и $39z^3 - 10y$;

2) $-51k^4 + 10\tfrac{3}{7}c^2$ и $12\tfrac{3}{7}c^2 + 19k^4$;

3) $29m^3 - 3,8t$ и $2,8t - 21\tfrac{11}{19}m^3$;

4) $100s^5 + 31\tfrac{5}{12}k$ и $40k - 92,8s^5$.

1) Чтобы найти сумму многочленов $9\frac{1}{5}y + 81z^3$ и $39z^3 - 10y$, сложим их и приведем подобные слагаемые. Запишем сумму и раскроем скобки:

$(9\frac{1}{5}y + 81z^3) + (39z^3 - 10y) = 9\frac{1}{5}y + 81z^3 + 39z^3 - 10y$

Сгруппируем подобные члены (члены с одинаковой переменной частью):

$(9\frac{1}{5}y - 10y) + (81z^3 + 39z^3)$

Выполним действия с коэффициентами для каждой группы. Для удобства переведем смешанную дробь в десятичную:

$9\frac{1}{5}y - 10y = (9,2 - 10)y = -0,8y = -\frac{4}{5}y$

$81z^3 + 39z^3 = (81 + 39)z^3 = 120z^3$

Запишем результат, обычно начиная с члена с большим показателем степени или в алфавитном порядке переменных, если показатели равны. В данном случае, запишем $z^3$ первым:

$120z^3 - \frac{4}{5}y$

Ответ: $120z^3 - \frac{4}{5}y$.

2) Найдем сумму многочленов $-51k^4 + 10\frac{3}{7}c^2$ и $12\frac{3}{7}c^2 + 19k^4$.

$(-51k^4 + 10\frac{3}{7}c^2) + (12\frac{3}{7}c^2 + 19k^4) = -51k^4 + 10\frac{3}{7}c^2 + 12\frac{3}{7}c^2 + 19k^4$

Сгруппируем подобные члены:

$(-51k^4 + 19k^4) + (10\frac{3}{7}c^2 + 12\frac{3}{7}c^2)$

Вычислим коэффициенты:

$-51 + 19 = -32$

$10\frac{3}{7} + 12\frac{3}{7} = (10+12) + (\frac{3}{7} + \frac{3}{7}) = 22 + \frac{6}{7} = 22\frac{6}{7}$

Результатом сложения является многочлен:

$-32k^4 + 22\frac{6}{7}c^2$

Ответ: $-32k^4 + 22\frac{6}{7}c^2$.

3) Найдем сумму многочленов $29m^3 - 3,8t$ и $2,8t - 21\frac{11}{19}m^3$.

$(29m^3 - 3,8t) + (2,8t - 21\frac{11}{19}m^3) = 29m^3 - 3,8t + 2,8t - 21\frac{11}{19}m^3$

Сгруппируем подобные члены:

$(29m^3 - 21\frac{11}{19}m^3) + (-3,8t + 2,8t)$

Вычислим коэффициенты. Для вычитания смешанной дроби из целого числа, "займем" единицу у целого:

$29 - 21\frac{11}{19} = 28\frac{19}{19} - 21\frac{11}{19} = (28-21) + (\frac{19-11}{19}) = 7\frac{8}{19}$

$-3,8 + 2,8 = -1$

Сумма многочленов равна:

$7\frac{8}{19}m^3 - t$

Ответ: $7\frac{8}{19}m^3 - t$.

4) Найдем сумму многочленов $100s^5 + 31\frac{5}{12}k$ и $40k - 92,8s^5$.

$(100s^5 + 31\frac{5}{12}k) + (40k - 92,8s^5) = 100s^5 + 31\frac{5}{12}k + 40k - 92,8s^5$

Сгруппируем подобные члены:

$(100s^5 - 92,8s^5) + (31\frac{5}{12}k + 40k)$

Вычислим коэффициенты:

$100 - 92,8 = 7,2$

$31\frac{5}{12} + 40 = 71\frac{5}{12}$

Итоговый многочлен:

$7,2s^5 + 71\frac{5}{12}k$

Ответ: $7,2s^5 + 71\frac{5}{12}k$.