Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Запишите в виде многочленов произведения (13.1–13.6):

13.1. 1) $a(a - c + 1)$;

2) $-c(m + n - 3)$;

3) $5x(x + y^2 - 5)$;

4) $4y(y + x^2 - 6)$;

5) $-xy(3y^2 + 2x)$;

6) $mn(7 - m + 8n^2)$;

7) $2^2xy(4x - 3y + 5xy)$;

8) $-3a^2b(2a + 5b - 7ab).$

1) Чтобы записать произведение одночлена $a$ и многочлена $(a - c + 1)$ в виде многочлена, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена, используя распределительное свойство умножения: $a(a - c + 1) = a \cdot a + a \cdot (-c) + a \cdot 1$. Выполним умножение: $a \cdot a = a^2$, $a \cdot (-c) = -ac$, $a \cdot 1 = a$. Сложим полученные произведения: $a^2 - ac + a$.
Ответ: $a^2 - ac + a$

2) Умножим одночлен $-c$ на каждый член многочлена $(m + n - 3)$: $-c(m + n - 3) = (-c) \cdot m + (-c) \cdot n + (-c) \cdot (-3)$. Выполним умножение: $(-c) \cdot m = -cm$, $(-c) \cdot n = -cn$, $(-c) \cdot (-3) = 3c$. В результате получаем многочлен: $-cm - cn + 3c$.
Ответ: $-cm - cn + 3c$

3) Для преобразования произведения $5x(x + y^2 - 5)$ в многочлен, умножим $5x$ на каждый член в скобках: $5x \cdot x + 5x \cdot y^2 + 5x \cdot (-5)$. Выполним умножение: $5x \cdot x = 5x^2$, $5x \cdot y^2 = 5xy^2$, $5x \cdot (-5) = -25x$. Получаем многочлен: $5x^2 + 5xy^2 - 25x$.
Ответ: $5x^2 + 5xy^2 - 25x$

4) Умножим одночлен $4y$ на многочлен $(y + x^2 - 6)$: $4y(y + x^2 - 6) = 4y \cdot y + 4y \cdot x^2 + 4y \cdot (-6)$. Выполним действия: $4y \cdot y = 4y^2$, $4y \cdot x^2 = 4x^2y$, $4y \cdot (-6) = -24y$. Запишем итоговый многочлен: $4y^2 + 4x^2y - 24y$.
Ответ: $4y^2 + 4x^2y - 24y$

5) Чтобы раскрыть скобки в выражении $-xy(3y^2 + 2x)$, умножим $-xy$ на каждый член многочлена: $(-xy) \cdot 3y^2 + (-xy) \cdot 2x$. Выполним умножение: $(-xy) \cdot 3y^2 = -3x(y \cdot y^2) = -3xy^3$, $(-xy) \cdot 2x = -2(x \cdot x)y = -2x^2y$. Результат: $-3xy^3 - 2x^2y$.
Ответ: $-3xy^3 - 2x^2y$

6) Преобразуем произведение $mn(7 - m + 8n^2)$ в многочлен, умножая $mn$ на каждый член в скобках: $mn \cdot 7 + mn \cdot (-m) + mn \cdot 8n^2$. Выполним умножение: $mn \cdot 7 = 7mn$, $mn \cdot (-m) = -m^2n$, $mn \cdot 8n^2 = 8mn^3$. Получаем многочлен: $7mn - m^2n + 8mn^3$.
Ответ: $7mn - m^2n + 8mn^3$

7) Сначала вычислим коэффициент $2^2 = 4$. Выражение принимает вид $4xy(4x - 3y + 5xy)$. Теперь умножим одночлен $4xy$ на каждый член многочлена: $4xy \cdot 4x + 4xy \cdot (-3y) + 4xy \cdot 5xy$. Выполним умножение: $4xy \cdot 4x = 16x^2y$, $4xy \cdot (-3y) = -12xy^2$, $4xy \cdot 5xy = 20x^2y^2$. Итоговый многочлен: $16x^2y - 12xy^2 + 20x^2y^2$.
Ответ: $16x^2y - 12xy^2 + 20x^2y^2$

8) Умножим одночлен $-3a^2b$ на каждый член многочлена $(2a + 5b - 7ab)$: $(-3a^2b) \cdot 2a + (-3a^2b) \cdot 5b + (-3a^2b) \cdot (-7ab)$. Выполним умножение: $(-3a^2b) \cdot 2a = -6a^3b$, $(-3a^2b) \cdot 5b = -15a^2b^2$, $(-3a^2b) \cdot (-7ab) = 21a^3b^2$. Запишем результат: $-6a^3b - 15a^2b^2 + 21a^3b^2$.
Ответ: $-6a^3b - 15a^2b^2 + 21a^3b^2$

13.2. 1) $(x - a) (x + y);$

2) $(a + z) (n - m);$

3) $(t + s) (b + k);$

4) $(c - d) (x - y);$

5) $(a + 2) (b - 3);$

6) $(4 - b) (5 + c);$

7) $(d - 4) (t + 5);$

8) $(k - 6) (7 - d).$

1) Чтобы найти произведение двух многочленов $(x-a)$ и $(x+y)$, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения. Это правило также известно как правило фонтанчика или FOIL (First, Outer, Inner, Last).
$(x-a)(x+y) = x \cdot x + x \cdot y + (-a) \cdot x + (-a) \cdot y = x^2 + xy - ax - ay$.
Подобных слагаемых в полученном выражении нет, поэтому это окончательный вид многочлена.
Ответ: $x^2 + xy - ax - ay$.

2) Умножим многочлен $(a+z)$ на $(n-m)$, применяя правило умножения многочлена на многочлен (каждый член первого на каждый член второго):
$(a+z)(n-m) = a \cdot n + a \cdot (-m) + z \cdot n + z \cdot (-m) = an - am + zn - zm$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $an - am + zn - zm$.

3) Выполним умножение двучленов $(t+s)$ и $(b+k)$:
$(t+s)(b+k) = t \cdot b + t \cdot k + s \cdot b + s \cdot k = tb + tk + sb + sk$.
Подобных слагаемых нет.
Ответ: $tb + tk + sb + sk$.

4) Найдем произведение $(c-d)(x-y)$, обращая внимание на знаки при раскрытии скобок:
$(c-d)(x-y) = c \cdot x + c \cdot (-y) + (-d) \cdot x + (-d) \cdot (-y) = cx - cy - dx + dy$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $cx - cy - dx + dy$.

5) Умножим $(a+2)$ на $(b-3)$:
$(a+2)(b-3) = a \cdot b + a \cdot (-3) + 2 \cdot b + 2 \cdot (-3) = ab - 3a + 2b - 6$.
Подобных слагаемых нет.
Ответ: $ab - 3a + 2b - 6$.

6) Выполним умножение $(4-b)$ на $(5+c)$:
$(4-b)(5+c) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot c + (-b) \cdot 5 + (-b) \cdot c = 20 + 4c - 5b - bc$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $20 + 4c - 5b - bc$.

7) Найдем произведение $(d-4)(t+5)$:
$(d-4)(t+5) = d \cdot t + d \cdot 5 + (-4) \cdot t + (-4) \cdot 5 = dt + 5d - 4t - 20$.
Подобных слагаемых нет.
Ответ: $dt + 5d - 4t - 20$.

8) Умножим $(k-6)$ на $(7-d)$:
$(k-6)(7-d) = k \cdot 7 + k \cdot (-d) + (-6) \cdot 7 + (-6) \cdot (-d) = 7k - kd - 42 + 6d$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $7k - kd - 42 + 6d$.

13.3.

1) $(x-7)(x+8)$;

2) $(9-y)(y+5)$;

3) $(a+6)(4-a)$;

4) $(2-b)(b+3)$;

5) $(10-c)(9-c)$;

6) $(d+3)(d+11).

1) Чтобы найти произведение двучленов $(x-7)$ и $(x+8)$, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена и сложить полученные произведения.
$(x-7)(x+8) = x \cdot x + x \cdot 8 - 7 \cdot x - 7 \cdot 8 = x^2 + 8x - 7x - 56$.
Далее приводим подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью ($8x$ и $-7x$):
$x^2 + (8x - 7x) - 56 = x^2 + x - 56$.
Ответ: $x^2 + x - 56$

2) Умножим двучлен $(9-y)$ на $(y+5)$, применяя правило умножения многочленов.
$(9-y)(y+5) = 9 \cdot y + 9 \cdot 5 - y \cdot y - y \cdot 5 = 9y + 45 - y^2 - 5y$.
Приведем подобные слагаемые ($9y$ и $-5y$) и запишем полученный многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней переменной $y$:
$-y^2 + (9y - 5y) + 45 = -y^2 + 4y + 45$.
Ответ: $-y^2 + 4y + 45$

3) Найдем произведение двучленов $(a+6)$ и $(4-a)$.
$(a+6)(4-a) = a \cdot 4 + a \cdot (-a) + 6 \cdot 4 + 6 \cdot (-a) = 4a - a^2 + 24 - 6a$.
Приведем подобные слагаемые ($4a$ и $-6a$) и запишем результат в стандартном виде:
$-a^2 + (4a - 6a) + 24 = -a^2 - 2a + 24$.
Ответ: $-a^2 - 2a + 24$

4) Умножим двучлен $(2-b)$ на $(b+3)$.
$(2-b)(b+3) = 2 \cdot b + 2 \cdot 3 - b \cdot b - b \cdot 3 = 2b + 6 - b^2 - 3b$.
Приведем подобные слагаемые ($2b$ и $-3b$) и запишем результат в стандартном виде:
$-b^2 + (2b - 3b) + 6 = -b^2 - b + 6$.
Ответ: $-b^2 - b + 6$

5) Найдем произведение двучленов $(10-c)$ и $(9-c)$.
$(10-c)(9-c) = 10 \cdot 9 + 10 \cdot (-c) - c \cdot 9 - c \cdot (-c) = 90 - 10c - 9c + c^2$.
Приведем подобные слагаемые ($-10c$ и $-9c$) и запишем результат в стандартном виде:
$c^2 - 10c - 9c + 90 = c^2 - 19c + 90$.
Ответ: $c^2 - 19c + 90$

6) Умножим двучлен $(d+3)$ на $(d+11)$.
$(d+3)(d+11) = d \cdot d + d \cdot 11 + 3 \cdot d + 3 \cdot 11 = d^2 + 11d + 3d + 33$.
Приведем подобные слагаемые ($11d$ и $3d$):
$d^2 + (11d + 3d) + 33 = d^2 + 14d + 33$.
Ответ: $d^2 + 14d + 33$

13.4.

1) $(b + 3)(b^2 - b - 7);$

2) $(2 - a)(16 - a + a^2);$

3) $(a + 4)(a^2 + a - 2);$

4) $(5 - b)(4 - b - b^2);$

5) $(3xy - 4)(6 + xy);$

6) $(4nm + 3)(nm - 8).$

1) Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена $(b+3)$ на каждый член второго многочлена $(b^2-b-7)$:
$(b+3)(b^2-b-7) = b \cdot (b^2-b-7) + 3 \cdot (b^2-b-7) = b^3 - b^2 - 7b + 3b^2 - 3b - 21$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$b^3 + (-b^2 + 3b^2) + (-7b - 3b) - 21 = b^3 + 2b^2 - 10b - 21$.
Ответ: $b^3 + 2b^2 - 10b - 21$.

2) Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена $(2-a)$ на каждый член второго многочлена $(16-a+a^2)$:
$(2-a)(16-a+a^2) = 2 \cdot (16-a+a^2) - a \cdot (16-a+a^2) = 32 - 2a + 2a^2 - 16a + a^2 - a^3$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их по убыванию степеней переменной $a$:
$-a^3 + (2a^2 + a^2) + (-2a - 16a) + 32 = -a^3 + 3a^2 - 18a + 32$.
Ответ: $-a^3 + 3a^2 - 18a + 32$.

3) Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена $(a+4)$ на каждый член второго многочлена $(a^2+a-2)$:
$(a+4)(a^2+a-2) = a \cdot (a^2+a-2) + 4 \cdot (a^2+a-2) = a^3 + a^2 - 2a + 4a^2 + 4a - 8$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (a^2 + 4a^2) + (-2a + 4a) - 8 = a^3 + 5a^2 + 2a - 8$.
Ответ: $a^3 + 5a^2 + 2a - 8$.

4) Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена $(5-b)$ на каждый член второго многочлена $(4-b-b^2)$:
$(5-b)(4-b-b^2) = 5 \cdot (4-b-b^2) - b \cdot (4-b-b^2) = (20 - 5b - 5b^2) - (4b - b^2 - b^3) = 20 - 5b - 5b^2 - 4b + b^2 + b^3$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их по убыванию степеней переменной $b$:
$b^3 + (-5b^2 + b^2) + (-5b - 4b) + 20 = b^3 - 4b^2 - 9b + 20$.
Ответ: $b^3 - 4b^2 - 9b + 20$.

5) Раскроем скобки по правилу умножения многочленов (можно использовать мнемоническое правило FOIL):
$(3xy-4)(6+xy) = (3xy \cdot 6) + (3xy \cdot xy) + (-4 \cdot 6) + (-4 \cdot xy) = 18xy + 3x^2y^2 - 24 - 4xy$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$3x^2y^2 + (18xy - 4xy) - 24 = 3x^2y^2 + 14xy - 24$.
Ответ: $3x^2y^2 + 14xy - 24$.

6) Раскроем скобки по правилу умножения многочленов. Можно для удобства рассматривать $nm$ как одну переменную:
$(4nm+3)(nm-8) = (4nm \cdot nm) + (4nm \cdot (-8)) + (3 \cdot nm) + (3 \cdot (-8)) = 4n^2m^2 - 32nm + 3nm - 24$.
Приведем подобные слагаемые:
$4n^2m^2 + (-32nm + 3nm) - 24 = 4n^2m^2 - 29nm - 24$.
Ответ: $4n^2m^2 - 29nm - 24$.

13.5.

1) $(a^3 - 2a - 4)(-a + 5)$;

2) $(7b - 20)(2 - b + 4b^2)$;

3) $(-3c^2 + c - 9)(5c + 6)$;

4) $(4 - 3d + 2d^2)(1 - 7d)$.

1) Чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить.
$(a^3 - 2a - 4)(-a + 5) = a^3 \cdot (-a) + a^3 \cdot 5 - 2a \cdot (-a) - 2a \cdot 5 - 4 \cdot (-a) - 4 \cdot 5 = -a^4 + 5a^3 + 2a^2 - 10a + 4a - 20$
Теперь приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):
$-a^4 + 5a^3 + 2a^2 + (-10a + 4a) - 20 = -a^4 + 5a^3 + 2a^2 - 6a - 20$
Ответ: $-a^4 + 5a^3 + 2a^2 - 6a - 20$

2) Умножим многочлен $(7b - 20)$ на многочлен $(2 - b + 4b^2)$. Для удобства вычислений можно расположить члены второго многочлена по убыванию степеней: $(4b^2 - b + 2)$.
$(7b - 20)(4b^2 - b + 2) = 7b \cdot 4b^2 + 7b \cdot (-b) + 7b \cdot 2 - 20 \cdot 4b^2 - 20 \cdot (-b) - 20 \cdot 2 = 28b^3 - 7b^2 + 14b - 80b^2 + 20b - 40$
Приведем подобные слагаемые:
$28b^3 + (-7b^2 - 80b^2) + (14b + 20b) - 40 = 28b^3 - 87b^2 + 34b - 40$
Ответ: $28b^3 - 87b^2 + 34b - 40$

3) Умножим многочлен $(-3c^2 + c - 9)$ на многочлен $(5c + 6)$.
$(-3c^2 + c - 9)(5c + 6) = -3c^2 \cdot 5c + (-3c^2) \cdot 6 + c \cdot 5c + c \cdot 6 - 9 \cdot 5c - 9 \cdot 6 = -15c^3 - 18c^2 + 5c^2 + 6c - 45c - 54$
Приведем подобные слагаемые:
$-15c^3 + (-18c^2 + 5c^2) + (6c - 45c) - 54 = -15c^3 - 13c^2 - 39c - 54$
Ответ: $-15c^3 - 13c^2 - 39c - 54$

4) Умножим многочлен $(4 - 3d + 2d^2)$ на многочлен $(1 - 7d)$. Для удобства расположим члены многочленов по убыванию степеней: $(2d^2 - 3d + 4)(-7d + 1)$.
$(2d^2 - 3d + 4)(-7d + 1) = 2d^2 \cdot (-7d) + 2d^2 \cdot 1 - 3d \cdot (-7d) - 3d \cdot 1 + 4 \cdot (-7d) + 4 \cdot 1 = -14d^3 + 2d^2 + 21d^2 - 3d - 28d + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$-14d^3 + (2d^2 + 21d^2) + (-3d - 28d) + 4 = -14d^3 + 23d^2 - 31d + 4$
Ответ: $-14d^3 + 23d^2 - 31d + 4$