Страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.21. Докажите тождество:

1)

$(-9k^4t^2 + 11k^3t) - (19k^3t - 8k^4t^2) + (10k^4t^2 + 8k^3t) = 9k^4t^2$;

2)

$(5n^3m^2 - n^3m^3) - (7n^3m^3 + 10n^3m^2) + (6n^3m^2 + 8n^3m^3) = n^3m^2$.

1) Чтобы доказать тождество, необходимо упростить его левую часть и показать, что она равна правой.

Рассмотрим левую часть выражения: $(-9k^4t^2 + 11k^3t) - (19k^3t - 8k^4t^2) + (10k^4t^2 + 8k^3t)$.

Шаг 1: Раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «минус», то знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные. Если стоит знак «плюс», знаки не меняются.

$-9k^4t^2 + 11k^3t - 19k^3t + 8k^4t^2 + 10k^4t^2 + 8k^3t$

Шаг 2: Сгруппируем подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

Слагаемые с $k^4t^2$: $-9k^4t^2 + 8k^4t^2 + 10k^4t^2$

Слагаемые с $k^3t$: $11k^3t - 19k^3t + 8k^3t$

Шаг 3: Приведем подобные слагаемые, выполнив действия с их коэффициентами.

$(-9 + 8 + 10)k^4t^2 + (11 - 19 + 8)k^3t = 9k^4t^2 + 0 \cdot k^3t = 9k^4t^2$

В результате упрощения левая часть выражения равна $9k^4t^2$. Правая часть исходного тождества также равна $9k^4t^2$.

Поскольку $9k^4t^2 = 9k^4t^2$, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем второе тождество, упростив его левую часть по аналогии с первым примером.

Рассмотрим левую часть выражения: $(5n^3m^2 - n^3m^3) - (7n^3m^3 + 10n^3m^2) + (6n^3m^2 + 8n^3m^3)$.

Шаг 1: Раскроем скобки.

$5n^3m^2 - n^3m^3 - 7n^3m^3 - 10n^3m^2 + 6n^3m^2 + 8n^3m^3$

Шаг 2: Сгруппируем подобные слагаемые.

Слагаемые с $n^3m^2$: $5n^3m^2 - 10n^3m^2 + 6n^3m^2$

Слагаемые с $n^3m^3$: $-n^3m^3 - 7n^3m^3 + 8n^3m^3$

Шаг 3: Приведем подобные слагаемые.

$(5 - 10 + 6)n^3m^2 + (-1 - 7 + 8)n^3m^3 = 1 \cdot n^3m^2 + 0 \cdot n^3m^3 = n^3m^2$

В результате упрощения левая часть выражения равна $n^3m^2$. Правая часть исходного тождества также равна $n^3m^2$.

Поскольку $n^3m^2 = n^3m^2$, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

12.22. Выполните действия:

$(11\frac{5}{8} : 15.5 + 4.25 - 3\frac{7}{9}) \cdot \frac{9}{22} - 0.59.$

Для решения данного выражения выполним действия в соответствии с их порядком: сначала операции в скобках (деление, затем сложение и вычитание), после этого умножение и, наконец, последнее вычитание.

1) $11\frac{5}{8} : 15,5$

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби.

$11\frac{5}{8} = \frac{11 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{88 + 5}{8} = \frac{93}{8}$

$15,5 = 15\frac{5}{10} = 15\frac{1}{2} = \frac{15 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{31}{2}$

Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{93}{8} : \frac{31}{2} = \frac{93}{8} \cdot \frac{2}{31} = \frac{93 \cdot 2}{8 \cdot 31}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{^3\cancel{93} \cdot ^1\cancel{2}}{_4\cancel{8} \cdot _1\cancel{31}} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$

2) $\frac{3}{4} + 4,25$

Преобразуем десятичную дробь $4,25$ в обыкновенную дробь $4\frac{1}{4}$ и прибавим к результату первого действия.

$4,25 = 4\frac{25}{100} = 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$

$\frac{3}{4} + \frac{17}{4} = \frac{3+17}{4} = \frac{20}{4} = 5$

3) $5 - 3\frac{7}{9}$

Из результата второго действия вычтем смешанное число $3\frac{7}{9}$.

$5 - 3\frac{7}{9} = 5 - \frac{3 \cdot 9 + 7}{9} = 5 - \frac{34}{9} = \frac{5 \cdot 9}{9} - \frac{34}{9} = \frac{45 - 34}{9} = \frac{11}{9}$

4) $\frac{11}{9} \cdot \frac{9}{22}$

Результат всех действий в скобках, $\frac{11}{9}$, умножим на $\frac{9}{22}$.

$\frac{11}{9} \cdot \frac{9}{22} = \frac{^1\cancel{11} \cdot ^1\cancel{9}}{_1\cancel{9} \cdot _2\cancel{22}} = \frac{1}{2}$

5) $\frac{1}{2} - 0,59$

Преобразуем дробь $\frac{1}{2}$ в десятичную, чтобы выполнить последнее вычитание.

$\frac{1}{2} = 0,5$

$0,5 - 0,59 = -0,09$

Ответ: $-0,09$.

12.23. Напишите формулу, выражающую длину пути, пройденного автомобилем за $b$ ч со скоростью 90 км/ч. Найдите длину пути, если $b=3\frac{1}{3}$.

Напишите формулу, выражающую длину пути, пройденного автомобилем за $b$ ч со скоростью 90 км/ч.

Для нахождения длины пути ($S$) необходимо умножить скорость ($v$) на время в пути ($t$). Общая формула выглядит так: $S = v \cdot t$.
По условию задачи, скорость автомобиля $v = 90$ км/ч, а время в пути $t = b$ ч.
Подставив эти значения в общую формулу, получим формулу для данной задачи: $S = 90 \cdot b$.

Найдите длину пути, если $b = 3\frac{1}{3}$.

Теперь подставим заданное значение времени $b = 3\frac{1}{3}$ ч в полученную формулу.
Сначала представим смешанное число $3\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби:
$b = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ ч.
Теперь вычислим длину пути $S$:
$S = 90 \cdot \frac{10}{3} = \frac{90 \cdot 10}{3} = 30 \cdot 10 = 300$ (км).

Ответ: формула для длины пути: $S = 90b$; длина пути при $b = 3\frac{1}{3}$ ч равна 300 км.