Страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.14. Решите уравнение:

1) $(x^2 + 1)(x - 2) - x^3 = -2x^2;$

2) $(3 - y)(1 - y^2) + 3y^2 = y^3;$

3) $(z - 6)(z + 5) - (z - 2)z = 30;$

4) $3a(a - 3) + a(2 - 3a) = -100,59.$

1) $(x^2+1)(x-2) - x^3 = -2x^2$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки в левой части. Для этого умножим каждый член первого многочлена $(x^2+1)$ на каждый член второго многочлена $(x-2)$:

$x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) - x^3 = -2x^2$

$x^3 - 2x^2 + x - 2 - x^3 = -2x^2$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^3 - x^3) - 2x^2 + x - 2 = -2x^2$

$-2x^2 + x - 2 = -2x^2$

Прибавим к обеим частям уравнения $2x^2$, чтобы избавиться от членов с $x^2$:

$-2x^2 + x - 2 + 2x^2 = -2x^2 + 2x^2$

$x - 2 = 0$

Перенесем $-2$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 2$

Ответ: $2$.

2) $(3-y)(1-y^2) + 3y^2 = y^3$

Раскроем скобки, перемножив многочлены $(3-y)$ и $(1-y^2)$:

$3 \cdot 1 + 3 \cdot (-y^2) - y \cdot 1 - y \cdot (-y^2) + 3y^2 = y^3$

$3 - 3y^2 - y + y^3 + 3y^2 = y^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3 - y + (-3y^2 + 3y^2) + y^3 = y^3$

$3 - y + y^3 = y^3$

Вычтем $y^3$ из обеих частей уравнения:

$3 - y + y^3 - y^3 = y^3 - y^3$

$3 - y = 0$

Перенесем $-y$ в правую часть, изменив знак:

$3 = y$

Ответ: $3$.

3) $(z-6)(z+5) - (z-2)z = 30$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Сначала перемножим $(z-6)$ и $(z+5)$, а затем умножим $(z-2)$ на $z$:

$(z \cdot z + z \cdot 5 - 6 \cdot z - 6 \cdot 5) - (z \cdot z - 2 \cdot z) = 30$

$(z^2 + 5z - 6z - 30) - (z^2 - 2z) = 30$

Упростим выражение в первых скобках и раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$z^2 - z - 30 - z^2 + 2z = 30$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(z^2 - z^2) + (-z + 2z) - 30 = 30$

$z - 30 = 30$

Перенесем $-30$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$z = 30 + 30$

$z = 60$

Ответ: $60$.

4) $3a(a-3) + a(2-3a) = -100,59$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительный закон умножения:

$(3a \cdot a + 3a \cdot (-3)) + (a \cdot 2 + a \cdot (-3a)) = -100,59$

$3a^2 - 9a + 2a - 3a^2 = -100,59$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3a^2 - 3a^2) + (-9a + 2a) = -100,59$

$-7a = -100,59$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на $-7$:

$a = \frac{-100,59}{-7}$

$a = 14,37$

Ответ: $14,37$.

13.15. Решите уравнение:

1)

$(x+10)(x-9)-(x-8)^2=0;$

2)

$(x+11)(x+9)-(x-3)(x+40)=0;$

3)

$(x-6)(7+x)+(3-x)(3+x)=0;$

4)

$(x-4)(4+x)-(1-x)(9-x)=0.$

1) $(x+10)(x-9)-(x-8)^2 = 0$

Сначала раскроем скобки в уравнении. Для первого произведения применим правило умножения многочленов, а для второго воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x \cdot x - 9x + 10x - 10 \cdot 9) - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2) = 0$

$(x^2 + x - 90) - (x^2 - 16x + 64) = 0$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$x^2 + x - 90 - x^2 + 16x - 64 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + (x + 16x) + (-90 - 64) = 0$

$17x - 154 = 0$

Перенесем число -154 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$17x = 154$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 17:

$x = \frac{154}{17}$

Ответ: $x = \frac{154}{17}$.

2) $(x+11)(x+9)-(x-3)(x+40) = 0$

Раскроем скобки в каждом произведении, умножая многочлены:

$(x^2 + 9x + 11x + 11 \cdot 9) - (x^2 + 40x - 3x - 3 \cdot 40) = 0$

$(x^2 + 20x + 99) - (x^2 + 37x - 120) = 0$

Раскроем вторые скобки, изменяя знаки слагаемых на противоположные:

$x^2 + 20x + 99 - x^2 - 37x + 120 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + (20x - 37x) + (99 + 120) = 0$

$-17x + 219 = 0$

Перенесем слагаемое, содержащее $x$, в правую часть, чтобы избавиться от знака "минус":

$219 = 17x$

Найдем $x$, разделив 219 на 17:

$x = \frac{219}{17}$

Ответ: $x = \frac{219}{17}$.

3) $(x-6)(7+x)+(3-x)(3+x) = 0$

Раскроем скобки. Первое произведение — обычным перемножением, а второе — по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(7x + x^2 - 42 - 6x) + (3^2 - x^2) = 0$

$(x^2 + x - 42) + (9 - x^2) = 0$

Теперь уберем скобки:

$x^2 + x - 42 + 9 - x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + x + (-42 + 9) = 0$

$x - 33 = 0$

Найдем $x$:

$x = 33$

Ответ: $x = 33$.

4) $(x-4)(4+x)-(1-x)(9-x) = 0$

Первое произведение является разностью квадратов $(x-a)(x+a) = x^2 - a^2$. Раскроем все скобки.

$(x^2 - 4^2) - (1 \cdot 9 - 1 \cdot x - x \cdot 9 + x \cdot x) = 0$

$(x^2 - 16) - (9 - x - 9x + x^2) = 0$

$(x^2 - 16) - (x^2 - 10x + 9) = 0$

Раскроем вторые скобки:

$x^2 - 16 - x^2 + 10x - 9 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + 10x + (-16 - 9) = 0$

$10x - 25 = 0$

Перенесем -25 в правую часть:

$10x = 25$

Найдем $x$:

$x = \frac{25}{10} = 2.5$

Ответ: $x = 2.5$.

13.16. Решите неравенство:

1) $(a+6)(a-5)-a^2 \le 0;$

2) $a^2-(a-2)(a+4) > 0;$

3) $(2a-1)(a-4)-2a^2 \ge 0,$

4) $3a^2+(2-a)(4+3a) < 0.$

1) Дано неравенство $(a+6)(a-5)-a^2 \le 0$.
Для его решения сначала раскроем скобки, перемножив двучлены:
$(a+6)(a-5) = a \cdot a + a \cdot (-5) + 6 \cdot a + 6 \cdot (-5) = a^2 - 5a + 6a - 30 = a^2 + a - 30$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:
$(a^2 + a - 30) - a^2 \le 0$.
Приведем подобные слагаемые, сократив $a^2$ и $-a^2$:
$a - 30 \le 0$.
Это линейное неравенство. Перенесем свободный член в правую часть, изменив его знак:
$a \le 30$.
Это означает, что решением являются все числа, которые меньше или равны 30. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 30]$.
Ответ: $(-\infty; 30]$.

2) Дано неравенство $a^2 - (a-2)(a+4) > 0$.
Раскроем скобки в произведении:
$(a-2)(a+4) = a \cdot a + a \cdot 4 - 2 \cdot a - 2 \cdot 4 = a^2 + 4a - 2a - 8 = a^2 + 2a - 8$.
Подставим результат в неравенство. Важно учесть знак минус перед скобками, который изменит знаки всех слагаемых внутри них:
$a^2 - (a^2 + 2a - 8) > 0$
$a^2 - a^2 - 2a + 8 > 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$-2a + 8 > 0$.
Перенесем 8 в правую часть неравенства:
$-2a > -8$.
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a < \frac{-8}{-2}$
$a < 4$.
Решением является промежуток $(-\infty; 4)$.
Ответ: $(-\infty; 4)$.

3) Дано неравенство $(2a-1)(a-4)-2a^2 \ge 0$.
Сначала раскроем скобки:
$(2a-1)(a-4) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-4) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-4) = 2a^2 - 8a - a + 4 = 2a^2 - 9a + 4$.
Подставим полученное выражение в неравенство:
$(2a^2 - 9a + 4) - 2a^2 \ge 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$2a^2 - 2a^2 - 9a + 4 \ge 0$
$-9a + 4 \ge 0$.
Перенесем 4 в правую часть:
$-9a \ge -4$.
Разделим обе части на -9. При этом знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le \frac{-4}{-9}$
$a \le \frac{4}{9}$.
Решением является промежуток $(-\infty; \frac{4}{9}]$.
Ответ: $(-\infty; \frac{4}{9}]$.

4) Дано неравенство $3a^2+(2-a)(4+3a) < 0$.
Раскроем скобки в произведении:
$(2-a)(4+3a) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 3a - a \cdot 4 - a \cdot 3a = 8 + 6a - 4a - 3a^2 = 8 + 2a - 3a^2$.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$3a^2 + (8 + 2a - 3a^2) < 0$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3a^2 + 8 + 2a - 3a^2 < 0$
$2a + 8 < 0$.
Перенесем 8 в правую часть:
$2a < -8$.
Разделим обе части на 2:
$a < \frac{-8}{2}$
$a < -4$.
Решением является промежуток $(-\infty; -4)$.
Ответ: $(-\infty; -4)$.

13.17. Докажите тождество:

1) $b(b - 4) + (b - 8)(b + 9) - 2(b - 3)^2 = 9b - 90;$

2) $(c + 2)^2 - (c - 4)(3 - c) - 0,5(4c^2 - 1) = 16,5 - 3c;$

3) $(d - 4)(d^2 + d + 1) - d(d^2 - 3) = -3d^2 - 4;$

4) $(k + 7)(k - 6) - 2(k - 2)^2 + (k - 3)^2 = 3k - 41.$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $b(b-4) + (b-8)(b+9) - 2(b-3)^2$ и сравним с правой частью $9b - 90$.

Последовательно раскроем скобки:

$b(b-4) = b^2 - 4b$

$(b-8)(b+9) = b^2 + 9b - 8b - 72 = b^2 + b - 72$

$2(b-3)^2 = 2(b^2 - 6b + 9) = 2b^2 - 12b + 18$

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$(b^2 - 4b) + (b^2 + b - 72) - (2b^2 - 12b + 18)$

Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$b^2 - 4b + b^2 + b - 72 - 2b^2 + 12b - 18 = (b^2 + b^2 - 2b^2) + (-4b + b + 12b) + (-72 - 18) = 9b - 90$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $9b - 90$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества $(c+2)^2 - (c-4)(3-c) - 0.5(4c^2 - 1)$ и сравним её с правой частью $16.5 - 3c$.

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$(c+2)^2 = c^2 + 4c + 4$

$(c-4)(3-c) = 3c - c^2 - 12 + 4c = -c^2 + 7c - 12$

$0.5(4c^2 - 1) = 2c^2 - 0.5$

Подставим полученные выражения в левую часть и выполним вычитание:

$(c^2 + 4c + 4) - (-c^2 + 7c - 12) - (2c^2 - 0.5) = c^2 + 4c + 4 + c^2 - 7c + 12 - 2c^2 + 0.5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + c^2 - 2c^2) + (4c - 7c) + (4 + 12 + 0.5) = 0 - 3c + 16.5 = 16.5 - 3c$

Левая часть тождества после преобразований равна $16.5 - 3c$, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества $(d-4)(d^2+d+1) - d(d^2-3)$ и докажем, что она равна $-3d^2 - 4$.

Раскроем скобки:

$(d-4)(d^2+d+1) = d(d^2+d+1) - 4(d^2+d+1) = d^3 + d^2 + d - 4d^2 - 4d - 4 = d^3 - 3d^2 - 3d - 4$

$d(d^2-3) = d^3 - 3d$

Подставим результаты в исходное выражение:

$(d^3 - 3d^2 - 3d - 4) - (d^3 - 3d) = d^3 - 3d^2 - 3d - 4 - d^3 + 3d$

Приведем подобные слагаемые:

$(d^3 - d^3) - 3d^2 + (-3d + 3d) - 4 = -3d^2 - 4$

Полученное выражение $-3d^2 - 4$ идентично правой части тождества.

Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества $(k+7)(k-6) - 2(k-2)^2 + (k-3)^2$ и покажем, что она равна $3k - 41$.

Раскроем скобки в каждом из слагаемых:

$(k+7)(k-6) = k^2 - 6k + 7k - 42 = k^2 + k - 42$

$2(k-2)^2 = 2(k^2 - 4k + 4) = 2k^2 - 8k + 8$

$(k-3)^2 = k^2 - 6k + 9$

Подставим полученные многочлены в левую часть тождества:

$(k^2 + k - 42) - (2k^2 - 8k + 8) + (k^2 - 6k + 9) = k^2 + k - 42 - 2k^2 + 8k - 8 + k^2 - 6k + 9$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(k^2 - 2k^2 + k^2) + (k + 8k - 6k) + (-42 - 8 + 9) = 3k - 41$

Левая часть после упрощения равна $3k - 41$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

13.18. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

1) $(12,4 + 13,5) : 3$ и $12,4 : 3 + 13,5$;

2) $(5,1 - 0,34) : 1,7$ и $5,1 - 0,34 : 1,7$;

3) $(400 - 120) : 40$ и $400 : 40 - 120 : 40$.

1) Сравним выражения $(12,4 + 13,5) : 3$ и $12,4 : 3 + 13,5$.

Для сравнения используем распределительное свойство деления относительно сложения, которое можно записать в виде формулы: $(a+b):c = a:c + b:c$.

Применим это свойство к первому выражению: $(12,4 + 13,5) : 3 = 12,4 : 3 + 13,5 : 3$.

Теперь задача сводится к сравнению двух выражений: $12,4 : 3 + 13,5 : 3$ и $12,4 : 3 + 13,5$.

Оба выражения содержат общее слагаемое $12,4 : 3$. Чтобы сравнить суммы, нам достаточно сравнить вторые слагаемые: $13,5 : 3$ и $13,5$.

Так как делитель $3$ больше $1$, частное $13,5 : 3$ будет меньше делимого $13,5$.

Поскольку $13,5 : 3 < 13,5$, то и вся первая сумма будет меньше второй: $12,4 : 3 + 13,5 : 3 < 12,4 : 3 + 13,5$.

Следовательно, значение первого исходного выражения меньше значения второго.

Ответ: $(12,4 + 13,5) : 3 < 12,4 : 3 + 13,5$.

2) Сравним выражения $(5,1 - 0,34) : 1,7$ и $5,1 - 0,34 : 1,7$.

Воспользуемся распределительным свойством деления относительно вычитания: $(a-b):c = a:c - b:c$.

Преобразуем левое выражение в соответствии с этим свойством: $(5,1 - 0,34) : 1,7 = 5,1 : 1,7 - 0,34 : 1,7$.

Теперь нам нужно сравнить $5,1 : 1,7 - 0,34 : 1,7$ и $5,1 - 0,34 : 1,7$.

В этих выражениях одинаковые вычитаемые ($0,34 : 1,7$). Значит, для сравнения разностей достаточно сравнить уменьшаемые: $5,1 : 1,7$ и $5,1$.

Так как мы делим положительное число $5,1$ на число $1,7$, которое больше $1$, результат деления будет меньше, чем само число $5,1$. То есть, $5,1 : 1,7 < 5,1$.

Если из меньшего числа вычесть то же самое значение, что и из большего, то и результат будет меньше. Следовательно, $5,1 : 1,7 - 0,34 : 1,7 < 5,1 - 0,34 : 1,7$.

Это означает, что первое исходное выражение меньше второго.

Ответ: $(5,1 - 0,34) : 1,7 < 5,1 - 0,34 : 1,7$.

3) Сравним выражения $(400 - 120) : 40$ и $400 : 40 - 120 : 40$.

Рассмотрим первое выражение $(400 - 120) : 40$.

Вспомним распределительное свойство деления относительно вычитания: деление разности на число равно разности частных от деления уменьшаемого и вычитаемого на это число. Формула: $(a-b):c = a:c - b:c$.

Применив это правило к первому выражению, мы получим: $(400 - 120) : 40 = 400 : 40 - 120 : 40$.

Как мы видим, выражение, полученное после преобразования, в точности совпадает со вторым данным выражением.

Следовательно, значения данных выражений равны.

Ответ: $(400 - 120) : 40 = 400 : 40 - 120 : 40$.

13.19. Упростите:

1) $ \frac{25a^5b}{5a^2} $;

2) $ \frac{0,16xy^4}{2xy} $;

3) $ \frac{8a^{-2}b^3}{2^2ab^3} $.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{25a^5b}{5a^2}$, разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Делим числовые коэффициенты: $\frac{25}{5} = 5$.
Делим степени переменной $a$, используя правило деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3$.
Переменная $b$ остается без изменений, так как в знаменателе ее нет.
Соединяем полученные результаты: $5 \cdot a^3 \cdot b = 5a^3b$.
Ответ: $5a^3b$.

2) Упростим выражение $\frac{0,16xy^4}{2xy}$.
Делим числовые коэффициенты: $\frac{0,16}{2} = 0,08$.
Делим переменные. Переменная $x$ в числителе и знаменателе сокращается: $\frac{x}{x} = x^{1-1} = x^0 = 1$.
Делим степени переменной $y$: $\frac{y^4}{y} = y^{4-1} = y^3$.
Собираем все вместе: $0,08 \cdot 1 \cdot y^3 = 0,08y^3$.
Ответ: $0,08y^3$.

3) Упростим выражение $\frac{8a^{-2}b^3}{2^2ab^3}$.
Сначала вычислим значение $2^2$ в знаменателе: $2^2 = 4$. Выражение примет вид: $\frac{8a^{-2}b^3}{4ab^3}$.
Делим числовые коэффициенты: $\frac{8}{4} = 2$.
Делим степени переменной $a$: $\frac{a^{-2}}{a} = \frac{a^{-2}}{a^1} = a^{-2-1} = a^{-3}$.
Делим степени переменной $b$: $\frac{b^3}{b^3} = b^{3-3} = b^0 = 1$.
Объединяем результаты: $2 \cdot a^{-3} \cdot 1 = 2a^{-3}$.
Используя свойство отрицательной степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, можно записать результат в виде дроби $\frac{2}{a^3}$.
Ответ: $\frac{2}{a^3}$.

13.20. Найдите 45% от числа, если $a = \frac{3.9 \cdot 11.5 - 45.05}{44.52 : 10.6 - 4.225}$

Для решения задачи сначала вычислим значение числа $a$, а затем найдем 45% от этого значения.

1. Вычисление значения числа $a$

Значение $a$ определяется выражением: $a = \frac{3,9 \cdot 11,5 - 45,05}{44,52 : 10,6 - 4,225}$.

Вычислим значение числителя. Сначала выполним умножение, а затем вычитание:
$3,9 \cdot 11,5 = 44,85$
$44,85 - 45,05 = -0,2$
Таким образом, числитель равен $-0,2$.

Теперь вычислим значение знаменателя. Сначала выполним деление, а затем вычитание:
$44,52 : 10,6 = 4,2$
$4,2 - 4,225 = -0,025$
Таким образом, знаменатель равен $-0,025$.

Теперь мы можем найти значение $a$, разделив числитель на знаменатель:
$a = \frac{-0,2}{-0,025} = \frac{200}{25} = 8$.

2. Нахождение 45% от числа $a$

Мы нашли, что $a=8$. Теперь необходимо найти 45% от этого числа.

Для этого переведем проценты в десятичную дробь и умножим на $a$:
$45\% = \frac{45}{100} = 0,45$
$0,45 \cdot 8 = 3,6$.

Ответ: $3,6$.