Номер 13.16, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.16. Решите неравенство:

1) $(a+6)(a-5)-a^2 \le 0;$

2) $a^2-(a-2)(a+4) > 0;$

3) $(2a-1)(a-4)-2a^2 \ge 0,$

4) $3a^2+(2-a)(4+3a) < 0.$

1) Дано неравенство $(a+6)(a-5)-a^2 \le 0$.
Для его решения сначала раскроем скобки, перемножив двучлены:
$(a+6)(a-5) = a \cdot a + a \cdot (-5) + 6 \cdot a + 6 \cdot (-5) = a^2 - 5a + 6a - 30 = a^2 + a - 30$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:
$(a^2 + a - 30) - a^2 \le 0$.
Приведем подобные слагаемые, сократив $a^2$ и $-a^2$:
$a - 30 \le 0$.
Это линейное неравенство. Перенесем свободный член в правую часть, изменив его знак:
$a \le 30$.
Это означает, что решением являются все числа, которые меньше или равны 30. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 30]$.
Ответ: $(-\infty; 30]$.

2) Дано неравенство $a^2 - (a-2)(a+4) > 0$.
Раскроем скобки в произведении:
$(a-2)(a+4) = a \cdot a + a \cdot 4 - 2 \cdot a - 2 \cdot 4 = a^2 + 4a - 2a - 8 = a^2 + 2a - 8$.
Подставим результат в неравенство. Важно учесть знак минус перед скобками, который изменит знаки всех слагаемых внутри них:
$a^2 - (a^2 + 2a - 8) > 0$
$a^2 - a^2 - 2a + 8 > 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$-2a + 8 > 0$.
Перенесем 8 в правую часть неравенства:
$-2a > -8$.
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a < \frac{-8}{-2}$
$a < 4$.
Решением является промежуток $(-\infty; 4)$.
Ответ: $(-\infty; 4)$.

3) Дано неравенство $(2a-1)(a-4)-2a^2 \ge 0$.
Сначала раскроем скобки:
$(2a-1)(a-4) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-4) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-4) = 2a^2 - 8a - a + 4 = 2a^2 - 9a + 4$.
Подставим полученное выражение в неравенство:
$(2a^2 - 9a + 4) - 2a^2 \ge 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$2a^2 - 2a^2 - 9a + 4 \ge 0$
$-9a + 4 \ge 0$.
Перенесем 4 в правую часть:
$-9a \ge -4$.
Разделим обе части на -9. При этом знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le \frac{-4}{-9}$
$a \le \frac{4}{9}$.
Решением является промежуток $(-\infty; \frac{4}{9}]$.
Ответ: $(-\infty; \frac{4}{9}]$.

4) Дано неравенство $3a^2+(2-a)(4+3a) < 0$.
Раскроем скобки в произведении:
$(2-a)(4+3a) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 3a - a \cdot 4 - a \cdot 3a = 8 + 6a - 4a - 3a^2 = 8 + 2a - 3a^2$.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$3a^2 + (8 + 2a - 3a^2) < 0$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3a^2 + 8 + 2a - 3a^2 < 0$
$2a + 8 < 0$.
Перенесем 8 в правую часть:
$2a < -8$.
Разделим обе части на 2:
$a < \frac{-8}{2}$
$a < -4$.
Решением является промежуток $(-\infty; -4)$.
Ответ: $(-\infty; -4)$.