Вопросы, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как одночлен и многочлен разделить на одночлен?

1. Какие преобразования используют при делении одночлена на одночлен?

2. Как разделить многочлен на одночлен?

1. Какие преобразования используют при делении одночлена на одночлен?

При делении одного одночлена на другой выполняют следующие действия, которые по сути являются преобразованиями исходных выражений:

1. Находят частное числовых коэффициентов. Для этого коэффициент делимого делят на коэффициент делителя.

2. Находят частное степеней с одинаковыми основаниями. Для каждой переменной, входящей в оба одночлена, применяют правило деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$. То есть из показателя степени в делимом вычитают показатель степени этой же переменной в делителе.

3. Перемножают полученные результаты. Итоговый одночлен состоит из найденного числового коэффициента и переменных в найденных степенях.

Пример: Разделить одночлен $28a^6b^4c$ на одночлен $7a^2b^3$.

$(28a^6b^4c) : (7a^2b^3) = (28:7) \cdot (a^6:a^2) \cdot (b^4:b^3) \cdot c$

Выполняем деление коэффициентов и степеней:

$28 : 7 = 4$

$a^6 : a^2 = a^{6-2} = a^4$

$b^4 : b^3 = b^{4-3} = b^1 = b$

Переменная $c$ остается без изменений, так как в делителе она отсутствует (можно считать, что мы делим $c^1$ на $c^0$).

Объединяем результаты: $4a^4bc$.

Ответ: При делении одночлена на одночлен используют деление их числовых коэффициентов и преобразование, основанное на свойстве деления степеней с одинаковыми основаниями (вычитание показателей степеней).

2. Как разделить многочлен на одночлен?

Чтобы разделить многочлен на одночлен, отличный от нуля, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен, а полученные результаты алгебраически сложить (то есть сложить с учетом их знаков).

Это правило можно выразить формулой, основанной на распределительном свойстве деления относительно сложения: $(A + B - C) : D = A:D + B:D - C:D$, где $A$, $B$, $C$ — члены многочлена, а $D$ — одночлен-делитель.

Пример: Разделить многочлен $15x^4y^3 - 10x^3y^2 + 5xy$ на одночлен $5xy$.

$(15x^4y^3 - 10x^3y^2 + 5xy) : (5xy) = (15x^4y^3) : (5xy) - (10x^3y^2) : (5xy) + (5xy) : (5xy)$

Теперь выполним деление для каждого члена многочлена отдельно:

1. $(15x^4y^3) : (5xy) = (15:5) \cdot x^{4-1} \cdot y^{3-1} = 3x^3y^2$

2. $(10x^3y^2) : (5xy) = (10:5) \cdot x^{3-1} \cdot y^{2-1} = 2x^2y$

3. $(5xy) : (5xy) = (5:5) \cdot x^{1-1} \cdot y^{1-1} = 1 \cdot x^0 \cdot y^0 = 1$

Теперь соединим полученные результаты, сохраняя исходные знаки:

$3x^3y^2 - 2x^2y + 1$

Ответ: Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные частные сложить (учитывая их знаки).