Номер 13.15, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.15. Решите уравнение:

1)

$(x+10)(x-9)-(x-8)^2=0;$

2)

$(x+11)(x+9)-(x-3)(x+40)=0;$

3)

$(x-6)(7+x)+(3-x)(3+x)=0;$

4)

$(x-4)(4+x)-(1-x)(9-x)=0.$

1) $(x+10)(x-9)-(x-8)^2 = 0$

Сначала раскроем скобки в уравнении. Для первого произведения применим правило умножения многочленов, а для второго воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x \cdot x - 9x + 10x - 10 \cdot 9) - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2) = 0$

$(x^2 + x - 90) - (x^2 - 16x + 64) = 0$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$x^2 + x - 90 - x^2 + 16x - 64 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + (x + 16x) + (-90 - 64) = 0$

$17x - 154 = 0$

Перенесем число -154 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$17x = 154$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 17:

$x = \frac{154}{17}$

Ответ: $x = \frac{154}{17}$.

2) $(x+11)(x+9)-(x-3)(x+40) = 0$

Раскроем скобки в каждом произведении, умножая многочлены:

$(x^2 + 9x + 11x + 11 \cdot 9) - (x^2 + 40x - 3x - 3 \cdot 40) = 0$

$(x^2 + 20x + 99) - (x^2 + 37x - 120) = 0$

Раскроем вторые скобки, изменяя знаки слагаемых на противоположные:

$x^2 + 20x + 99 - x^2 - 37x + 120 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + (20x - 37x) + (99 + 120) = 0$

$-17x + 219 = 0$

Перенесем слагаемое, содержащее $x$, в правую часть, чтобы избавиться от знака "минус":

$219 = 17x$

Найдем $x$, разделив 219 на 17:

$x = \frac{219}{17}$

Ответ: $x = \frac{219}{17}$.

3) $(x-6)(7+x)+(3-x)(3+x) = 0$

Раскроем скобки. Первое произведение — обычным перемножением, а второе — по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(7x + x^2 - 42 - 6x) + (3^2 - x^2) = 0$

$(x^2 + x - 42) + (9 - x^2) = 0$

Теперь уберем скобки:

$x^2 + x - 42 + 9 - x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + x + (-42 + 9) = 0$

$x - 33 = 0$

Найдем $x$:

$x = 33$

Ответ: $x = 33$.

4) $(x-4)(4+x)-(1-x)(9-x) = 0$

Первое произведение является разностью квадратов $(x-a)(x+a) = x^2 - a^2$. Раскроем все скобки.

$(x^2 - 4^2) - (1 \cdot 9 - 1 \cdot x - x \cdot 9 + x \cdot x) = 0$

$(x^2 - 16) - (9 - x - 9x + x^2) = 0$

$(x^2 - 16) - (x^2 - 10x + 9) = 0$

Раскроем вторые скобки:

$x^2 - 16 - x^2 + 10x - 9 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + 10x + (-16 - 9) = 0$

$10x - 25 = 0$

Перенесем -25 в правую часть:

$10x = 25$

Найдем $x$:

$x = \frac{25}{10} = 2.5$

Ответ: $x = 2.5$.