Номер 13.12, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.12. Докажите тождество:

1) $(7x - 3)(4 - 8x) + 2x(28x - 26) = -12$;

2) $1.1x^2(x^2 - 10) - x(1.1x^3 - 9x) = -2x^2$;

3) $(-y^3 + 5y)2y - 10y^2(1 + 0.2y^2) = -4y^4$;

4) $(2.5a + b^2)(-4a) + 2a(5a - b^2) = -6ab^2$.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Сначала раскроем произведение двух многочленов:
$(7x - 3)(4 - 8x) = 7x \cdot 4 + 7x \cdot (-8x) - 3 \cdot 4 - 3 \cdot (-8x) = 28x - 56x^2 - 12 + 24x$.
Затем раскроем вторые скобки:
$2x(28x - 26) = 2x \cdot 28x + 2x \cdot (-26) = 56x^2 - 52x$.
Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и приведем подобные слагаемые:
$(28x - 56x^2 - 12 + 24x) + (56x^2 - 52x) = (-56x^2 + 56x^2) + (28x + 24x - 52x) - 12 = 0 + (52x - 52x) - 12 = -12$.
В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $-12 = -12$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Раскрываем скобки в первом слагаемом:
$1,1x^2(x^2 - 10) = 1,1x^2 \cdot x^2 - 1,1x^2 \cdot 10 = 1,1x^4 - 11x^2$.
Раскрываем скобки во втором слагаемом:
$-x(1,1x^3 - 9x) = -x \cdot 1,1x^3 - x \cdot (-9x) = -1,1x^4 + 9x^2$.
Складываем полученные выражения:
$(1,1x^4 - 11x^2) + (-1,1x^4 + 9x^2) = (1,1x^4 - 1,1x^4) + (-11x^2 + 9x^2) = 0 - 2x^2 = -2x^2$.
Левая часть тождества равна правой: $-2x^2 = -2x^2$.
Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества. Для этого раскроем скобки.
Умножим многочлен на одночлен в первом слагаемом:
$(-y^3 + 5y) \cdot 2y = -y^3 \cdot 2y + 5y \cdot 2y = -2y^4 + 10y^2$.
Раскроем скобки во втором слагаемом:
$-10y^2(1 + 0,2y^2) = -10y^2 \cdot 1 - 10y^2 \cdot 0,2y^2 = -10y^2 - 2y^4$.
Теперь сложим результаты и приведем подобные слагаемые:
$(-2y^4 + 10y^2) + (-10y^2 - 2y^4) = (-2y^4 - 2y^4) + (10y^2 - 10y^2) = -4y^4 + 0 = -4y^4$.
В результате мы получили, что левая часть равна правой: $-4y^4 = -4y^4$.
Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Раскрываем первые скобки:
$(2,5a + b^2)(-4a) = 2,5a \cdot (-4a) + b^2 \cdot (-4a) = -10a^2 - 4ab^2$.
Раскрываем вторые скобки:
$2a(5a - b^2) = 2a \cdot 5a + 2a \cdot (-b^2) = 10a^2 - 2ab^2$.
Складываем полученные выражения:
$(-10a^2 - 4ab^2) + (10a^2 - 2ab^2) = (-10a^2 + 10a^2) + (-4ab^2 - 2ab^2) = 0 - 6ab^2 = -6ab^2$.
Левая часть тождества равна правой: $-6ab^2 = -6ab^2$.
Ответ: Тождество доказано.