Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.6.

1) $(ab + 7)(8 - ab);$

2) $(xy + 11)(xy - 12);$

3) $(1.5 - 6nm)(8nm + 2.5);$

4) $(9st - 1.6)(10 + 1.8st).$

1) Чтобы перемножить два двучлена $(ab + 7)$ и $(8 - ab)$, нужно каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить. Это можно сделать пошагово:
$(ab + 7)(8 - ab) = ab \cdot 8 + ab \cdot (-ab) + 7 \cdot 8 + 7 \cdot (-ab) = 8ab - a^2b^2 + 56 - 7ab$
Теперь приведем подобные слагаемые, то есть члены, содержащие одинаковую буквенную часть ($8ab$ и $-7ab$):
$(8ab - 7ab) - a^2b^2 + 56 = ab - a^2b^2 + 56$
Для стандартной записи расположим члены многочлена по убыванию степеней:
$-a^2b^2 + ab + 56$
Ответ: $-a^2b^2 + ab + 56$.

2) Перемножим двучлены $(xy + 11)$ и $(xy - 12)$ по тому же правилу:
$(xy + 11)(xy - 12) = xy \cdot xy + xy \cdot (-12) + 11 \cdot xy + 11 \cdot (-12) = x^2y^2 - 12xy + 11xy - 132$
Приведем подобные слагаемые ($-12xy$ и $11xy$):
$x^2y^2 + (-12xy + 11xy) - 132 = x^2y^2 - xy - 132$
Ответ: $x^2y^2 - xy - 132$.

3) Перемножим двучлены $(1,5 - 6nm)$ и $(8nm + 2,5)$. Учитываем, что $nm = mn$.
$(1,5 - 6nm)(8nm + 2,5) = 1,5 \cdot 8nm + 1,5 \cdot 2,5 - 6nm \cdot 8nm - 6nm \cdot 2,5 = 12nm + 3,75 - 48n^2m^2 - 15nm$
Приведем подобные слагаемые ($12nm$ и $-15nm$):
$(12nm - 15nm) - 48n^2m^2 + 3,75 = -3nm - 48n^2m^2 + 3,75$
Расположим члены многочлена по убыванию степеней:
$-48n^2m^2 - 3nm + 3,75$
Ответ: $-48n^2m^2 - 3nm + 3,75$.

4) Перемножим двучлены $(9st - 1,6)$ и $(10 + 1,8st)$.
$(9st - 1,6)(10 + 1,8st) = 9st \cdot 10 + 9st \cdot 1,8st - 1,6 \cdot 10 - 1,6 \cdot 1,8st = 90st + 16,2s^2t^2 - 16 - 2,88st$
Приведем подобные слагаемые ($90st$ и $-2,88st$):
$(90st - 2,88st) + 16,2s^2t^2 - 16 = 87,12st + 16,2s^2t^2 - 16$
Расположим члены многочлена по убыванию степеней:
$16,2s^2t^2 + 87,12st - 16$
Ответ: $16,2s^2t^2 + 87,12st - 16$.

Упростите выражения (13.7–13.8):

13.7. 1) $8(3n - 2m) - 5(2n - m)$;

2) $-11(4x + 3y) - 9(2y - 3x)$;

3) $-1,2(5x - 6y) + 1,4(5y - 3x)$.

1) Чтобы упростить выражение $8(3n - 2m) - 5(2n - m)$, сначала раскроем скобки, умножив число перед скобками на каждый член внутри скобок.
$8 \cdot 3n + 8 \cdot (-2m) - 5 \cdot 2n - 5 \cdot (-m) = 24n - 16m - 10n + 5m$.
Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $n$ и члены с переменной $m$:
$(24n - 10n) + (-16m + 5m) = 14n - 11m$.
Ответ: $14n - 11m$.

2) Упростим выражение $-11(4x + 3y) - 9(2y - 3x)$. Раскроем скобки:
$-11 \cdot 4x - 11 \cdot 3y - 9 \cdot 2y - 9 \cdot (-3x) = -44x - 33y - 18y + 27x$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для $x$ и $y$:
$(-44x + 27x) + (-33y - 18y) = -17x - 51y$.
Ответ: $-17x - 51y$.

3) Упростим выражение $-1,2(5x - 6y) + 1,4(5y - 3x)$. Раскроем скобки:
$-1,2 \cdot 5x - 1,2 \cdot (-6y) + 1,4 \cdot 5y + 1,4 \cdot (-3x) = -6x + 7,2y + 7y - 4,2x$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для $x$ и $y$:
$(-6x - 4,2x) + (7,2y + 7y) = -10,2x + 14,2y$.
Ответ: $-10,2x + 14,2y$.

13.8. 1) $(x - 4a)(5a + 8x) - (6a - 7x)(3x - 2a)$;

2) $(6c + d)(8c - 9d) + (-10d + 2c)(11c - 4d)$;

3) $(\frac{2}{3}b - 5k)(6k - 0.3b) - (3k + \frac{5}{6}b)(6b - 1.8k)$;

4) $(\frac{1}{7}x - \frac{1}{8}y)(7y - 8x) + (\frac{1}{7}y - \frac{1}{8}x)(7x - 8y)$.

1) Упростим выражение $(x - 4a)(5a + 8x) - (6a - 7x)(3x - 2a)$. Для этого раскроем скобки в каждом произведении, перемножив многочлены.
Первое произведение: $(x - 4a)(5a + 8x) = x \cdot 5a + x \cdot 8x - 4a \cdot 5a - 4a \cdot 8x = 5ax + 8x^2 - 20a^2 - 32ax$.
Приведем подобные слагаемые: $8x^2 + (5ax - 32ax) - 20a^2 = 8x^2 - 27ax - 20a^2$.
Второе произведение: $(6a - 7x)(3x - 2a) = 6a \cdot 3x - 6a \cdot 2a - 7x \cdot 3x + 7x \cdot 2a = 18ax - 12a^2 - 21x^2 + 14ax$.
Приведем подобные слагаемые: $-21x^2 + (18ax + 14ax) - 12a^2 = -21x^2 + 32ax - 12a^2$.
Теперь выполним вычитание полученных многочленов:
$(8x^2 - 27ax - 20a^2) - (-21x^2 + 32ax - 12a^2) = 8x^2 - 27ax - 20a^2 + 21x^2 - 32ax + 12a^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(8x^2 + 21x^2) + (-27ax - 32ax) + (-20a^2 + 12a^2) = 29x^2 - 59ax - 8a^2$.
Ответ: $29x^2 - 59ax - 8a^2$.

2) Упростим выражение $(6c + d)(8c - 9d) + (-10d + 2c)(11c - 4d)$. Раскроем скобки в каждом произведении.
Первое произведение: $(6c + d)(8c - 9d) = 6c \cdot 8c - 6c \cdot 9d + d \cdot 8c - d \cdot 9d = 48c^2 - 54cd + 8cd - 9d^2 = 48c^2 - 46cd - 9d^2$.
Второе произведение (переставим слагаемые для удобства): $(2c - 10d)(11c - 4d) = 2c \cdot 11c - 2c \cdot 4d - 10d \cdot 11c + 10d \cdot 4d = 22c^2 - 8cd - 110cd + 40d^2 = 22c^2 - 118cd + 40d^2$.
Теперь выполним сложение полученных многочленов:
$(48c^2 - 46cd - 9d^2) + (22c^2 - 118cd + 40d^2) = 48c^2 - 46cd - 9d^2 + 22c^2 - 118cd + 40d^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(48c^2 + 22c^2) + (-46cd - 118cd) + (-9d^2 + 40d^2) = 70c^2 - 164cd + 31d^2$.
Ответ: $70c^2 - 164cd + 31d^2$.

3) Упростим выражение $(\frac{2}{3}b - 5k)(6k - 0,3b) - (3k + \frac{5}{6}b)(6b - 1,8k)$.
Сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $0,3 = \frac{3}{10}$ и $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Выражение примет вид: $(\frac{2}{3}b - 5k)(6k - \frac{3}{10}b) - (3k + \frac{5}{6}b)(6b - \frac{9}{5}k)$.
Раскроем скобки в первом произведении:
$(\frac{2}{3}b - 5k)(6k - \frac{3}{10}b) = \frac{2}{3}b \cdot 6k - \frac{2}{3}b \cdot \frac{3}{10}b - 5k \cdot 6k + 5k \cdot \frac{3}{10}b = 4bk - \frac{6}{30}b^2 - 30k^2 + \frac{15}{10}bk = 4bk - \frac{1}{5}b^2 - 30k^2 + \frac{3}{2}bk$.
Приведем подобные члены: $-\frac{1}{5}b^2 + (4 + \frac{3}{2})bk - 30k^2 = -\frac{1}{5}b^2 + \frac{11}{2}bk - 30k^2$.
Раскроем скобки во втором произведении:
$(3k + \frac{5}{6}b)(6b - \frac{9}{5}k) = 3k \cdot 6b - 3k \cdot \frac{9}{5}k + \frac{5}{6}b \cdot 6b - \frac{5}{6}b \cdot \frac{9}{5}k = 18bk - \frac{27}{5}k^2 + 5b^2 - \frac{45}{30}bk = 18bk - \frac{27}{5}k^2 + 5b^2 - \frac{3}{2}bk$.
Приведем подобные члены: $5b^2 + (18 - \frac{3}{2})bk - \frac{27}{5}k^2 = 5b^2 + \frac{33}{2}bk - \frac{27}{5}k^2$.
Выполним вычитание:
$(-\frac{1}{5}b^2 + \frac{11}{2}bk - 30k^2) - (5b^2 + \frac{33}{2}bk - \frac{27}{5}k^2) = -\frac{1}{5}b^2 + \frac{11}{2}bk - 30k^2 - 5b^2 - \frac{33}{2}bk + \frac{27}{5}k^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-\frac{1}{5}b^2 - 5b^2) + (\frac{11}{2}bk - \frac{33}{2}bk) + (-30k^2 + \frac{27}{5}k^2) = (-\frac{1}{5} - \frac{25}{5})b^2 - \frac{22}{2}bk + (-\frac{150}{5} + \frac{27}{5})k^2 = -\frac{26}{5}b^2 - 11bk - \frac{123}{5}k^2$.
Переведем дроби в десятичные: $-\frac{26}{5} = -5,2$ и $-\frac{123}{5} = -24,6$.
Ответ: $-5,2b^2 - 11bk - 24,6k^2$.

4) Упростим выражение $(\frac{1}{7}x - \frac{1}{8}y)(7y - 8x) + (\frac{1}{7}y - \frac{1}{8}x)(7x - 8y)$. Раскроем скобки в каждом произведении.
Первое произведение:
$(\frac{1}{7}x - \frac{1}{8}y)(7y - 8x) = \frac{1}{7}x \cdot 7y - \frac{1}{7}x \cdot 8x - \frac{1}{8}y \cdot 7y + \frac{1}{8}y \cdot 8x = xy - \frac{8}{7}x^2 - \frac{7}{8}y^2 + xy = 2xy - \frac{8}{7}x^2 - \frac{7}{8}y^2$.
Второе произведение:
$(\frac{1}{7}y - \frac{1}{8}x)(7x - 8y) = \frac{1}{7}y \cdot 7x - \frac{1}{7}y \cdot 8y - \frac{1}{8}x \cdot 7x + \frac{1}{8}x \cdot 8y = xy - \frac{8}{7}y^2 - \frac{7}{8}x^2 + xy = 2xy - \frac{7}{8}x^2 - \frac{8}{7}y^2$.
Выполним сложение:
$(2xy - \frac{8}{7}x^2 - \frac{7}{8}y^2) + (2xy - \frac{7}{8}x^2 - \frac{8}{7}y^2) = 2xy - \frac{8}{7}x^2 - \frac{7}{8}y^2 + 2xy - \frac{7}{8}x^2 - \frac{8}{7}y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2xy+2xy) - (\frac{8}{7}x^2 + \frac{7}{8}x^2) - (\frac{7}{8}y^2 + \frac{8}{7}y^2) = 4xy - (\frac{8 \cdot 8}{56} + \frac{7 \cdot 7}{56})x^2 - (\frac{7 \cdot 7}{56} + \frac{8 \cdot 8}{56})y^2$
$= 4xy - (\frac{64+49}{56})x^2 - (\frac{49+64}{56})y^2 = 4xy - \frac{113}{56}x^2 - \frac{113}{56}y^2$.
Ответ: $4xy - \frac{113}{56}x^2 - \frac{113}{56}y^2$.

13.9. Найдите значение выражения:

1) $8a^2(a - 5) - 4a(a^2 - 7)$ при $a = 3$;

2) $b(-9b^2 + 1) + 3b(3b^2 + b)$ при $b = -2$;

3) $(3x - 4)(8x + 2) - 24x^2 - 2$ при $x = 2$;

4) $(c^2 + 3)(c - 9) - c^2(c - 6)$ при $c = -5$.

1) Для того чтобы найти значение выражения $8a^2(a - 5) - 4a(a^2 - 7)$ при $a = 3$, сначала упростим его. Раскроем скобки:
$8a^2(a - 5) - 4a(a^2 - 7) = (8a^2 \cdot a - 8a^2 \cdot 5) - (4a \cdot a^2 - 4a \cdot 7) = 8a^3 - 40a^2 - (4a^3 - 28a)$.
Теперь раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$8a^3 - 40a^2 - 4a^3 + 28a$.
Приведем подобные слагаемые:
$(8a^3 - 4a^3) - 40a^2 + 28a = 4a^3 - 40a^2 + 28a$.
Теперь подставим значение $a = 3$ в упрощенное выражение:
$4 \cdot 3^3 - 40 \cdot 3^2 + 28 \cdot 3 = 4 \cdot 27 - 40 \cdot 9 + 84 = 108 - 360 + 84 = 192 - 360 = -168$.
Ответ: -168

2) Найдем значение выражения $b(-9b^2 + 1) + 3b(3b^2 + b)$ при $b = -2$. Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:
$b \cdot (-9b^2) + b \cdot 1 + 3b \cdot 3b^2 + 3b \cdot b = -9b^3 + b + 9b^3 + 3b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-9b^3 + 9b^3) + 3b^2 + b = 0 + 3b^2 + b = 3b^2 + b$.
Теперь подставим значение $b = -2$ в упрощенное выражение:
$3 \cdot (-2)^2 + (-2) = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.
Ответ: 10

3) Найдем значение выражения $(3x - 4)(8x + 2) - 24x^2 - 2$ при $x = 2$. Сначала упростим выражение. Для этого перемножим многочлены в скобках:
$(3x \cdot 8x + 3x \cdot 2 - 4 \cdot 8x - 4 \cdot 2) - 24x^2 - 2 = (24x^2 + 6x - 32x - 8) - 24x^2 - 2$.
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$(24x^2 - 26x - 8) - 24x^2 - 2$.
Раскроем скобки и снова приведем подобные слагаемые:
$24x^2 - 26x - 8 - 24x^2 - 2 = (24x^2 - 24x^2) - 26x + (-8 - 2) = -26x - 10$.
Теперь подставим значение $x = 2$ в упрощенное выражение:
$-26 \cdot 2 - 10 = -52 - 10 = -62$.
Ответ: -62

4) Найдем значение выражения $(c^2 + 3)(c - 9) - c^2(c - 6)$ при $c = -5$. Упростим выражение, раскрыв скобки:
$(c^2 \cdot c - c^2 \cdot 9 + 3 \cdot c - 3 \cdot 9) - (c^2 \cdot c - c^2 \cdot 6) = (c^3 - 9c^2 + 3c - 27) - (c^3 - 6c^2)$.
Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$c^3 - 9c^2 + 3c - 27 - c^3 + 6c^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(c^3 - c^3) + (-9c^2 + 6c^2) + 3c - 27 = -3c^2 + 3c - 27$.
Теперь подставим значение $c = -5$ в упрощенное выражение:
$-3 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) - 27 = -3 \cdot 25 - 15 - 27 = -75 - 15 - 27 = -90 - 27 = -117$.
Ответ: -117

13.10. Решите уравнение:

1) $3x(x^2 - 8) - 3x^3 = 12;$

2) $(x + 8)(5x - 6) - 20 = 5x^2;$

3) $18y^3 - 2y(2 + 9y^2) = 6,5;$

4) $53 - 8y(1 - 3y) = 24y^2.$

1) $3x(x^2 - 8) - 3x^3 = 12$
Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $3x$ на каждый член в скобках:
$3x \cdot x^2 - 3x \cdot 8 - 3x^3 = 12$
$3x^3 - 24x - 3x^3 = 12$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые $3x^3$ и $-3x^3$ взаимно уничтожаются:
$(3x^3 - 3x^3) - 24x = 12$
$-24x = 12$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-24$:
$x = \frac{12}{-24}$
$x = -\frac{1}{2}$
$x = -0,5$
Ответ: $-0,5$.

2) $(x + 8)(5x - 6) - 20 = 5x^2$
Раскроем скобки, перемножив многочлены $(x + 8)$ и $(5x - 6)$:
$x \cdot 5x + x \cdot (-6) + 8 \cdot 5x + 8 \cdot (-6) - 20 = 5x^2$
$5x^2 - 6x + 40x - 48 - 20 = 5x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 + 34x - 68 = 5x^2$
Перенесем $5x^2$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$5x^2 - 5x^2 + 34x - 68 = 0$
$34x - 68 = 0$
Перенесем $-68$ в правую часть:
$34x = 68$
Разделим обе части на $34$:
$x = \frac{68}{34}$
$x = 2$
Ответ: $2$.

3) $18y^3 - 2y(2 + 9y^2) = 6,5$
Раскроем скобки, умножив $-2y$ на каждый член в скобках:
$18y^3 - 2y \cdot 2 - 2y \cdot 9y^2 = 6,5$
$18y^3 - 4y - 18y^3 = 6,5$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые $18y^3$ и $-18y^3$ взаимно уничтожаются:
$(18y^3 - 18y^3) - 4y = 6,5$
$-4y = 6,5$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $-4$:
$y = \frac{6,5}{-4}$
$y = -1,625$
Ответ: $-1,625$.

4) $53 - 8y(1 - 3y) = 24y^2$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$53 - (8y \cdot 1 - 8y \cdot 3y) = 24y^2$
$53 - (8y - 24y^2) = 24y^2$
$53 - 8y + 24y^2 = 24y^2$
Перенесем $24y^2$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$53 - 8y + 24y^2 - 24y^2 = 0$
$53 - 8y = 0$
Перенесем $-8y$ в правую часть:
$53 = 8y$
Разделим обе части на $8$:
$y = \frac{53}{8}$
$y = 6,625$
Ответ: $6,625$.

13.11. Решите неравенство:

1) $0,8x (5x - 0,8) + 0,04x \leq 4x^2 - 12$;

2) $9x^2 - 11 \geq 9x (x - 2) - 3$;

3) $(4x - 5) (6 - 3x) - 4 < (1 - 2x) (7 + 6x)$;

4) $(1,8x + 1) (5x - 1) - 2,2x > 9x^2 - 4$.

1) $0,8x(5x - 0,8) + 0,04x \leq 4x^2 - 12$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$0,8x \cdot 5x - 0,8x \cdot 0,8 + 0,04x \leq 4x^2 - 12$

$4x^2 - 0,64x + 0,04x \leq 4x^2 - 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 - 0,6x \leq 4x^2 - 12$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону, а остальные в другую. В данном случае $4x^2$ взаимно уничтожаются:

$4x^2 - 4x^2 - 0,6x \leq -12$

$-0,6x \leq -12$

Разделим обе части на -0,6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \geq \frac{-12}{-0,6}$

$x \geq \frac{120}{6}$

$x \geq 20$

Решением неравенства является промежуток $[20; +\infty)$.

Ответ: $x \in [20; +\infty)$.

2) $9x^2 - 11 \geq 9x(x - 2) - 3$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$9x^2 - 11 \geq 9x \cdot x - 9x \cdot 2 - 3$

$9x^2 - 11 \geq 9x^2 - 18x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую. Слагаемые $9x^2$ взаимно уничтожаются:

$9x^2 - 9x^2 + 18x \geq -3 + 11$

$18x \geq 8$

Разделим обе части на 18:

$x \geq \frac{8}{18}$

Сократим дробь:

$x \geq \frac{4}{9}$

Решением неравенства является промежуток $[\frac{4}{9}; +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{9}; +\infty)$.

3) $(4x - 5)(6 - 3x) - 4 < (1 - 2x)(7 + 6x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства, перемножив многочлены:

$(4x \cdot 6 + 4x \cdot (-3x) - 5 \cdot 6 - 5 \cdot (-3x)) - 4 < (1 \cdot 7 + 1 \cdot 6x - 2x \cdot 7 - 2x \cdot 6x)$

$(24x - 12x^2 - 30 + 15x) - 4 < 7 + 6x - 14x - 12x^2$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-12x^2 + 39x - 30 - 4 < -12x^2 - 8x + 7$

$-12x^2 + 39x - 34 < -12x^2 - 8x + 7$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую. Слагаемые $-12x^2$ взаимно уничтожаются:

$39x + 8x < 7 + 34$

$47x < 41$

Разделим обе части на 47:

$x < \frac{41}{47}$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; \frac{41}{47})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{41}{47})$.

4) $(1,8x + 1)(5x - 1) - 2,2x > 9x^2 - 4$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(1,8x \cdot 5x + 1,8x \cdot (-1) + 1 \cdot 5x + 1 \cdot (-1)) - 2,2x > 9x^2 - 4$

$9x^2 - 1,8x + 5x - 1 - 2,2x > 9x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x^2 + (5 - 1,8 - 2,2)x - 1 > 9x^2 - 4$

$9x^2 + (5 - 4)x - 1 > 9x^2 - 4$

$9x^2 + x - 1 > 9x^2 - 4$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону. Они взаимно уничтожаются:

$9x^2 - 9x^2 + x > -4 + 1$

$x > -3$

Решением неравенства является промежуток $(-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

13.12. Докажите тождество:

1) $(7x - 3)(4 - 8x) + 2x(28x - 26) = -12$;

2) $1.1x^2(x^2 - 10) - x(1.1x^3 - 9x) = -2x^2$;

3) $(-y^3 + 5y)2y - 10y^2(1 + 0.2y^2) = -4y^4$;

4) $(2.5a + b^2)(-4a) + 2a(5a - b^2) = -6ab^2$.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Сначала раскроем произведение двух многочленов:
$(7x - 3)(4 - 8x) = 7x \cdot 4 + 7x \cdot (-8x) - 3 \cdot 4 - 3 \cdot (-8x) = 28x - 56x^2 - 12 + 24x$.
Затем раскроем вторые скобки:
$2x(28x - 26) = 2x \cdot 28x + 2x \cdot (-26) = 56x^2 - 52x$.
Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и приведем подобные слагаемые:
$(28x - 56x^2 - 12 + 24x) + (56x^2 - 52x) = (-56x^2 + 56x^2) + (28x + 24x - 52x) - 12 = 0 + (52x - 52x) - 12 = -12$.
В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $-12 = -12$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Раскрываем скобки в первом слагаемом:
$1,1x^2(x^2 - 10) = 1,1x^2 \cdot x^2 - 1,1x^2 \cdot 10 = 1,1x^4 - 11x^2$.
Раскрываем скобки во втором слагаемом:
$-x(1,1x^3 - 9x) = -x \cdot 1,1x^3 - x \cdot (-9x) = -1,1x^4 + 9x^2$.
Складываем полученные выражения:
$(1,1x^4 - 11x^2) + (-1,1x^4 + 9x^2) = (1,1x^4 - 1,1x^4) + (-11x^2 + 9x^2) = 0 - 2x^2 = -2x^2$.
Левая часть тождества равна правой: $-2x^2 = -2x^2$.
Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества. Для этого раскроем скобки.
Умножим многочлен на одночлен в первом слагаемом:
$(-y^3 + 5y) \cdot 2y = -y^3 \cdot 2y + 5y \cdot 2y = -2y^4 + 10y^2$.
Раскроем скобки во втором слагаемом:
$-10y^2(1 + 0,2y^2) = -10y^2 \cdot 1 - 10y^2 \cdot 0,2y^2 = -10y^2 - 2y^4$.
Теперь сложим результаты и приведем подобные слагаемые:
$(-2y^4 + 10y^2) + (-10y^2 - 2y^4) = (-2y^4 - 2y^4) + (10y^2 - 10y^2) = -4y^4 + 0 = -4y^4$.
В результате мы получили, что левая часть равна правой: $-4y^4 = -4y^4$.
Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Раскрываем первые скобки:
$(2,5a + b^2)(-4a) = 2,5a \cdot (-4a) + b^2 \cdot (-4a) = -10a^2 - 4ab^2$.
Раскрываем вторые скобки:
$2a(5a - b^2) = 2a \cdot 5a + 2a \cdot (-b^2) = 10a^2 - 2ab^2$.
Складываем полученные выражения:
$(-10a^2 - 4ab^2) + (10a^2 - 2ab^2) = (-10a^2 + 10a^2) + (-4ab^2 - 2ab^2) = 0 - 6ab^2 = -6ab^2$.
Левая часть тождества равна правой: $-6ab^2 = -6ab^2$.
Ответ: Тождество доказано.

13.13. Найдите значение выражения:

1) $(x - 4)(x^2 + 2x - 5) - x^3$ при $x = -\frac{4}{5}$;

2) $(a^2 - a + 9)(2a + 1) - 2a^3$ при $a = -\frac{3}{8}$;

3) $24y^3 - 3(8y^2 - 1)(y + 6)$ при $y = -\frac{2}{3}$;

4) $40m^3 - (5m^2 + m - 2)(8m + 3)$ при $m = \frac{7}{10}$.

1) Сначала упростим выражение $(x - 4)(x^2 + 2x - 5) - x^3$.

Для этого раскроем скобки, перемножив многочлены $(x - 4)$ и $(x^2 + 2x - 5)$:

$(x - 4)(x^2 + 2x - 5) = x \cdot x^2 + x \cdot 2x + x \cdot (-5) - 4 \cdot x^2 - 4 \cdot 2x - 4 \cdot (-5) = x^3 + 2x^2 - 5x - 4x^2 - 8x + 20$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (2x^2 - 4x^2) + (-5x - 8x) + 20 = x^3 - 2x^2 - 13x + 20$.

Теперь подставим полученный многочлен в исходное выражение:

$(x^3 - 2x^2 - 13x + 20) - x^3 = x^3 - 2x^2 - 13x + 20 - x^3 = -2x^2 - 13x + 20$.

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $x = -\frac{4}{5}$:

$-2 \cdot (-\frac{4}{5})^2 - 13 \cdot (-\frac{4}{5}) + 20 = -2 \cdot \frac{16}{25} + \frac{13 \cdot 4}{5} + 20 = -\frac{32}{25} + \frac{52}{5} + 20$.

Приведем дроби к общему знаменателю 25:

$-\frac{32}{25} + \frac{52 \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{20 \cdot 25}{25} = -\frac{32}{25} + \frac{260}{25} + \frac{500}{25} = \frac{-32 + 260 + 500}{25} = \frac{728}{25}$.

Переведем неправильную дробь в десятичную: $728 \div 25 = 29,12$.

Ответ: $29,12$

2) Сначала упростим выражение $(a^2 - a + 9)(2a + 1) - 2a^3$.

Раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(a^2 - a + 9)(2a + 1) = a^2 \cdot 2a + a^2 \cdot 1 - a \cdot 2a - a \cdot 1 + 9 \cdot 2a + 9 \cdot 1 = 2a^3 + a^2 - 2a^2 - a + 18a + 9$.

Приведем подобные слагаемые:

$2a^3 + (a^2 - 2a^2) + (-a + 18a) + 9 = 2a^3 - a^2 + 17a + 9$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$(2a^3 - a^2 + 17a + 9) - 2a^3 = -a^2 + 17a + 9$.

Теперь подставим значение $a = -\frac{3}{8}$ в упрощенное выражение:

$-(-\frac{3}{8})^2 + 17 \cdot (-\frac{3}{8}) + 9 = -(\frac{9}{64}) - \frac{17 \cdot 3}{8} + 9 = -\frac{9}{64} - \frac{51}{8} + 9$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 64:

$-\frac{9}{64} - \frac{51 \cdot 8}{8 \cdot 8} + \frac{9 \cdot 64}{64} = -\frac{9}{64} - \frac{408}{64} + \frac{576}{64} = \frac{-9 - 408 + 576}{64} = \frac{159}{64}$.

Ответ: $\frac{159}{64}$

3) Сначала упростим выражение $24y^3 - 3(8y^2 - 1)(y + 6)$.

Раскроем скобки в произведении $(8y^2 - 1)(y + 6)$:

$(8y^2 - 1)(y + 6) = 8y^3 + 48y^2 - y - 6$.

Теперь умножим результат на 3:

$3(8y^3 + 48y^2 - y - 6) = 24y^3 + 144y^2 - 3y - 18$.

Подставим это в исходное выражение и учтем знак минус перед скобкой:

$24y^3 - (24y^3 + 144y^2 - 3y - 18) = 24y^3 - 24y^3 - 144y^2 + 3y + 18 = -144y^2 + 3y + 18$.

Теперь подставим значение $y = -\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение:

$-144 \cdot (-\frac{2}{3})^2 + 3 \cdot (-\frac{2}{3}) + 18 = -144 \cdot \frac{4}{9} - 2 + 18$.

Вычислим первое слагаемое: $-\frac{144 \cdot 4}{9} = -16 \cdot 4 = -64$.

Теперь вычислим значение всего выражения: $-64 - 2 + 18 = -66 + 18 = -48$.

Ответ: $-48$

4) Сначала упростим выражение $40m^3 - (5m^2 + m - 2)(8m + 3)$.

Раскроем скобки в произведении $(5m^2 + m - 2)(8m + 3)$:

$(5m^2 + m - 2)(8m + 3) = 40m^3 + 15m^2 + 8m^2 + 3m - 16m - 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$40m^3 + (15m^2 + 8m^2) + (3m - 16m) - 6 = 40m^3 + 23m^2 - 13m - 6$.

Подставим это в исходное выражение:

$40m^3 - (40m^3 + 23m^2 - 13m - 6) = 40m^3 - 40m^3 - 23m^2 + 13m + 6 = -23m^2 + 13m + 6$.

Теперь подставим значение $m = \frac{7}{10}$ в упрощенное выражение:

$-23 \cdot (\frac{7}{10})^2 + 13 \cdot (\frac{7}{10}) + 6 = -23 \cdot \frac{49}{100} + \frac{91}{10} + 6$.

Вычислим произведение в первом слагаемом: $-23 \cdot 49 = -1127$.

Выражение принимает вид: $-\frac{1127}{100} + \frac{91}{10} + 6$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 100:

$-\frac{1127}{100} + \frac{910}{100} + \frac{600}{100} = \frac{-1127 + 910 + 600}{100} = \frac{383}{100}$.

Переведем неправильную дробь в десятичную: $383 \div 100 = 3,83$.

Ответ: $3,83$