Страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.11. Даны одночлены:

$9yax^3$; $-8yx$; $3xy^2n^3$; $4xy$; $5xay^5$; $-3xy$; $-9xay^5$.

Найдите общий множитель, входящий в каждый из этих одночленов.

Для нахождения общего множителя для группы одночленов, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для их коэффициентов и общую переменную часть. Общая переменная часть состоит из всех переменных, входящих в каждый из одночленов, взятых с наименьшим показателем степени.

Даны следующие одночлены: $9yax^3$, $-8yx$, $3xy^2n^3$, $4xy$, $5xay^5$, $-3xy$, $-9xay^5$.

1. Для удобства приведем каждый одночлен к стандартному виду, записав переменные в алфавитном порядке:$9ax^3y$, $-8xy$, $3n^3xy^2$, $4xy$, $5axy^5$, $-3xy$, $-9axy^5$.

2. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для модулей числовых коэффициентов: $|9|, |-8|, |3|, |4|, |5|, |-3|, |-9|$.Нам нужно найти НОД(9, 8, 3, 4, 5, 3, 9). Так как в этом наборе есть числа, которые не имеют общих делителей кроме 1 (например, 3 и 8, или 5 и 4), их наибольший общий делитель равен 1.

3. Теперь определим общую переменную часть. Для этого найдем переменные, которые есть в каждом одночлене, и выберем для них наименьшую степень.

• Переменная $a$ есть не во всех одночленах (например, отсутствует в $-8xy$), поэтому она не входит в общий множитель.
• Переменная $n$ есть только в одночлене $3n^3xy^2$, поэтому она не входит в общий множитель.
• Переменная $x$ есть во всех одночленах. Ее степени: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1. Наименьшая степень равна 1. Значит, в общий множитель войдет $x^1$ (или просто $x$).
• Переменная $y$ есть во всех одночленах. Ее степени: 1, 1, 2, 1, 5, 1, 5. Наименьшая степень равна 1. Значит, в общий множитель войдет $y^1$ (или просто $y$).

4. Соединим полученные результаты. Общий множитель равен произведению НОД коэффициентов на общую переменную часть.

Общий множитель = $1 \cdot x \cdot y = xy$.

Ответ: $xy$

14.12. Вынесите общий множитель за скобки, используя распределительное свойство умножения:

1) $2a + 2b;$

2) $xy + xz;$

3) $8c - 10d;$

4) $abc - abd.$

1) В выражении $2a + 2b$ оба слагаемых ($2a$ и $2b$) имеют одинаковый числовой множитель $2$. Согласно распределительному свойству умножения ($m \cdot a + m \cdot b = m \cdot (a + b)$), мы можем вынести этот общий множитель за скобки. Для этого разделим каждый член выражения на $2$: $2a / 2 = a$ и $2b / 2 = b$.

$2a + 2b = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2(a + b)$.

Ответ: $2(a + b)$.

2) В выражении $xy + xz$ оба слагаемых ($xy$ и $xz$) имеют общий буквенный множитель $x$. Вынесем его за скобки. Разделим каждый член выражения на $x$: $xy / x = y$ и $xz / x = z$.

$xy + xz = x \cdot y + x \cdot z = x(y + z)$.

Ответ: $x(y + z)$.

3) В выражении $8c - 10d$ необходимо найти общий множитель для коэффициентов $8$ и $10$. Наибольший общий делитель (НОД) для этих чисел равен $2$, так как $8 = 2 \cdot 4$ и $10 = 2 \cdot 5$. Буквенные множители $c$ и $d$ различны. Таким образом, общий множитель всего выражения - это $2$. Вынесем его за скобки.

$8c - 10d = (2 \cdot 4)c - (2 \cdot 5)d = 2(4c - 5d)$.

Ответ: $2(4c - 5d)$.

4) В выражении $abc - abd$ оба члена имеют общие буквенные множители $a$ и $b$. Их произведение, $ab$, является общим множителем для всего выражения. Вынесем $ab$ за скобки, разделив каждый член на $ab$: $abc / (ab) = c$ и $abd / (ab) = d$.

$abc - abd = (ab) \cdot c - (ab) \cdot d = ab(c - d)$.

Ответ: $ab(c - d)$.