Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.6.

1) $5a(3a - 8) - 3b(3a - 8) + 9ab(3a - 8) - (3a - 8);$

2) $7y(7x - y) + x(7x - y) - 7xy(7x - y) + (7x - y);$

3) $(a + b)^2(x + y) - x(a + b)^2 - y(a + b)^2 + (a + b)^2;$

4) $m(m + n^3) - n^3(m + n^3) + n(m + n^3) - m^3(m + n^3).$

1) В выражении $5a(3a - 8) - 3b(3a - 8) + 9ab(3a - 8) - (3a - 8)$ общим множителем для всех слагаемых является $(3a - 8)$. Вынесем его за скобки. Следует учесть, что последнее слагаемое $-(3a - 8)$ можно записать как $-1 \cdot (3a - 8)$.
$5a(3a - 8) - 3b(3a - 8) + 9ab(3a - 8) - 1 \cdot (3a - 8) = (3a - 8)(5a - 3b + 9ab - 1)$.
Выражение во второй скобке $(5a - 3b + 9ab - 1)$ дальнейшему упрощению или разложению на множители не подлежит.
Ответ: $(3a - 8)(5a - 3b + 9ab - 1)$

2) В выражении $7y(7x - y) + x(7x - y) - 7xy(7x - y) + (7x - y)$ общим множителем является $(7x - y)$. Вынесем его за скобки. Последнее слагаемое $+(7x-y)$ эквивалентно $+1 \cdot (7x-y)$.
$(7x - y)(7y + x - 7xy + 1)$.
Для более стандартного вида можно перегруппировать слагаемые во второй скобке: $(7x - y)(x - 7xy + 7y + 1)$.
Ответ: $(7x - y)(x - 7xy + 7y + 1)$

3) В выражении $(a + b)^2(x + y) - x(a + b)^2 - y(a + b)^2 + (a + b)^2$ вынесем за скобки общий множитель $(a + b)^2$. Последнее слагаемое $+(a + b)^2$ равно $+1 \cdot (a + b)^2$.
$(a + b)^2((x + y) - x - y + 1)$.
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$x + y - x - y + 1 = (x - x) + (y - y) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.
Таким образом, исходное выражение равно $(a + b)^2 \cdot 1$.
Ответ: $(a + b)^2$

4) В выражении $m(m + n^3) - n^3(m + n^3) + n(m + n^3) - m^3(m + n^3)$ вынесем за скобки общий множитель $(m + n^3)$.
$(m + n^3)(m - n^3 + n - m^3)$.
Упростим выражение во второй скобке, сгруппировав слагаемые:
$m - n^3 + n - m^3 = (m + n) - (m^3 + n^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражению $(m^3 + n^3)$:
$(m + n) - (m+n)(m^2-mn+n^2)$.
Вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки:
$(m+n)[1 - (m^2-mn+n^2)] = (m+n)(1-m^2+mn-n^2)$.
Подставим полученное выражение обратно в исходное разложение:
$(m + n^3)(m+n)(1 - m^2 + mn - n^2)$.
Ответ: $(m + n^3)(m+n)(1 - m^2 + mn - n^2)$

15.7. 1) $4b(7-8a) + a(8a-7) - (14-16a) + (7-8a)ab;$

2) $3x(5y-4) - y(4-5y) + (15y-12) - 3xy(4-5y);$

3) $mn(m-3n) - m(m-3n) - n(m-3n) + 8(6n-2m);$

4) $(-\frac{2}{3}t+k)x-(k-\frac{2}{3}t)y+(3k-2t)xy-(-2t+3k).$

1) В выражении $4b(7-8a) + a(8a-7) - (14-16a) + (7-8a)ab$ найдем общий множитель, приведя все скобки к одному виду. Заметим, что $(8a-7) = -(7-8a)$ и $(14-16a) = 2(7-8a)$.
Перепишем выражение, используя эти преобразования: $4b(7-8a) + a(-(7-8a)) - 2(7-8a) + ab(7-8a)$
$4b(7-8a) - a(7-8a) - 2(7-8a) + ab(7-8a)$
Теперь можно вынести общий множитель $(7-8a)$ за скобки:
$(7-8a)(4b - a - 2 + ab)$
Ответ: $(7-8a)(4b - a - 2 + ab)$.

2) В выражении $3x(5y-4) - y(4-5y) + (15y-12) - 3xy(4-5y)$ приведем все слагаемые к общему множителю $(5y-4)$.
Для этого преобразуем слагаемые:
$-y(4-5y) = -y(-(5y-4)) = y(5y-4)$
$(15y-12) = 3(5y-4)$
$-3xy(4-5y) = -3xy(-(5y-4)) = 3xy(5y-4)$
Подставим преобразованные слагаемые в исходное выражение:
$3x(5y-4) + y(5y-4) + 3(5y-4) + 3xy(5y-4)$
Вынесем общий множитель $(5y-4)$ за скобки:
$(5y-4)(3x + y + 3 + 3xy)$
Ответ: $(5y-4)(3x + y + 3 + 3xy)$.

3) В выражении $mn(m-3n) - m(m-3n) - n(m-3n) + 8(6n-2m)$ общий множитель для первых трех слагаемых - это $(m-3n)$. Преобразуем последнее слагаемое, чтобы выделить этот множитель.
$8(6n-2m) = 8 \cdot (-2) \cdot (-3n+m) = -16(m-3n)$
Теперь все выражение имеет вид:
$mn(m-3n) - m(m-3n) - n(m-3n) - 16(m-3n)$
Вынесем общий множитель $(m-3n)$ за скобки:
$(m-3n)(mn - m - n - 16)$
Ответ: $(m-3n)(mn - m - n - 16)$.

4) В выражении $(-\frac{2}{3}t + k)x - (k - \frac{2}{3}t)y + (3k - 2t)xy - (-2t + 3k)$ найдем общий множитель.
Заметим, что $(-\frac{2}{3}t + k)$ и $(k - \frac{2}{3}t)$ - это одно и то же. Обозначим этот общий множитель как $C = k - \frac{2}{3}t$.
Преобразуем остальные слагаемые:
$(3k - 2t) = 3(k - \frac{2}{3}t) = 3C$
$-(-2t + 3k) = -(3k - 2t) = -3(k - \frac{2}{3}t) = -3C$
Подставим в исходное выражение:
$C \cdot x - C \cdot y + 3C \cdot xy - 3C$
Вынесем общий множитель $C$ за скобки:
$C(x - y + 3xy - 3)$
Подставим обратно значение $C$:
$(k - \frac{2}{3}t)(x - y + 3xy - 3)$
Ответ: $(k - \frac{2}{3}t)(x - y + 3xy - 3)$.

Решите уравнения (15.8–15.9):

15.8. 1) $x^2 + 6x = 0;$

2) $x^2 - 5x = 0;$

3) $\frac{7}{8}x + x^2 = 0;$

4) $\frac{12}{13}x - x^2 = 0;$

5) $x + \frac{2}{3}x^2 = 0;$

6) $x - \frac{7}{9}x^2 = 0;$

7) $\frac{1}{25}x + \frac{1}{125}x^2 = 0;$

8) $\frac{1}{49}x - \frac{1}{343}x^2 = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 + 6x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 6) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:
$x = 0$ или $x + 6 = 0$
Из второго уравнения находим $x = -6$.
Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.
Ответ: 0; -6.

2) Дано уравнение $x^2 - 5x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $x - 5 = 0$
Из второго уравнения находим $x = 5$.
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Ответ: 0; 5.

3) Дано уравнение $\frac{7}{8}x + x^2 = 0$.
Перепишем уравнение в стандартном виде $x^2 + \frac{7}{8}x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + \frac{7}{8}) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $x + \frac{7}{8} = 0$
Из второго уравнения находим $x = -\frac{7}{8}$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{7}{8}$.
Ответ: 0; $-\frac{7}{8}$.

4) Дано уравнение $\frac{12}{13}x - x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(\frac{12}{13} - x) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $\frac{12}{13} - x = 0$
Из второго уравнения находим $x = \frac{12}{13}$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{12}{13}$.
Ответ: 0; $\frac{12}{13}$.

5) Дано уравнение $x + \frac{2}{3}x^2 = 0$.
Перепишем уравнение в стандартном виде $\frac{2}{3}x^2 + x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(\frac{2}{3}x + 1) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $\frac{2}{3}x + 1 = 0$
Решаем второе уравнение:
$\frac{2}{3}x = -1$
$x = -1 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$.
Ответ: 0; $-\frac{3}{2}$.

6) Дано уравнение $x - \frac{7}{9}x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(1 - \frac{7}{9}x) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $1 - \frac{7}{9}x = 0$
Решаем второе уравнение:
$1 = \frac{7}{9}x$
$x = 1 \cdot \frac{9}{7} = \frac{9}{7}$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{9}{7}$.
Ответ: 0; $\frac{9}{7}$.

7) Дано уравнение $\frac{1}{25}x + \frac{1}{125}x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки. Также можно вынести общий числовой множитель $\frac{1}{25}$ для упрощения:
$\frac{1}{25}x(1 + \frac{1}{5}x) = 0$
Приравниваем каждый множитель, содержащий переменную, к нулю:
$x = 0$ или $1 + \frac{1}{5}x = 0$
Решаем второе уравнение:
$\frac{1}{5}x = -1$
$x = -1 \cdot 5 = -5$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.
Ответ: 0; -5.

8) Дано уравнение $\frac{1}{49}x - \frac{1}{343}x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки. Также можно вынести общий числовой множитель $\frac{1}{49}$:
$\frac{1}{49}x(1 - \frac{1}{7}x) = 0$
Приравниваем каждый множитель, содержащий переменную, к нулю:
$x = 0$ или $1 - \frac{1}{7}x = 0$
Решаем второе уравнение:
$1 = \frac{1}{7}x$
$x = 1 \cdot 7 = 7$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Ответ: 0; 7.

15.9. 1) $z(2z-5) + 5(2z-5) = 0;$

2) $3(4-z) - 7z(z-4) = 0;$

3) $z(0,5z+5) - 6(5+0,5z);$

4) $z(8-z) + z-8 = 0.$

1) $z(2z - 5) + 5(2z - 5) = 0$

Это уравнение можно решить методом разложения на множители. Общий множитель здесь – это выражение $(2z - 5)$. Вынесем его за скобки:

$(z + 5)(2z - 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$z + 5 = 0$ или $2z - 5 = 0$

Из первого уравнения находим $z_1$:

$z_1 = -5$

Из второго уравнения находим $z_2$:

$2z = 5$

$z_2 = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: -5; 2,5.

2) $3(4 - z) - 7z(z - 4) = 0$

Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(z - 4) = -(4 - z)$. Используем это для преобразования уравнения:

$3(4 - z) - 7z(-(4 - z)) = 0$

$3(4 - z) + 7z(4 - z) = 0$

Теперь у нас есть общий множитель $(4 - z)$, который мы можем вынести за скобки:

$(3 + 7z)(4 - z) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3 + 7z = 0$ или $4 - z = 0$

Решаем первое уравнение:

$7z = -3$

$z_1 = -\frac{3}{7}$

Решаем второе уравнение:

$z_2 = 4$

Ответ: $-\frac{3}{7}$; 4.

3) $z(0,5z + 5) - 6(5 + 0,5z)$

Хотя в задании нет знака равенства, по аналогии с другими примерами предположим, что выражение приравнено к нулю. Решим уравнение:

$z(0,5z + 5) - 6(5 + 0,5z) = 0$

Заметим, что $(5 + 0,5z)$ это то же самое, что и $(0,5z + 5)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(z - 6)(0,5z + 5) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$z - 6 = 0$ или $0,5z + 5 = 0$

Из первого уравнения получаем:

$z_1 = 6$

Из второго уравнения получаем:

$0,5z = -5$

$z_2 = \frac{-5}{0,5} = -10$

Ответ: -10; 6.

4) $z(8 - z) + z - 8 = 0$

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем общий множитель. Для этого представим $z - 8$ как $-(8 - z)$:

$z(8 - z) - (8 - z) = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(8 - z)$ за скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, что эквивалентно умножению на -1:

$(z - 1)(8 - z) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$z - 1 = 0$ или $8 - z = 0$

Находим корни:

$z_1 = 1$

$z_2 = 8$

Ответ: 1; 8.

Разложите на множители многочлены (15.10–15.11):

15.10. 1) $(0.16a + 0.32b)a - (0.64b + 1.28a)b;$

2) $(0.09a - 0.81b)b - (0.81b - 7.29a)a;$

3) $(4.9x - 3.43y) \cdot xy - (3.43y - 4.9x) \cdot 4;$

4) $(\frac{7}{9}ab - k) \cdot a - (k - \frac{7}{9}ab) \cdot k - (k - \frac{7}{9}ab) \cdot b;$

5) $(2.5xy + 1.25m) + (1.25m + 2.5xy)y - (1.25m + 2.5xy)x.$

1) Разложим на множители многочлен $(0,16a + 0,32b)a - (0,64b + 1,28a)b$.

Сначала раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на множитель за скобками:

$(0,16a + 0,32b)a - (0,64b + 1,28a)b = 0,16a \cdot a + 0,32b \cdot a - (0,64b \cdot b + 1,28a \cdot b)$

$= 0,16a^2 + 0,32ab - 0,64b^2 - 1,28ab$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с $ab$):

$= 0,16a^2 + (0,32 - 1,28)ab - 0,64b^2$

$= 0,16a^2 - 0,96ab - 0,64b^2$

Вынесем общий числовой множитель за скобки. Наибольший общий делитель для коэффициентов $0,16$, $0,96$ и $0,64$ равен $0,16$.

$= 0,16(a^2 - \frac{0,96}{0,16}ab - \frac{0,64}{0,16}b^2)$

$= 0,16(a^2 - 6ab - 4b^2)$

Дальнейшее разложение квадратного трехчлена $a^2 - 6ab - 4b^2$ на множители с рациональными коэффициентами невозможно.

Ответ: $0,16(a^2 - 6ab - 4b^2)$.

2) Разложим на множители многочлен $(0,09a - 0,81b)b - (0,81b - 7,29a)a$.

Раскроем скобки:

$(0,09a - 0,81b)b - (0,81b - 7,29a)a = 0,09ab - 0,81b^2 - (0,81ab - 7,29a^2)$

$= 0,09ab - 0,81b^2 - 0,81ab + 7,29a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= 7,29a^2 + (0,09ab - 0,81ab) - 0,81b^2$

$= 7,29a^2 - 0,72ab - 0,81b^2$

Найдем общий числовой множитель для коэффициентов $7,29$, $-0,72$ и $-0,81$. Наибольший общий делитель равен $0,09$. Вынесем его за скобки:

$= 0,09(\frac{7,29}{0,09}a^2 - \frac{0,72}{0,09}ab - \frac{0,81}{0,09}b^2)$

$= 0,09(81a^2 - 8ab - 9b^2)$

Выражение в скобках $81a^2 - 8ab - 9b^2$ не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами.

Ответ: $0,09(81a^2 - 8ab - 9b^2)$.

3) Разложим на множители многочлен $(4,9x - 3,43y) \cdot xy - (3,43y - 4,9x) \cdot 4$.

Заметим, что выражение во второй скобке $(3,43y - 4,9x)$ можно преобразовать, вынеся за скобки $-1$:

$(3,43y - 4,9x) = -(4,9x - 3,43y)$

Подставим это в исходное выражение:

$(4,9x - 3,43y) \cdot xy - (-(4,9x - 3,43y)) \cdot 4$

$= (4,9x - 3,43y) \cdot xy + (4,9x - 3,43y) \cdot 4$

Теперь мы видим общий множитель $(4,9x - 3,43y)$, который можно вынести за скобки:

$= (4,9x - 3,43y)(xy + 4)$

Также можно вынести общий числовой множитель из первой скобки. Заметим, что $3,43 = 4,9 \cdot 0,7$.

$4,9x - 3,43y = 4,9(x - 0,7y)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$= 4,9(x - 0,7y)(xy + 4)$

Ответ: $4,9(x - 0,7y)(xy + 4)$.

4) Разложим на множители многочлен $(\frac{7}{9}ab - k) \cdot a - (k - \frac{7}{9}ab) \cdot k - (k - \frac{7}{9}ab) \cdot b$.

Заметим, что выражение в скобках $(k - \frac{7}{9}ab)$ связано с выражением в первой скобке $(\frac{7}{9}ab - k)$:

$(k - \frac{7}{9}ab) = -(\frac{7}{9}ab - k)$

Подставим это в исходное выражение:

$(\frac{7}{9}ab - k) \cdot a - (-(\frac{7}{9}ab - k)) \cdot k - (-(\frac{7}{9}ab - k)) \cdot b$

$= (\frac{7}{9}ab - k) \cdot a + (\frac{7}{9}ab - k) \cdot k + (\frac{7}{9}ab - k) \cdot b$

Теперь вынесем общий множитель $(\frac{7}{9}ab - k)$ за скобки:

$= (\frac{7}{9}ab - k)(a + k + b)$

Ответ: $(\frac{7}{9}ab - k)(a + b + k)$.

5) Разложим на множители многочлен $(2,5xy + 1,25m) + (1,25m + 2,5xy)y - (1,25m + 2,5xy)x$.

Заметим, что выражение $(1,25m + 2,5xy)$ равно $(2,5xy + 1,25m)$. Таким образом, у нас есть общий множитель во всех трех членах. Представим выражение в виде:

$(2,5xy + 1,25m) \cdot 1 + (2,5xy + 1,25m) \cdot y - (2,5xy + 1,25m) \cdot x$

Вынесем общий множитель $(2,5xy + 1,25m)$ за скобки:

$= (2,5xy + 1,25m)(1 + y - x)$

Теперь вынесем общий числовой множитель из первой скобки. Заметим, что $2,5 = 2 \cdot 1,25$.

$2,5xy + 1,25m = 1,25(2xy + m)$

Окончательный вид разложения:

$= 1,25(2xy + m)(1 + y - x)$

Ответ: $1,25(2xy + m)(1 + y - x)$.

15.11.

1) $(\frac{2}{3}xy - 1)xy - (1 - \frac{2}{3}xy)$;

2) $(\frac{4}{9}x - y)\frac{4}{9} - y(y - \frac{4}{9}x)$;

3) $(\frac{25}{49}x^2 + 1)y + (1 + \frac{25}{49}x^2)$;

4) $(1\frac{8}{19}y^2 + 15x^2)x + y(15x^2 + 1\frac{8}{19}y^2).$

1) Чтобы упростить выражение $(\frac{2}{3}xy - 1)xy - (1 - \frac{2}{3}xy)$, заметим, что второй член $(1 - \frac{2}{3}xy)$ можно представить как $-(\frac{2}{3}xy - 1)$.
Тогда выражение принимает вид:
$(\frac{2}{3}xy - 1)xy - (-(\frac{2}{3}xy - 1)) = (\frac{2}{3}xy - 1)xy + (\frac{2}{3}xy - 1)$.
Теперь мы можем вынести общий множитель $(\frac{2}{3}xy - 1)$ за скобки. Второй член можно представить как $(\frac{2}{3}xy - 1) \cdot 1$:
$(\frac{2}{3}xy - 1)(xy + 1)$.
Далее раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:
$\frac{2}{3}xy \cdot xy + \frac{2}{3}xy \cdot 1 - 1 \cdot xy - 1 \cdot 1 = \frac{2}{3}x^2y^2 + \frac{2}{3}xy - xy - 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{2}{3}x^2y^2 + (\frac{2}{3} - 1)xy - 1 = \frac{2}{3}x^2y^2 - \frac{1}{3}xy - 1$.
Ответ: $\frac{2}{3}x^2y^2 - \frac{1}{3}xy - 1$.

2) В выражении $(\frac{4}{9}x - y)\frac{4}{9} - y(y - \frac{4}{9}x)$ обратим внимание на второй множитель в скобках: $y - \frac{4}{9}x = -(\frac{4}{9}x - y)$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{4}{9}x - y)\frac{4}{9} - y(-(\frac{4}{9}x - y)) = (\frac{4}{9}x - y)\frac{4}{9} + y(\frac{4}{9}x - y)$.
Вынесем общий множитель $(\frac{4}{9}x - y)$ за скобки:
$(\frac{4}{9}x - y)(\frac{4}{9} + y)$.
Раскроем скобки, чтобы получить конечный вид многочлена:
$\frac{4}{9}x \cdot \frac{4}{9} + \frac{4}{9}x \cdot y - y \cdot \frac{4}{9} - y \cdot y = \frac{16}{81}x + \frac{4}{9}xy - \frac{4}{9}y - y^2$.
Ответ: $\frac{16}{81}x + \frac{4}{9}xy - \frac{4}{9}y - y^2$.

3) Рассмотрим выражение $(\frac{25}{49}x^2 + 1)y + (1 + \frac{25}{49}x^2)$.
Здесь мы видим, что выражение в скобках в обоих слагаемых одинаковое, так как $ \frac{25}{49}x^2 + 1 = 1 + \frac{25}{49}x^2$.
Представим выражение в виде: $(\frac{25}{49}x^2 + 1)y + (\frac{25}{49}x^2 + 1) \cdot 1$.
Вынесем общий множитель $(\frac{25}{49}x^2 + 1)$ за скобки:
$(\frac{25}{49}x^2 + 1)(y + 1)$.
Теперь раскроем скобки:
$\frac{25}{49}x^2 \cdot y + \frac{25}{49}x^2 \cdot 1 + 1 \cdot y + 1 \cdot 1 = \frac{25}{49}x^2y + \frac{25}{49}x^2 + y + 1$.
Ответ: $\frac{25}{49}x^2y + \frac{25}{49}x^2 + y + 1$.

4) Дано выражение $(1\frac{8}{19}y^2 + 15x^2)x + y(15x^2 + 1\frac{8}{19}y^2)$.
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{8}{19} = \frac{1 \cdot 19 + 8}{19} = \frac{27}{19}$.
Выражение примет вид: $(\frac{27}{19}y^2 + 15x^2)x + y(15x^2 + \frac{27}{19}y^2)$.
Выражения в скобках идентичны благодаря коммутативности сложения. Вынесем общий множитель $(\frac{27}{19}y^2 + 15x^2)$ за скобки:
$(\frac{27}{19}y^2 + 15x^2)(x + y)$.
Раскроем скобки:
$\frac{27}{19}y^2 \cdot x + \frac{27}{19}y^2 \cdot y + 15x^2 \cdot x + 15x^2 \cdot y = \frac{27}{19}xy^2 + \frac{27}{19}y^3 + 15x^3 + 15x^2y$.
Для стандартной записи многочлена упорядочим слагаемые по убыванию степеней переменной $x$:
$15x^3 + 15x^2y + \frac{27}{19}xy^2 + \frac{27}{19}y^3$.
Ответ: $15x^3 + 15x^2y + \frac{27}{19}xy^2 + \frac{27}{19}y^3$.